【正文】 （ 5） 1121 ???? ????? rnrnrrrrrr CCCCC ?. (6) nnnrnnnn CCCCC 2210 ??????? ??. (7) 1420531 2 ???????? nnnnnnn CCCCCC ??. (8) 1321 232 ?????? nnnnnn nnCCCC ?. (9) r nmrnrmnrmnrm CCCCCCC ?? ???? 0110 ?. (10) n nnnnnn CCCCC 22222120 )()()()( ????? ?. mmnnA m C??！ . 157． 單條件 排列 以下各條的大前提是從 n 個(gè)元素中取 m 個(gè)元素的排列 . （ 1）“在位”與“不在位” ①某（特）元必在某位有 11??mnA 種；②某（特）元不在某位有 11??? mnmn AA （補(bǔ)集思想） 111 1 ???? mnn AA （著眼位置） 111 11 ???? ?? mnmmn AAA （著眼元素）種 . （ 2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰） （高中數(shù)學(xué)） 21 ①定位緊貼： )( nmkk ?? 個(gè)元在固定位的排列有 kmknkkAA ?? 種 . ②浮動(dòng)緊貼： n 個(gè)元素的全排列把 k 個(gè)元排在一起的排法有 kkkn kn AA 11???? 種 .注：此類(lèi)問(wèn)題常用捆綁法； ③插空：兩組元素分別有 k、 h 個(gè)（ 1??hk ），把它們合在一起來(lái)作全排列， k 個(gè)的一組互不能挨近的所有排列數(shù)有 khhhAA 1? 種 . （ 3）兩組元素各相同的 插空 m 個(gè)大球 n 個(gè)小球排成一列，小球必分開(kāi)，問(wèn)有多少種排法？ 當(dāng) 1??mn 時(shí)，無(wú)解；當(dāng) 1??mn 時(shí)，有 nmnnnm CAA 11 ?? ?種排法 . （ 4）兩組相同元素的排列：兩組元素有 m個(gè)和 n 個(gè)，各組元素分別相同的排列數(shù)為 nnmC? . 158．分配問(wèn)題 （ 1） (平均分組有歸屬問(wèn)題 )將相 異的 m 、 n 個(gè)物件等分給 m 個(gè)人，各得 n 件，其分配方法數(shù)共有mnnn nn nmnn nmnnmn nmnCCCCCN )!( )!(22 ??????? ?? ?. （ 2） (平均分組無(wú)歸屬問(wèn)題 )將相異的 m （ 3） 11mmnnnCCm ???。 (2) mnC + 1?mnC = mnC1? . 注 :規(guī)定 10?nC . （ 1） 11mmnnnmCCm ????。 （ 4） 11n n nn n nnA A A????。 （ 2）1mmnnnAAnm ?? ?。cosSS ?? . (平面多邊形及其射影的面積分別是 S 、 39。AA 的長(zhǎng)度為 a、 b 上分別取兩點(diǎn) E、 F，39。2 c o s ,d h m n m n E A A F? ? ? ?. 2 2 2 2 c osd h m n m n ?? ? ? ?（ 39。 212ta n ta n ( si n si n ) ta nAB? ? ?? ? ?. 特別地 ,當(dāng) 90AOB??時(shí) ,有 2 2 212sin sin sin? ? ???. l???? 的平面角 cos | || |mnarc mn? ?? 或 cos | || |mnarc mn? ?? （ m ， n 為平面 ? ， ? 的法向量） . 設(shè) AC是α內(nèi)的任一條直線(xiàn)，且 BC⊥ AC，垂足為 C，又設(shè) AO與 AB所成的角為 1? ， AB與 AC所成的角為 2? ，AO與 AC所成的角為 ? ．則 12cos cos cos? ? ?? . 133. 三射線(xiàn)定理 若夾在 平面角為 ? 的二面角間的線(xiàn)段與二面角的兩個(gè)半平面所成的角是 1? , 2? ,與二面角的棱所成的角是θ，則有 2 2 2 21 2 1 2sin sin sin sin 2 sin sin c o s? ? ? ? ? ? ?? ? ? 。AB、 為 ABO? 的兩個(gè)內(nèi)角，則 2 2 2 39。 b＝ 1 1 2 2 3 3a b a b a b??； A 1 1 1( , , )x y z ， B 2 2 2( , , )x y z ，則 AB OB OA??= 2 1 2 1 2 1( , , )x x y y z z? ? ?. 124．空間的 線(xiàn)線(xiàn)平行或垂直 設(shè) 1 1 1( , , )a x y z?r ， 2 2 2( , , )b x y z?r ，則 abrrP ? ( 0)a b b???r r r r ? 121212xxyyzz???????????； ab?rr? 0ab??rr ? 1 2 1 2 1 2 0x x y y z z? ? ?. 設(shè) a＝ 1 2 3( , , )a a a ， b＝ 1 2 3( , , )b b b ，則 cos〈 a， b〉 = 1 1 2 2 3 32 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3a b a b a ba a a b b b??? ? ? ?. 推論 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( )a b a b a b a a a b b b? ? ? ? ? ? ?，此即三維柯西不等式 . 126. 四面體的對(duì)棱所成的角 四面體 ABCD 中 , AC 與 BD 所成的角為 ? ,則 2 2 2 2| ( ) ( ) |c o s 2A B C D B C D AA C B D? ? ? ?? ?. 127．異面直線(xiàn)所成角 cos | cos , |ab? ? rr = 1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2||||| | | | x x y y z zababx y z x y z??? ??? ? ? ? ?rrrr （其中 ? （ 0 90???oo）為異面直線(xiàn) ab, 所成角 ， ,abrr分別表示異面直線(xiàn) ab, 的方向向量） AB 與平面所成角 sin | || |A B ma rc A B m? ?? (m 為平面 ? 的法向量 ). ABC? 所在平面若 ? 與過(guò)若 AB 的平面 ? 成的角 ? ,另兩邊 AC ,BC 與平面 ? 成的角分別是 1? 、2? , AB、 為 ABC? 的兩個(gè)內(nèi)角，則 2 2 2 2 212sin sin ( sin sin ) sinAB? ? ?? ? ?. 特別地 ,當(dāng) 90ACB??時(shí) ,有 2 2 212sin sin sin? ? ???. ABC? 所在平面若 ? 與過(guò)若 AB 的平面 ? 成的角 ? ,另兩邊 AC ,BC 與平面 ? 成的角分別是 1? 、（高中數(shù)學(xué)） 18 2? , 39。 | | cosA B AB? 〈 a， e〉 =aB ，則 （高中數(shù)學(xué)） 17 39。 當(dāng) 2 2 2 2m i n{ , } m a x{ , }a b k a b??時(shí) ,表示雙曲線(xiàn) . 221 2 1 2( ) ( )A B x x y y? ? ? ?或 2 2 2 22 1 1 2 1 2( 1 ) ( ) | | 1 ta n | | 1 tA B k x x x x y y c o??? ? ? ? ? ? ? ? ?（弦端點(diǎn) A ),(),( 2211 yxByx ，由方程??? ??? 0)y,x(F bkxy 消去 y得到 02 ??? cbxax ， 0?? ,? 為直線(xiàn) AB 的傾斜角， k 為直線(xiàn)的斜率） . （ 1）曲線(xiàn) ( , ) 0F x y ? 關(guān)于點(diǎn) 00( , )Px y 成中心對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)是 00( 2 , 2 ) 0F x x y y??. （ 2）曲線(xiàn) ( , ) 0F x y ? 關(guān)于直線(xiàn) 0Ax By C? ? ? 成軸對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)是 2 2 2 22 ( ) 2 ( )( , ) 0A A x B y C B A x B y CF x yA B A B? ? ? ?? ? ???. 108.“四線(xiàn)”一方程 對(duì)于一般的二次曲線(xiàn) 22 0Ax Bx y C y D x Ey F? ? ? ? ? ?，用 0xx代 2x ，用 0yy代 2y ，用 002x y xy? 代 xy ，用 02xx? 代 x ，用 02yy? 代 y 即得方程 0 0 0 000 02 2 2x y x y x x y yA x x B C y y D E F? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?，曲線(xiàn)的切線(xiàn)，切點(diǎn)弦，中點(diǎn)弦，弦中點(diǎn)方程均是此方程得到 . 109． 證明直線(xiàn)與直線(xiàn)的平行的思考途徑 （ 1）轉(zhuǎn)化為判定共面二直線(xiàn)無(wú)交點(diǎn)； （ 2）轉(zhuǎn)化為二直線(xiàn)同與第三條直線(xiàn)平行； （ 3）轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面平行； （ 4）轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直； （ 5）轉(zhuǎn)化為面面平行 . 110．證明直線(xiàn)與平面的平行的思考途徑 （ 1）轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與平面無(wú)公共點(diǎn)； （高中數(shù)學(xué)） 16 （ 2）轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)平行； （ 3）轉(zhuǎn)化為面面平行 . 111．證明平面與平面平行的思考途徑 （ 1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無(wú)公共點(diǎn)； （ 2）轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面平行； （ 3）轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直 . 112．證明直線(xiàn)與直線(xiàn)的垂直的思考途徑 （ 1）轉(zhuǎn)化為相交垂直； （ 2）轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直； （ 3）轉(zhuǎn)化為線(xiàn)與另一線(xiàn)的射影垂直； （ 4）轉(zhuǎn)化為線(xiàn)與形成射影的斜線(xiàn)垂直 . 113．證明直線(xiàn)與平面垂直的思考途徑 （ 1）轉(zhuǎn)化為該直線(xiàn)與平面內(nèi)任一直線(xiàn)垂直； （ 2）轉(zhuǎn)化為該直線(xiàn)與平面內(nèi)相交二直 線(xiàn)垂直； （ 3）轉(zhuǎn)化為該直線(xiàn)與平面的一條垂線(xiàn)平行； （ 4）轉(zhuǎn)化為該直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平行平面； （ 5）轉(zhuǎn)化為該直線(xiàn)與兩個(gè)垂直平面的交線(xiàn)垂直 . 114．證明平面與平面的垂直的思考途徑 （ 1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角； （ 2）轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直 . (1)加法交換律： a＋ b=b＋ a． (2)加法結(jié)合律： (a＋ b)＋ c=a＋ (b＋ c)． (3)數(shù)乘分配律：λ (a＋ b)=λ a＋λ b． 始點(diǎn)相同且不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量之和， 等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線(xiàn)所表示的向量 . 對(duì)空間任意兩個(gè)向量 a、 b(b≠ 0 )， a∥ b? 存在實(shí)數(shù)λ使 a=λ b． P A B、 、 三點(diǎn)共線(xiàn) ? ||AP AB ? AP tAB? ? (1 )O P t O A t O B? ? ?. ||AB CD ? AB 、 CD 共線(xiàn)且 AB CD、 不共線(xiàn) ? AB tCD? 且 AB CD、 不共線(xiàn) . 向量 p與兩個(gè)不共線(xiàn)的向量 a、 b共面的 ? 存在實(shí)數(shù)對(duì) ,xy,使 p ax by??． 推論 空間一點(diǎn) P位于平面 MAB內(nèi)的 ? 存在有序?qū)崝?shù)對(duì) ,xy,使 M P x M A y M B??， 或?qū)臻g任 一定點(diǎn) O，有序?qū)崝?shù)對(duì) ,xy，使 O P O M x M A y M B? ? ?. O 和不共線(xiàn)的三點(diǎn) A、 B、 C，滿(mǎn)足 O P x O A y O B z O C? ? ?（ x y k? ? ? ），則當(dāng) 1k?時(shí)，對(duì)于空間任一點(diǎn) O ，總有 P、 A、 B、 C四點(diǎn) 共面 ；當(dāng) 1k? 時(shí)，若 O? 平面 ABC，則 P、 A、 B、 C 四點(diǎn) 共面；若 O? 平面 ABC，則 P、 A、 B、 C四點(diǎn)不 共面． C AB、 、 、 D 四點(diǎn)共面 ? AD 與 AB 、 AC 共面 ? AD x AB y AC??? (1 )O D x y O A x O B y O C? ? ? ? ?（ ? 平面 ABC） . 如果三個(gè)向量 a、 b、 c 不共面，那么對(duì)空間任一向量 p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組 x， y， z，使 p＝ xa＋yb＋ zc． 推論 設(shè) O、 A、 B、 C 是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任 一點(diǎn) P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù) x， y， z，使O P x O A y O B z O C? ? ?. 已知向量 AB =a 和軸 l ， e 是 l 上與 l 同方向的 單位向量 .作 A點(diǎn)在 l 上的射影 39。 無(wú)公切線(xiàn)內(nèi)含 ????? 210 rrd . (1)已知圓 22 0x y D x E y F? ? ? ? ?． ①若已知切點(diǎn) 00( , )xy 在圓上，則切線(xiàn)只有一條，其方程是 0000 ( ) ( ) 022D x x E y yx x y y F??? ? ? ? ?. 當(dāng) 00( , )xy 圓外時(shí) , 0000 ( ) ( ) 022D x x E y yx x y y F??? ? ? ? ?表示 過(guò)兩個(gè)切點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程． ②過(guò)圓外一點(diǎn)的切線(xiàn)方程可設(shè)為 00()y y k x x? ? ? ，再利用相切條件求 k，這時(shí)必有兩條切線(xiàn)，注意不要漏掉平行于 y軸的切線(xiàn)． ③斜率為 k的切線(xiàn)方程可設(shè)為 y kx b??，再利用相切條件求 b，必有兩條切線(xiàn)． (2)已知圓 2 2 2x y r??． ①過(guò)圓上的 0 0 0( , )P x y 點(diǎn)的切線(xiàn)方程為 200x x y y r??。 條公切線(xiàn)相交 22121 ?????? rrdrr 。 0????? 相交rd . 其中22 BACBbAad???? . 設(shè)兩圓圓