【正文】 ,。（而不是Cj）及其密度圖來反映曲面高度變化情況的。(*將曲面方程參數化*)。畫圖時在基本最少點數上增加的細分點數。,內容總結,軟 件 介 紹。,從圖中我們可以清楚地看到: 該曲面左側有一個灰度最暗的谷點，右側有一個灰度最亮的峰點 相鄰兩條等值線所界定的區(qū)域里灰度大致相同，曲面的高度也大致相同，隨著灰度的變化，曲面的高度也隨之變化 在坐標原點的Oy軸附近等值線分布比較稠密，灰度的變化十分急驟，它反映了在這一帶曲面高度的變化十分急驟。,在上面例子中可選項全部采用了默認值，如果希望增加等高線的條數(例如由10增加到20)，并對等高線進行平滑處理，則可將上面例子中已做好的等高線全部信息先存放于變量Cp中，然后輸入 Show[Cp, Contours20, ContourSmoothingTrue] 運行后即可獲得改動后的等高線圖，如圖所示。 DensityPlot[z, {x, 2, 2}, {y, 2, 2}] 運行后得密度圖，如圖所示。,圖241中不僅有等高線Cj39。 z = x Exp[– x^2 – y^2] Plot3D[z, {x, 2, 2}, {y, 2, 2}] 運行后得曲面圖形，如圖 Cp = ContourPlot[z, {x, 2, 2}, {y, 2, 2}] 運行后得等高線圖，如圖所示。,第九十三頁，共九十八頁。,第九十二頁，共九十八頁。 如果在平面曲線簇Cj39。j = 1，2，…，p中曲線密度分布情況的 由于Cj39。,第九十一頁，共九十八頁。 在工程中（例如某些地形圖上）常是采用平面曲線簇Cj39。,3.5.7 等高線及密度圖 如果給高度以不同的值，z = zj，j = 1,2,…,p，那么就可得到曲面上一簇不同高度的等高線； 如果再將Cj投影到zOy面上就得到等高線Cj的一簇投影曲線Cj39。,3.5.7 等高線及密度圖 等高線，亦稱等值線，是指曲面上具有相同高度的那些點的連線。 Shadow[S82, YShadowFalse] 運行后可得輸出結果如圖所示。,Shadow[S82] 運行后可得輸出結果如圖所示。 y = r Sin[t]。 z2 = x^2 + y^2。,【例518】試求二曲面z1= 0.3xy + 2與z2 = x2 + y2的相交部分在坐標面上的投影。 投影函數Shadow放置于圖形擴展程序包中，所以必須先打開Graphics。 False, AxesFalse] Shadow[C52] 運行后可得輸出結果如圖所示。,空間圖形(包括空間曲線與曲面)在坐標面上的投影，可利用Shadow函數來實現(xiàn)。 ParametricPlot3D[{{x, y, z1}, {x, y, z2}}, {r, 0, 3}, {t, 0, 2 Pi}] 運行后可得輸出結果如圖所示。 x = r Cos[t]。 z1 = 0.2 (x + y) + 0.1。,第八十五頁，共九十八頁。,第八十四頁，共九十八頁。 S2 = Plot3D[0.5 (x^2 – y^2), {x, 1, 1}, {y, 1, 1}]。,【例515】繪制函數z1 = 0.2(x + y) + 0.1與z2 = 0.5(x2 – y2)在區(qū)域1≤x≤1，1≤y≤1上的圖形，并將此二圖形進行組合。 Show[S53, Axes False, Boxed False, ViewPoint{2, 2, 2}] 運行后可得輸出結果如圖所示 在此例中我們充分利用了Show函數的重現(xiàn)功能，圖形構造與顯示的信息全部存放于變量S53中，Show函數在顯示圖形時，只須改動立體框、坐標軸與視點即可，其他工作不必重新再做。 S53 = ParametricPlot3D[{x, y, z}, {r, 0.7, 1}, {t, 0, 2 Pi}] 運行后可得輸出結果如圖所示,第八十二頁，共九十八頁。 y = G Cos[t]。 G = Exp[(r Cos[4 r])^2]。,3.5.5 空間圖形的重現(xiàn)與組合 【例513】繪制回轉面在0.7≤r≤1， 0≤t≤2?上的圖形。 z = G Sin[t]。 x = r。 r = .。,3.5.5 空間圖形的重現(xiàn)與組合 前面已經介紹了平面圖形的重現(xiàn)與組合，對于空間圖形(包括空間曲線與曲面)也可以完全類似地利用Show函數進行圖形的重現(xiàn)與組合，現(xiàn)舉例說明如下。 Plot3D[Sin[x y], {x, 3, 3}, {y, 4,4}, LightingTrue, (*打開已設置的光源*) LightSources{{{2, 2, 0}, RGBColor[1, 0, 0]}, {{0, 0, 2}, RGBColor[0, 0.7, 0]}}] 運行后可得輸出結果如圖所示 此例中設置了兩個光源：一個放置于{2, 2, 0}位置的紅色光源[1, 0, 0]，另一個放置于{0, 0, 2}位置的綠色光源[0, 0.7, 0]，兩個光源的強度分別為1與0.7。,第七十九頁，共九十八頁。,【例511】在例8中改動對曲面的觀察點(視點)。 去掉了曲面的消隱，曲面上沒有了色彩(變?yōu)榘咨?，但仍有邊框和網格線。,【例510】去掉例8中曲面上的遮擋，即去掉曲面的消隱。 曲面旁邊沒有了邊框，曲面上沒有了網格，但仍有色彩和遮擋。,【例59】去掉例8中的邊框及曲面上的網格。 Plot3D[Sin[x y], {x, 3, 3}, {y, 4, 4}] 運行后可得輸出結果如圖所示 在Plot3D中沒有出現(xiàn)可選項，全部采用了默認值，曲面帶有邊框，曲面上有網格，有陰影(彩色)，還有遮擋的部分。,為了進一步弄清可選項的內容，再舉例子如下。 注：可選項1在生成圖形的基本元素時使用，可選項212在顯示圖形過程中使用。,第七十四頁，共九十八頁。 Tb = {{100, 100, 100, 100, 100}, {105, 120, 122, 125, 122}, {110, 130, 155, 157, 130}, {115, 133, 157, 160, 140}, {113, 132, 149, 154, 128}}。,其中數據zij可以由表達式z = x + y2在矩形區(qū)域0≤x≤4，0≤y≤5上以步長為1劃分網格生成的二維數據表得到，即取 Ta = Table[x + y^2, {x, 0, 4, 1}, {y, 0, 5, 1}],第七十三頁，共九十八頁。 ListPlot3D[Ta] 運行后可得輸出結果如圖所示。 【例56】已知4?5個zij值{0, 1, 4, 9, 16}，{1, 2, 5, 10, 17}，{2, 3, 6, 11, 18}，{3, 4, 7, 12, 19}，試繪制該曲面的圖形。,第七十一頁，共九十八頁。,在上面例子的可選項中選用了3項，是為了去掉方框，去掉坐標軸，加密了連線中的點數，讓圖形更加美觀一些 關于曲面的可選項，可參看本章3.5.4節(jié)的內容。 ParametricPlot3D[{x, y, z}, {u, 0, 2 Pi}, {t, 0, 2 Pi}, BoxedFalse, AxesFalse, PlotPoints30] 運行后可得圖所示。 y = (3 + Cos[t/2] Sin[u] – Sin[t/2] Sin[2 u]) Sin[t]。,【例55】繪制高維莫比烏斯曲面： 在范圍0≤u≤2?，0≤t≤2?上的圖形。 如果令b = 0則可得到圓環(huán)面，讀者不妨一試。 z = r Sin[u] + b v。 x = (R + r Cos[u]) Cos[v]。 r = 3。不妨取R = 8，r = 3，b = 3。,【例54】繪制螺管面 x=(R+rcosu)cosv, y=(R+rcosu)sinv, z=rsinu+bv，在范圍0≤u≤2?，0≤v≤3?上的圖形。,作為練習，讀者不妨在上面式子中將a = 0換為a = 1.2，看看斜螺面的樣子， 式中應用了自定義函數符號x[u_, v_]，y[u_, v_]，z[u_, v_]，有關情況請參看第8章中8.1.2節(jié)的內容。 當a = 0時，稱為正螺面，當a ? 0時，稱為斜螺面。 z[u_, v_] := a u + b v。 x[u_, v_] := u Cos[v]。 a = 0。,第六十六頁，共九十八頁。,3.5.2 參數式 參數曲面x = x(u，v)，y = y(u，v)，z = z(u，v)繪圖函數的調用格式如下： ParametricPlot3D[{x(u，v)，y(u，v)，z(u，v)}， {u，u1，u2}，{v，v1，v2}，可選項] 式中Para