【正文】 所以 1 , 0()1,xexFxo th er?? ??? ??， 所以 22{ 2 } 1 ( 2 ) , { 2 } 1P X F e P X e??? ? ? ? ? ? ?， 由于 { 2 } { 2 } { ( 2 ) } { ( 2 ) }S X X A A X A X? ? ? ? ? ? ?，所以 ( ) [ ( 2 ) ] [ ( 2 ) ] [ 2 ] ( | 2 ) [ 2 ] ( | 2 )P A P A X P A X P X P A X P X P A X? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由題意知 ( | 2) 1P A X ??， ( | 2) A X ??，所以 22( ) [ 2 ] ( | 2 ) [ 2 ] ( | 2 ) 0 . 8 * ( 1 ) 0 . 8 2 7P A P X P A X P X P A X e e??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 設(shè) Y： n設(shè)備能夠出廠的臺數(shù)，則 ~ ( , )Y B n （ 1） {}PY n? （ 2） { 2}P Y n?? （ 3） { 2}P Y n?? 1設(shè) ~ (0,1)XU ，求證 ln( 1 ) ~ ( 2)2 XYE??? 證明：因為 ~ (0,1)XU ，所以 1, 0 1()0, xfx oth er???? ?? 2l n ( 1 )( ) ( ) ( ) { 1 }2 yY XF y P Y y P y P X e ??? ? ? ? ? ? ? ? 顯然有：（ 1）當 21 0,ye???即 0y? 時， 212( ) { 1 } 0 0yeyYF y P X e dx??? ??? ? ? ? ?? （ 2）當 20 1 1,ye?? ? ? 即 0y? 時， 2211220( ) { 1 } ( ) 1 1yyeeyyYF y P X e f x dx dx e????????? ? ? ? ? ? ??? 所以有 21 , 0()0,yY eyFy o th e ?，F(xiàn)該廠新商場出 n 臺儀器，假設(shè)生產(chǎn)過程相互獨立。則 )32,5(~BY ，? ?24323224311132511)31()32()31(1)1()0(1)2(1)2(54155????????????? ?????????????? CYPYPYPYP 設(shè) 2~ ( , ),XN?? 2 4461()6xxf x e????? ， 求 2,?? ；若已知 ( ) ( )cc f x d x f x d x? ?????，求 c 解：（ 1）提示將密度函數(shù)化成正態(tài)分布的標準形式 2 21244 ()23611() 6 2 3 xxxf x e e?? ??? ???? ?，所以 22, 3???? （ 2） ()fx關(guān)于 y軸對稱，所以 c=2 1抽樣調(diào)查表明，考生的外語成績近似服從正態(tài)分布，已知平均成績?yōu)?72分， 96分以上的考生占考生總數(shù)的 %，求考生的外語成績在 60 分和 84分之間的概率。 解： 32 23( ) ( ) { } 188aaP A P B P x a x d x? ? ? ? ? ?? 3 3 3 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 3 / 4 48 8 8a a aP A B P A P B P A P B a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 某種型號的電子的壽命 X（以小時計）具有以下的概率密度： ????? ??其它010001000)( 2 xxxf 現(xiàn)有一大批此種管子（設(shè)各電子管損壞與否相互獨立）。 解： X為進入商店的顧客人數(shù)，則 { } ( 0 , 1 , 2 , . . . )!mP X m e mm ?? ?? ? ? 設(shè) Y為購買物品的顧客人數(shù)，在進入商店的人數(shù)為 m名的條件下，購買某種物品的人數(shù) Y服從二項分布，可記為 { | } ( 1 ) , ( 0 , 1 , . . . )k k m kmP Y k X m C p p k m?? ? ? ? ?這是條件分布問題。 解：設(shè) X：產(chǎn)品表面的疵點數(shù)，則 ~ ()XP （ 1） 4 0 . 800 . 8{ 4 } 1 { 4 } 1 0 . 0 0 1 4! kkP X P X ek??? ? ? ? ? ? ?? （ 2）設(shè) Y：產(chǎn)品的價值，則 Y： 0， 8， 10 { 0 } { 4 } 0 .0 0 1 4P Y P X? ? ? ?， 4 0 . 820 . 8{ 8 } { 1 4 } 0 . 1 8 9 8! kkP Y P X ek??? ? ? ? ? ?? 1 0 . 800 . 8{ 1 0 } { 1 } 0 . 8 0 8 8! kkP Y P X ek??? ? ? ? ??，既得 Y的分布律。 解：（ 1） X的可能取值為 1， 2， 3，?， n，? P {X=n}=P {前 n－ 1次飛向了另 2扇窗子，第 n次飛了出去 } = 31)32( 1??n ， n=1， 2，?? （ 2） Y的可能取值為 1， 2， 3 P {Y=1}=P {第 1次飛了出去 }= 31 P {Y=2}=P {第 1次飛向 另 2扇窗子中的一扇，第 2次飛了出去 } = 312132 ?? P {Y=3}=P {第 1， 2次飛向了另 2扇窗子，第 3次飛了 出去 } = 31!3!2? ?????????????3231}|{}{}|{}{}{)3(kkkYYXPkYPkYYXPkYPYXP ???????? ??? 0}1|{ YYXP全概率公式并注意到 278313231313131}{}{32??????? ????????? ??kkXPkYP }{}|{,kXPkYYXPYX????獨立即注意到 同上， ?? ?????31 }|{}{}{ k kYYXPkYPYXP 81192743192313131}{}{3 1 ?????????? ??k kXPkYP 故 8138){}{1}{ ??????? YXPYXPXYP 從發(fā)芽率為 ，隨機抽取 500粒，進行發(fā)芽試驗，計算 500粒中沒有發(fā)芽的比例不超過 1%的概率。以 Y表示這只聰明的鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，如戶主所說是確實的，試求 Y的分布律。 （ 1）以 X表示鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，求 X的分布律。鳥在房子里飛來飛去，試圖飛出房間。 （ 2）設(shè) X表示他 10次品嘗中成功的次數(shù)，由題意知 1~ (10, )70XB ， 所以從理論上計算他在 10次品嘗中能成功 3次的概率為 3 3 710 11{ 3 } ( ) (1 ) 0370 70P X C? ? ? ? 即，如果此人僅是隨機品嘗（即是隨機去猜的）的概率僅為 ，也可以說 10次品嘗中僅能成功的最大次數(shù)為 ；而實際上他成功了 3次，說明他確有區(qū)分的能力（ 實際推斷原理） 補例 ：一房間有 3扇同樣大小的窗子，其中只有一扇是打開的。 （ 1）某人隨機地去取，問他試驗成功一次的概率是多少？ （ 2）某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒。 解：設(shè) X=“三個零件中合格數(shù)”，則 X： 0， 1， 2， 3； 設(shè) iA =“第 i個產(chǎn)品合格”，則由題意，1 2 31 1 1( ) , ( ) , ( ) ,2 3 4P A P A P A? ? ? 所以： 1 2 3 1 2 3 1{ 0 } { } ( ) ( ) ( ) ( ) 24P X P P A A A P A P A P A? ? ? ? ?三 個 都 不 合 格（因為獨立） 1 2 3 1 2 3 1 2 3 6{ 1 } { } ( ) 24P X P P A A A A A A A A A? ? ? ?三 個 中 有 2 個 不 合 格（ 獨 立 與 互 斥 ）1 2 3 1 2 3 1 2 3 11{ 2 } { } ( ) 24P X P P A A A A A A A A A? ? ? ?三 個 有 1 個 不 合 格（獨立與互斥） 1 2 3 1 2 3 1 1 1 6{ 3 } { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 3 4 2 4P X P P A A A P A P A P A? ? ? ? ? ? ? ? ?三 個 中 都 合 格 設(shè) X為隨機變量，且 1{ } ( 1 , 2 , ...)2 kP X k k? ? ?，則 （ 1）判斷上式是否為 X的分布律，（ 2）若是，求 P{X是偶數(shù) }， { 5}PX? 解：（ 1）由111 2 112 12kk??????知上式是 X的分布律 (2) P{X是偶數(shù) }211 1 / 4 1{ 2 } 1231 4nnP X n??? ? ? ? ??? 4111{ 5 } 1 { 5 } 1 2 16kkP X P X ?? ? ? ? ? ? ?? （ 女士品酒 ：實際推斷原理）有甲乙兩種味道和顏色極其相似的酒各 4 杯。則設(shè)備的壽命超過 1等價于“設(shè)備安裝 0件二等品且其壽命超過 1”或“設(shè)備安裝1件二等品且其壽命超過 1”或“設(shè)備安裝 2件二等品且其壽命超過 1” 則 0 1 2{ 1 } { ( 0 ) ( 1 ) } { ( 1 ) ( 1 ) } { ( 2 ) ( 1 ) }X Y X Y X Y X? ? ? ? ? ? ? ? 0 1 2{ 1 } { ( 0 ) ( 1 ) } { ( 1 ) ( 1 ) } { ( 2 ) ( 1 ) }P X P Y X P Y X P Y X? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 1 2{ 0 } { 1 | 0 } { 1 } { 1 | 1 } { 2 } { 1 | 2 } 0 . 3 2P Y P X Y P Y P X Y P Y P X Y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 2） { 0 , 1 }{ 0 | 1 } 0 . 9 3{ 1 }P Y XP Y X PX??? ? ? ?? 19. 設(shè)隨機變量 X的分布律為： X：－ 2， － 1， 0， 1， 3 P： 51 ， 61 ， 51 ， 151 ， 3011 求 Y=X 2的分布律 解：∵ Y=X 2： (－ 2)2 (－ 1)2 (0)2 (1)2 (3)2 P： 51 61 51 151 3011 再把 X 2的取值相同 的合并，并按從小到大排列，就得函數(shù) Y的分布律為： ∴ Y： 0 1 4 9 P： 51 15161? 51 3011 20 21. 設(shè)隨機變量 X 的概率密度為 , 0 ,()0 , 0 .xX exfx x?? ?? ??? 求 XYe? 的概率密度 ()Yfy 解 1 當 0x? 時函數(shù) xye? 單調(diào)增，反函數(shù)為 ( ) lnx h y y??，于是 XYe? 的概率密度為 ln211 , 1 , 1 ,( ) ( ( ) ) | ( ) |0 , 1 . 0 , 1 .yYXyey yyf y f h y h yy y? ?? ??????? ? ???? ?? ? 解 2 設(shè) Y 的分布函數(shù) 為 ()YFy，則 0 , 1 ,( ) ( ) ( )( l n ) , 1XY yF y P Y y P e y P X y y ??? ? ? ? ? ? ??? ln00 , 1, 1,y xye d x y?????? ????ln00 , 1, 1 .yxyey????? ????? ln0 , 1 ,0 , 1 ,11 , 1 .1 , 1 .yyyyey y????? ????? ????? ?? 21 , 1 ,( ) ( )0 , 1.YYyyf y F yy? ????? ???? 22. 設(shè) 1 | |, 1 1~ ( )0,X xxX f x o th e r? ? ? ??? ??，求 2 1YX??的概率密度 解：由于函數(shù) 2 1YX??不是嚴格單調(diào)的，所以不能用定理求解。 （ 1）求設(shè)備的壽命超過 1的概率 （ 2）已知設(shè)