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吳贛昌編概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章(參考版)

2024-12-20 04:19本頁面
  

【正文】 所以 1 , 0()1,xexFxo th er?? ??? ??, 所以 22{ 2 } 1 ( 2 ) , { 2 } 1P X F e P X e??? ? ? ? ? ? ?, 由于 { 2 } { 2 } { ( 2 ) } { ( 2 ) }S X X A A X A X? ? ? ? ? ? ?,所以 ( ) [ ( 2 ) ] [ ( 2 ) ] [ 2 ] ( | 2 ) [ 2 ] ( | 2 )P A P A X P A X P X P A X P X P A X? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由題意知 ( | 2) 1P A X ??, ( | 2) A X ??,所以 22( ) [ 2 ] ( | 2 ) [ 2 ] ( | 2 ) 0 . 8 * ( 1 ) 0 . 8 2 7P A P X P A X P X P A X e e??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 設(shè) Y: n設(shè)備能夠出廠的臺(tái)數(shù),則 ~ ( , )Y B n ( 1) {}PY n? ( 2) { 2}P Y n?? ( 3) { 2}P Y n?? 1設(shè) ~ (0,1)XU ,求證 ln( 1 ) ~ ( 2)2 XYE??? 證明:因?yàn)?~ (0,1)XU ,所以 1, 0 1()0, xfx oth er???? ?? 2l n ( 1 )( ) ( ) ( ) { 1 }2 yY XF y P Y y P y P X e ??? ? ? ? ? ? ? ? 顯然有:( 1)當(dāng) 21 0,ye???即 0y? 時(shí), 212( ) { 1 } 0 0yeyYF y P X e dx??? ??? ? ? ? ?? ( 2)當(dāng) 20 1 1,ye?? ? ? 即 0y? 時(shí), 2211220( ) { 1 } ( ) 1 1yyeeyyYF y P X e f x dx dx e????????? ? ? ? ? ? ??? 所以有 21 , 0()0,yY eyFy o th e ?,F(xiàn)該廠新商場出 n 臺(tái)儀器,假設(shè)生產(chǎn)過程相互獨(dú)立。則 )32,5(~BY ,? ?24323224311132511)31()32()31(1)1()0(1)2(1)2(54155????????????? ?????????????? CYPYPYPYP 設(shè) 2~ ( , ),XN?? 2 4461()6xxf x e????? , 求 2,?? ;若已知 ( ) ( )cc f x d x f x d x? ?????,求 c 解:( 1)提示將密度函數(shù)化成正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)形式 2 21244 ()23611() 6 2 3 xxxf x e e?? ??? ???? ?,所以 22, 3???? ( 2) ()fx關(guān)于 y軸對(duì)稱,所以 c=2 1抽樣調(diào)查表明,考生的外語成績近似服從正態(tài)分布,已知平均成績?yōu)?72分, 96分以上的考生占考生總數(shù)的 %,求考生的外語成績?cè)?60 分和 84分之間的概率。 解: 32 23( ) ( ) { } 188aaP A P B P x a x d x? ? ? ? ? ?? 3 3 3 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 3 / 4 48 8 8a a aP A B P A P B P A P B a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 某種型號(hào)的電子的壽命 X(以小時(shí)計(jì))具有以下的概率密度: ????? ??其它010001000)( 2 xxxf 現(xiàn)有一大批此種管子(設(shè)各電子管損壞與否相互獨(dú)立)。 解: X為進(jìn)入商店的顧客人數(shù),則 { } ( 0 , 1 , 2 , . . . )!mP X m e mm ?? ?? ? ? 設(shè) Y為購買物品的顧客人數(shù),在進(jìn)入商店的人數(shù)為 m名的條件下,購買某種物品的人數(shù) Y服從二項(xiàng)分布,可記為 { | } ( 1 ) , ( 0 , 1 , . . . )k k m kmP Y k X m C p p k m?? ? ? ? ?這是條件分布問題。 解:設(shè) X:產(chǎn)品表面的疵點(diǎn)數(shù),則 ~ ()XP ( 1) 4 0 . 800 . 8{ 4 } 1 { 4 } 1 0 . 0 0 1 4! kkP X P X ek??? ? ? ? ? ? ?? ( 2)設(shè) Y:產(chǎn)品的價(jià)值,則 Y: 0, 8, 10 { 0 } { 4 } 0 .0 0 1 4P Y P X? ? ? ?, 4 0 . 820 . 8{ 8 } { 1 4 } 0 . 1 8 9 8! kkP Y P X ek??? ? ? ? ? ?? 1 0 . 800 . 8{ 1 0 } { 1 } 0 . 8 0 8 8! kkP Y P X ek??? ? ? ? ??,既得 Y的分布律。 解:( 1) X的可能取值為 1, 2, 3,?, n,? P {X=n}=P {前 n- 1次飛向了另 2扇窗子,第 n次飛了出去 } = 31)32( 1??n , n=1, 2,?? ( 2) Y的可能取值為 1, 2, 3 P {Y=1}=P {第 1次飛了出去 }= 31 P {Y=2}=P {第 1次飛向 另 2扇窗子中的一扇,第 2次飛了出去 } = 312132 ?? P {Y=3}=P {第 1, 2次飛向了另 2扇窗子,第 3次飛了 出去 } = 31!3!2? ?????????????3231}|{}{}|{}{}{)3(kkkYYXPkYPkYYXPkYPYXP ???????? ??? 0}1|{ YYXP全概率公式并注意到 278313231313131}{}{32??????? ????????? ??kkXPkYP }{}|{,kXPkYYXPYX????獨(dú)立即注意到 同上, ?? ?????31 }|{}{}{ k kYYXPkYPYXP 81192743192313131}{}{3 1 ?????????? ??k kXPkYP 故 8138){}{1}{ ??????? YXPYXPXYP 從發(fā)芽率為 ,隨機(jī)抽取 500粒,進(jìn)行發(fā)芽試驗(yàn),計(jì)算 500粒中沒有發(fā)芽的比例不超過 1%的概率。以 Y表示這只聰明的鳥為了飛出房間試飛的次數(shù),如戶主所說是確實(shí)的,試求 Y的分布律。 ( 1)以 X表示鳥為了飛出房間試飛的次數(shù),求 X的分布律。鳥在房子里飛來飛去,試圖飛出房間。 ( 2)設(shè) X表示他 10次品嘗中成功的次數(shù),由題意知 1~ (10, )70XB , 所以從理論上計(jì)算他在 10次品嘗中能成功 3次的概率為 3 3 710 11{ 3 } ( ) (1 ) 0370 70P X C? ? ? ? 即,如果此人僅是隨機(jī)品嘗(即是隨機(jī)去猜的)的概率僅為 ,也可以說 10次品嘗中僅能成功的最大次數(shù)為 ;而實(shí)際上他成功了 3次,說明他確有區(qū)分的能力( 實(shí)際推斷原理) 補(bǔ)例 :一房間有 3扇同樣大小的窗子,其中只有一扇是打開的。 ( 1)某人隨機(jī)地去取,問他試驗(yàn)成功一次的概率是多少? ( 2)某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒。 解:設(shè) X=“三個(gè)零件中合格數(shù)”,則 X: 0, 1, 2, 3; 設(shè) iA =“第 i個(gè)產(chǎn)品合格”,則由題意,1 2 31 1 1( ) , ( ) , ( ) ,2 3 4P A P A P A? ? ? 所以: 1 2 3 1 2 3 1{ 0 } { } ( ) ( ) ( ) ( ) 24P X P P A A A P A P A P A? ? ? ? ?三 個(gè) 都 不 合 格(因?yàn)楠?dú)立) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 6{ 1 } { } ( ) 24P X P P A A A A A A A A A? ? ? ?三 個(gè) 中 有 2 個(gè) 不 合 格( 獨(dú) 立 與 互 斥 )1 2 3 1 2 3 1 2 3 11{ 2 } { } ( ) 24P X P P A A A A A A A A A? ? ? ?三 個(gè) 有 1 個(gè) 不 合 格(獨(dú)立與互斥) 1 2 3 1 2 3 1 1 1 6{ 3 } { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 3 4 2 4P X P P A A A P A P A P A? ? ? ? ? ? ? ? ?三 個(gè) 中 都 合 格 設(shè) X為隨機(jī)變量,且 1{ } ( 1 , 2 , ...)2 kP X k k? ? ?,則 ( 1)判斷上式是否為 X的分布律,( 2)若是,求 P{X是偶數(shù) }, { 5}PX? 解:( 1)由111 2 112 12kk??????知上式是 X的分布律 (2) P{X是偶數(shù) }211 1 / 4 1{ 2 } 1231 4nnP X n??? ? ? ? ??? 4111{ 5 } 1 { 5 } 1 2 16kkP X P X ?? ? ? ? ? ? ?? ( 女士品酒 :實(shí)際推斷原理)有甲乙兩種味道和顏色極其相似的酒各 4 杯。則設(shè)備的壽命超過 1等價(jià)于“設(shè)備安裝 0件二等品且其壽命超過 1”或“設(shè)備安裝1件二等品且其壽命超過 1”或“設(shè)備安裝 2件二等品且其壽命超過 1” 則 0 1 2{ 1 } { ( 0 ) ( 1 ) } { ( 1 ) ( 1 ) } { ( 2 ) ( 1 ) }X Y X Y X Y X? ? ? ? ? ? ? ? 0 1 2{ 1 } { ( 0 ) ( 1 ) } { ( 1 ) ( 1 ) } { ( 2 ) ( 1 ) }P X P Y X P Y X P Y X? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 1 2{ 0 } { 1 | 0 } { 1 } { 1 | 1 } { 2 } { 1 | 2 } 0 . 3 2P Y P X Y P Y P X Y P Y P X Y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 2) { 0 , 1 }{ 0 | 1 } 0 . 9 3{ 1 }P Y XP Y X PX??? ? ? ?? 19. 設(shè)隨機(jī)變量 X的分布律為: X:- 2, - 1, 0, 1, 3 P: 51 , 61 , 51 , 151 , 3011 求 Y=X 2的分布律 解:∵ Y=X 2: (- 2)2 (- 1)2 (0)2 (1)2 (3)2 P: 51 61 51 151 3011 再把 X 2的取值相同 的合并,并按從小到大排列,就得函數(shù) Y的分布律為: ∴ Y: 0 1 4 9 P: 51 15161? 51 3011 20 21. 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為 , 0 ,()0 , 0 .xX exfx x?? ?? ??? 求 XYe? 的概率密度 ()Yfy 解 1 當(dāng) 0x? 時(shí)函數(shù) xye? 單調(diào)增,反函數(shù)為 ( ) lnx h y y??,于是 XYe? 的概率密度為 ln211 , 1 , 1 ,( ) ( ( ) ) | ( ) |0 , 1 . 0 , 1 .yYXyey yyf y f h y h yy y? ?? ??????? ? ???? ?? ? 解 2 設(shè) Y 的分布函數(shù) 為 ()YFy,則 0 , 1 ,( ) ( ) ( )( l n ) , 1XY yF y P Y y P e y P X y y ??? ? ? ? ? ? ??? ln00 , 1, 1,y xye d x y?????? ????ln00 , 1, 1 .yxyey????? ????? ln0 , 1 ,0 , 1 ,11 , 1 .1 , 1 .yyyyey y????? ????? ????? ?? 21 , 1 ,( ) ( )0 , 1.YYyyf y F yy? ????? ???? 22. 設(shè) 1 | |, 1 1~ ( )0,X xxX f x o th e r? ? ? ??? ??,求 2 1YX??的概率密度 解:由于函數(shù) 2 1YX??不是嚴(yán)格單調(diào)的,所以不能用定理求解。 ( 1)求設(shè)備的壽命超過 1的概率 ( 2)已知設(shè)
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