【正文】 線斜率的最大值為，故當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，在成立，因此的最小值為． 2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 全國(guó)卷一理科數(shù)學(xué) 2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 全國(guó)卷二理科數(shù)學(xué) 2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 全國(guó)卷三理科數(shù)學(xué) 絕密★啟用前 2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 全國(guó)卷一 理科數(shù)學(xué) 注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上。請(qǐng)考生在第223題中任選一題作答。
（一）必考題：共60分。第223為選考題。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
1．已知集合，則 A． B． C． D． 2． A． B． C． D． 3．中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫棒頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是棒頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是 4．若，則 A． B． C． D． 5．的展開式中的系數(shù)為 A．10 B．20 C．40 D．80 6．直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是 A． B． C． D． 7．函數(shù)的圖像大致為 8．某群體中的每位成品使用移動(dòng)支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，則 A．0．7 B．0．6 C．0．4 D．0．3 9．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若的面積為，則 A． B． C． D． 10．設(shè)是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為 A． B． C． D． 11．設(shè)是雙曲線（）的左，右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)．過作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為 A． B．2 C． D． 12．設(shè)，則 A． B． C． D． 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。
22．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分） 在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為 （為參數(shù)）． （1）求和的直角坐標(biāo)方程； （2）若曲線截直線所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求的斜率． 23．[選修4－5：不等式選講]（10分） 設(shè)函數(shù)． （1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集； （2）若，求的取值范圍． 參考答案: 一、選擇題 二、填空題 13. 15. 16. 三、解答題 17. (12分) 解：（1）設(shè)的公差為d，由題意得. 由得d=2. 所以的通項(xiàng)公式為. （2）由（1）得. 所以當(dāng)n=4時(shí),取得最小值,最小值為?16. 18.(12分) 解：（1）利用模型①,該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為 (億元). 利用模型②,該地區(qū)2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為 (億元). （2）利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠. 理由如下： （?。恼劬€圖可以看出,①，2020年至2020年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說明從2020年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì),利用2020年至2020年的數(shù)據(jù)建立的線性模型可以較好地描述2020年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì),因此利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠. （ⅱ）從計(jì)算結(jié)果看,相對(duì)于2020年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元,由模型①,而利用模型②②得到的預(yù)測(cè)值更可靠. 以上給出了2種理由,考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分. 19.(12分) 解：（1）由題意得，l的方程為. 設(shè)， 由得. ，故. 所以. 由題設(shè)知，解得（舍去），. 因此l的方程為. （2）由（1）得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以AB的垂直平分線方程為，即. 設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為，則 解得或 因此所求圓的方程為或. 20.(12分) 解：（1）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，且. ，所以為等腰直角三角形， 且，. 由知. 由知平面. （2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系. 由已知得取平面的法向量. 設(shè)，則. 設(shè)平面的法向量為. 由得，可取， . （舍去），. ，所以. 所以與平面所成角的正弦值為. 21．（12分） 【解析】（1）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于． 設(shè)函數(shù)，則． 當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞減． 而，故當(dāng)時(shí)，即． （2）設(shè)函數(shù)． 在只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)在只有一個(gè)零點(diǎn)． （i）當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn)； （ii）當(dāng)時(shí)，． 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增． 故是在的最小值． ①若，即，在沒有零點(diǎn)； ②若，即，在只有一個(gè)零點(diǎn)； ③若，即，由于，所以在有一個(gè)零點(diǎn)， 由（1）知，當(dāng)時(shí)，所以． 故在有一個(gè)零點(diǎn)，因此在有兩個(gè)零點(diǎn)． 綜上，在只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，． 22．[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分） 【解析】（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為． 當(dāng)時(shí)，的直角坐標(biāo)方程為， 當(dāng)時(shí)，的直角坐標(biāo)方程為． （2）將的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于的方程 ．① 因?yàn)榍€截直線所得線段的中點(diǎn)在內(nèi)，所以①有兩個(gè)解，設(shè)為，則． 又由①得，故，于是直線的斜率． 23．[選修45：不等式選講]（10分） 【解析】（1）當(dāng)時(shí)， 可得的解集為． （2）等價(jià)于． 而，且當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故等價(jià)于． 由可得或，所以的取值范圍是． 2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué) 注意事項(xiàng)： 1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。請(qǐng)考生在第223題中任選一題作答。
（一）必考題：共60分。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。若的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為__________． 三、解答題：共70分。
1． A． B． C． D． 2．已知集合，則中元素的個(gè)數(shù)為 A．9 B．8 C．5 D．4 3．函數(shù)的圖像大致為 4．已知向量，滿足，則 A．4 B．3 C．2 D．0 5．雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為 A． B． C． D． 6．在中，則 A． B． C． D． 7．為計(jì)算，設(shè)計(jì)了右側(cè)的程序框圖，則在空白框中應(yīng)填入 A． B． C． D． 8．我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如．在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是 A． B． C． D． 9．在長(zhǎng)方體中，則異面直線與所成角的余弦值為 A． B． C． D． 10．若在是減函數(shù)，則的最大值是 A． B． C． D． 11．已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿足．若，則 A． B．0 C．2 D．50 12．已知，是橢圓的左，右焦點(diǎn)，是的左頂點(diǎn)，點(diǎn)在過且斜率 為的直線上，為等腰三角形，則的離心率為 A． B． C． D． 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
2．作答時(shí)，將答案寫在答題卡上。請(qǐng)考生在第223題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。
17．（12分） 在平面四邊形中，. （1）求； （2）若，求. 18．（12分） 如圖，四邊形為正方形，分別為的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且. （1）證明：平面平面； （2）求與平面所成角的正弦值. 19．（12分） 設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過的直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為. （1）當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程； （2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：. 20．（12分） 某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立． （1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為,求的最大值點(diǎn)． （2）現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用． （i）若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為，求。第223題為選考題，考生根據(jù)要求作答。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
1．設(shè)，則 A． B． C． D． 2．已知集合，則 A． B． C． D． 3．某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番，為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖： 建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例 建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例 則下面結(jié)論中不正確的是 A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少 B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上 C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍 D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半 4．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則 A． B． C． D． 5．設(shè)函數(shù)，若為奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為 A． B． C． D． 6．在中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則 A． B． C． D． 7．某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如圖．圓柱表面上的點(diǎn)在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，圓柱表面上的點(diǎn)在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為 A． B． C．3 D．2 8．設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)（–2，0）且斜率為的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則= A．5 B．6 C．7 D．8 9．已知函數(shù)．若g（x）存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是 A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞） 10．下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC．△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色部分記為II，其余部分記為III．在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自I，II，III的概率分別記為p1，p2，p3，則 A．p1=p2 B．p1=p3 C．p2=p3 D．p1=p2+p3 11．已知雙曲線C：，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M、則|MN|= A． B．3 C． D．4 12．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面α所成的角相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為 A． B． C． D． 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。寫在本試卷上無效。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。0，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減； 若a=0，在單調(diào)遞增； 若a當(dāng)時(shí)，．故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減. （2）滿足題設(shè)條件的a，b存在. （i）當(dāng)a≤0時(shí)，由（1）知，在[0，1]單調(diào)遞增，所以在區(qū)間[0，l]的最小值為，b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)，即a=0，． （ii）當(dāng)a≥3時(shí)，由（1）知，在[0，1]單調(diào)遞減，所以在區(qū)間[0，1]的最大值為，最小值為．此時(shí)a，b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)，b=1，即a=4，b=1． （iii）當(dāng)0當(dāng)時(shí)，. 因此，四邊形ADBE的面積為3或. ：（1）由題設(shè)可得，弧所在圓的極坐標(biāo)方程分別為，. 所以的極坐標(biāo)方程為，的極坐標(biāo)方程為，的極坐標(biāo)方程為. （2）設(shè)，由題設(shè)及（1）知 若，則，解得； 若，則，解得或； 若，則，解得. 綜上，P的極坐標(biāo)為或或或. 23．解：（1）由于 ， 故由已知得， 當(dāng)且僅當(dāng)x=，y=–，時(shí)等號(hào)成立． 所以的最小值為. （2）由于 ， 故由已知， 當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立． 因此的最小值為． 由題設(shè)知，解得或． 2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)卷一 2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)卷二 2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)卷三 2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué) 注意事項(xiàng)： 1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。參考答案 一、選擇題 1．A 2．D 3．C 4．A 5．C 6．D 7．B 8．B 9．C 10．A 11．C 12．D 二、填空題 13． 14．4 15． 16． 三、解答題 17．解：（1）=a++，故a=． b=1–––=． （2）甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為 2+3+4+5+6+7=． 乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為 3+4+5+6+7+8=． 18．解：（1）由題設(shè)及正弦定理得． 因?yàn)閟inA0，所以． 由，可得，故． 因?yàn)?，故，因此B=60176。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2. （1）證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE； （2）求圖2中的二面角BCGA的大小. 20．（12分） 已知函數(shù). （1）討論的單調(diào)性； （2）是否存在 ，使得在區(qū)間的最小值為且最大值為1？若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由. 21．已知曲線C：y=，D為直線y=上的動(dòng)點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B. （1）證明：直線AB過定點(diǎn)： （2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積. （二）選考題：共10分。
（一）必考題：共60分。