【正文】 的坐標是（2）點是直線上的一點，．，根據(jù)友好點的定義，點的坐標為， ①當點和點重合，．解得或． 當時，；當時，點的坐標是或． ②當點A和點B不重合，且．當或時，． 當a≤時，的長度隨著的增大而減小，?。敃r， ．當時，的長度隨著的增大而減小，取． 綜上，當或時，的長度隨著的增大而減?。军c睛】本題屬于閱讀理解題型，結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)進行解題，第二問的第二小問的關(guān)鍵是求出AB的長用a進行表示，然后利用二次函數(shù)基本性質(zhì)進行分類討論7．如圖1，拋物線經(jīng)過平行四邊形的頂點、設點的橫坐標為.（1）求拋物線的解析式； （2）當何值時，的面積最大?并求最大值的立方根；（3）是否存在點使為直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；（2）當t=時，△PEF的面積最大，其最大值為，最大值的立方根為=；（3）存在滿足條件的點P，t的值為1或【解析】試題分析：（1）由A、B、C三點的坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）由A、C坐標可求得平行四邊形的中心的坐標，由拋物線的對稱性可求得E點坐標，從而可求得直線EF的解析式，作PH⊥x軸，交直線l于點M，作FN⊥PH，則可用t表示出PM的長，從而可表示出△PEF的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；（3）由題意可知有∠PAE=90176。即可求得Q點的坐標． （3）（3）兩個和諧點；AO=1，OC=2，設A1（x，y），則C1（x+2，y1），O1（x，y1）， ①當AC1在拋物線上時，A1的橫坐標是1； 當OC1在拋物線上時，A1的橫坐標是2；【詳解】解：（1）設拋物線解析式為y=ax2+bx+c，將點A（1，0），B（4，0），C（0，2）代入解析式，∴，∴，∴y=+x+2；（2）∵點C與點D關(guān)于x軸對稱，∴D（0，2）．設直線BD的解析式為y=kx2．∵將（4，0）代入得：4k2=0，∴k=．∴直線BD的解析式為y=x2．當P點與A點重合時，△BQM是直角三角形，此時Q（1，0）；當BQ⊥BD時，△BQM是直角三角形，則直線BQ的直線解析式為y=2x+8，∴2x+8=+x+2，可求x=3或x=4（舍）∴x=3；∴Q（3，2）或Q（1，0）；（3）兩個和諧點；AO=1，OC=2，設A1（x，y），則C1（x+2，y1），O1（x，y1），①當AC1在拋物線上時，∴，∴，∴A1的橫坐標是1；當OC1在拋物線上時，∴，∴A1的橫坐標是；【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，軸對稱最短路線問題，等腰三角形的性質(zhì)等；分類討論思想的運用是本題的關(guān)鍵．5．如圖①，在平面直角坐標系xOy 中，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A(1，0) 、B(3，0) 兩點，且與y軸交于點C.（1）求拋物線的表達式；（2）如圖②，用寬為4個單位長度的直尺垂直于x軸，并沿x軸左右平移，直尺的左右兩邊所在的直線與拋物線相交于P、 Q兩點（點P在點Q的左側(cè)），連接PQ，在線段PQ上方拋物線上有一動點D，連接DP、DQ.①若點P的橫坐標為，求△DPQ面積的最大值，并求此時點D 的坐標；②直尺在平移過程中，△DPQ面積是否有最大值？若有，求出面積的最大值；若沒有，請說明理由.【答案】（1）拋物線y=x2+2x+3；（2）①點D（ ）；②△PQD面積的最大值為8【解析】分析：（1）根據(jù)點A、B的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達式；（2）（I）由點P的橫坐標可得出點P、Q的坐標，利用待定系數(shù)法可求出直線PQ的表達式，過點D作DE∥y軸交直線PQ于點E，設點D的坐標為（x，x2+2x+3），則點E的坐標為（x，x+），進而即可得出DE的長度，利用三角形的面積公式可得出S△DPQ=2x2+6x+，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；（II）假設存在，設點P的橫坐標為t，則點Q的橫坐標為4+t，進而可得出點P、Q的坐標，利用待定系數(shù)法可求出直線PQ的表達式，設點D的坐標為（x，x2+2x+3），則點E的坐標為（x，2（t+1）x+t2+4t+3），進而即可得出DE的長度，利用三角形的面積公式可得出S△DPQ=2x2+4（t+2）x2t28t，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．詳解：（1）將A（1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+3，得：，解得：，∴拋物線的表達式為y=x2+2x+3．（2）（I）當點P的橫坐標為時，點Q的橫坐標為，∴此時點P的坐標為（，），點Q的坐標為（，）．設直線PQ的表達式為y=mx+n，將P（，）、Q（，）代入y=mx+n，得：，解得：，∴直線PQ的表達式為y=x+．如圖②，過點D作DE∥y軸交直線PQ于點E，設點D的坐標為（x，x2+2x+3），則點E的坐標為（x，x+），∴DE=x2+2x+3（x+）=x2+3x+，∴S△DPQ=DE?（xQxP）=2x2+6x+=2（x）2+8．∵2＜0，∴當x=時，△DPQ的面積取最大值，最大值為8，此時點D的坐標為（，）．（II）假設存在，設點P的橫坐標為t，則點Q的橫坐標為4+t，∴點P的坐標為（t，t2+2t+3），點Q的坐標為（4+t，（4+t）2+2（4+t）+3），利用待定系數(shù)法易知，直線PQ的表達式為y=2（t+1）x+t2+4t+3．設點D的坐標為（x，x2+2x+3），則點E的坐標為（x，2（t+1）x+t2+4t+3），∴DE=x2+2x+3[2（t+1）x+t2+4t+3]=x2+2（t+2）xt24t，∴S△DPQ=DE?（xQxP）=2x2+4（t+2）x2t28t=2[x（t+2）]2+8．∵2＜0，∴當x=t+2時，△DPQ的面積取最大值，最大值為8．∴假設成立，即直尺在平移過程中，△DPQ面積有最大值，面積的最大值為8．點睛：本題考查了待定系數(shù)法求二次（一次）函數(shù)解析式、二次（一次）函數(shù)圖象上點的坐標特征、三角形的面積以及二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點的坐標，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)表達式；（2）（I）利用三角形的面積公式找出S△DPQ=2x2+6x+；（II）利用三角形的面積公式找出S△DPQ=2x2+4（t+2）x2t28t．6．在平面直角坐標系中，有兩點、若滿足：當時，；當時，則稱點為點的“友好點”.（1）點的“友好點”的坐標是_______.（2）點是直線上的一點，點是點的“友好點”.①當點與點重合時，求點的坐標.②當點與點不重合時，求線段的長度隨著的增大而減小時，的取值范圍.【答案】（1）；（2）①點的坐標是或；②當或時，的長度隨著的增大而減?。弧窘馕觥俊痉治觥浚?）直接利用“友好點”定義進行解題即可；（2）先利用 “友好點”定義求出B點坐標，A點又在直線上，得到；①當點和點重合，得．解出即可，②當點A和點B不重合， 且．所以對a分情況討論，1176。得到△A1O1C1，點A、O、C的對應點分別是點A、OC若△A1O1C1的兩個頂點恰好落在拋物線上，那么我們就稱這樣的點為“和諧點”，請直接寫出“和諧點”的個數(shù)和點A1的橫坐標．【答案】（1）y=+x+2；（2）存在，Q（3，2）或Q（1，0）；（3）兩個和諧點，A1的橫坐標是1，.【解析】【分析】（1）把點A（1，0）、B（4，0）、C（