【正文】 下面我們通過試題來了解這樣的類型【2008年安徽真題】一個(gè)袋子里放著各種顏色的小球，其中紅球占四分之一，后來又往袋子里放了10個(gè)紅球，這時(shí)紅球占總數(shù)的三分之二，問原來袋子里有多少小球？A8 B12 C16 D20―――――――――――――――――――――――這個(gè)題目中我們可以直接看出不變的部分 是除紅色小球以外的部分 我們稱之為 非紅色部分小球個(gè)數(shù)＝紅色＋非紅色剛開始 非紅色：整體＝3：4添加10個(gè)紅球之后是非紅色：整體＝1：3這兩個(gè)比例的參照對(duì)象是不同的他們相差10個(gè)球我們可以將表示同一恒量的比例值統(tǒng)一起來看3：41：3＝3：9我們發(fā)現(xiàn) 整體的比例值發(fā)生了變化 變化了多少 9－4＝5個(gè)比例點(diǎn) 對(duì)應(yīng)的就是10個(gè)小球所以每個(gè)比例點(diǎn)是2個(gè)小球 則答案應(yīng)該是 24＝8個(gè)小球【習(xí)題二】某校六年級(jí)有甲,乙兩個(gè)班,甲班學(xué)生人數(shù)是乙班的5/7,如果從乙班調(diào)3人到甲班,甲班人數(shù)是乙班的4/5,則乙班原有學(xué)生多少人? ――――――――――――――――――――――――――這個(gè)題目的恒量是甲乙兩個(gè)班級(jí)的總?cè)藬?shù)，我們發(fā)現(xiàn)題目所有的變動(dòng) 只是內(nèi)部活動(dòng) 沒有外界的加入和整體的流失。而下一架飛機(jī)到機(jī)場(chǎng)則是在110分鐘的時(shí)候，所以從108～110這段時(shí)間是機(jī)場(chǎng)首次出現(xiàn)沒有飛機(jī)的現(xiàn)象！答案應(yīng)該選B10.【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】關(guān)于比例法中變量守恒與變化的思路分析這個(gè)帖子主要是討論在一些存在三個(gè)變量公式中，由于某個(gè)變量守恒，另外兩個(gè)變量之間的關(guān)系引出的 通過變量發(fā)生改變的部分縮小范圍和數(shù)值來求解的方法，簡(jiǎn)稱比例法比例法我粗略分為2類（一）變量變化之比例這部分大家可以參考上面鏈接的習(xí)題 常識(shí)去掌握這部分的題目（二）變量守恒之比例這部分是通過 我們求解的試題中 某個(gè)變量恒定的把握。從0分鐘開始計(jì)算的 所以要多加1次解得N＝104分鐘所以我們知道104分鐘的時(shí)候是臨界點(diǎn) 飛機(jī)場(chǎng)只有1架飛機(jī)沒有起飛。我們必須先求臨界點(diǎn)。最后一次的時(shí)候 我們就無需考慮下滑了 因?yàn)橐呀?jīng)到頂了。問幾次能夠跳上來。這樣才好判斷。那么，從第一架飛機(jī)起飛之后，經(jīng)過多少分鐘，機(jī)場(chǎng)上第一次沒有飛機(jī)停留？A 104 B 108 C 112 D 116－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－這個(gè)題目類似于“青蛙跳井”問題，我們不能直接求最終結(jié)果，否則我們會(huì)忽略在臨界點(diǎn)狀態(tài)的一些變化。所以不對(duì)最后一組臨界點(diǎn)情況做提前判斷 就容易產(chǎn)生結(jié)果變大得情況！下面我們結(jié)合3個(gè)例題來看這個(gè)類型的題目！例一： 一個(gè)數(shù)是20 現(xiàn)在先加30，再減20，再加30，再減20，反復(fù)這樣操作 請(qǐng)問至少經(jīng)過多少次操作 結(jié)果是500？－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－我們先找最后一組達(dá)到500的臨界點(diǎn) 也就是我們把＋30，－20 2次操作看作1組，我們必須看＋30的時(shí)候是否能夠達(dá)到500先找臨界點(diǎn)最后一次增加 是需要＋30 基數(shù)是20 每一組操作是增加10那么計(jì)算是這樣的（500－30－20）/10=45 組 也就是說經(jīng)過45組即90次操作達(dá)到了470答案就是91次例二：小明的爸爸在高山上工作,那里的氣溫白天和夜晚相差很大,他的手表由于受氣溫的影響走得不正常,白天快1/2分鐘,夜里慢1/3分鐘,他10月1日白天對(duì)準(zhǔn)時(shí)間,問到哪一天手表正好快5分鐘?()A 10月25日 B10月28日 C10月26日 D10月29日－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－我們知道 白天 和晚上 為一組 即一天 整體情況是 可以塊1/21/3=1/6分鐘要得結(jié)果是快5分鐘 即我們必須最后一個(gè)白天情況進(jìn)行判斷即我們找出臨界點(diǎn)是 5－1/2=按照每天快1/6 （1/6）=27天 這時(shí)候 我們發(fā)現(xiàn)此時(shí)再加上一個(gè)白天即可完成 說明經(jīng)過了28天快了5分鐘答案就是10月28日。對(duì)于這樣的類型問題 其考查的要點(diǎn)是： 我們最終要求的結(jié)果 有可能是在某一組互斥操作的上半部分的操作時(shí)就已經(jīng)達(dá)到目的或者說已經(jīng)完成任務(wù)。已知相鄰樓層之間有10級(jí)臺(tái)階，那么小明從一層到二層共有多少種不同的走法？因?yàn)槭?，2，3級(jí)都可以所以可以采用A＋B＋C＝D的 裴波納契數(shù)列變式！列舉前3個(gè) 分別是1，2，3則 10個(gè)是 1，2，4，7，13，24，44，81，149，274練習(xí)題目：小明家住二層，他每次回家上樓梯時(shí)都是一步邁一級(jí)或三級(jí)臺(tái)階。1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233小明家住二層，他每次回家上樓梯時(shí)都是一步邁兩級(jí)或三級(jí)臺(tái)階。所以 3，1和1，3是不區(qū)分的 要去掉C3，2＝3種 實(shí)際上是6種，（2）、偶數(shù)＋偶數(shù)（2，4，6）偶數(shù)的情況跟奇數(shù)相同 也是6種！答案是 6＋6＝12方法二：當(dāng)然我們也可以算總的，那么就是 C6，1C6，1－C6，2＝36－15＝21種（為什么要減去C（6，2），因?yàn)槿我?個(gè)數(shù)字顛倒都是一種情況）看奇數(shù)： 奇數(shù)＝奇數(shù)＋偶數(shù) C3，1C3，1＝9種 所以答案是 21－9＝12種8.【討論】裴波納契數(shù)列的另類運(yùn)用先說典型的裴波納契數(shù)列：圖片：裴波納契數(shù)列 就是移動(dòng)求和A＋B＝C因?yàn)榈谝粋€(gè)月這對(duì)小兔長(zhǎng)成大兔 所以第一個(gè)月還是1對(duì) 即A從1開始。編號(hào)1的盒子是滿足的 至少需要1個(gè)，編號(hào)2至少需要2個(gè)，那么我們先給它1個(gè)，這樣就差1個(gè) 編號(hào)3至少需要3個(gè)，那么我們先給它2個(gè)，這樣就差1個(gè)現(xiàn)在三個(gè)盒子都滿足插板法的要求了 我們看還剩下幾個(gè)小球 ？ 10－1－2＝7 7個(gè)小球6個(gè)間隔 再按照插板法來做 C6，2＝15種！7.【糾錯(cuò)】?jī)蓚€(gè)相同的正方體的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字的排列組合問題有兩個(gè)相同的正方體，每個(gè)正方體的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字6。那么有多少種放法？－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【解析】還是同樣的原理。分別選取其中任意2個(gè)間隔就可以分成3份（班級(jí)）！C8取2＝28練習(xí)題目：有10個(gè)相同的小球。這樣這3個(gè)班級(jí)就都少1個(gè)，從而滿足至少1個(gè)的情況了33＝9 還剩下18－9＝9個(gè)剩下的9個(gè)節(jié)目就可以按照插板法來解答。這個(gè)條件就是： 分組或者分班等等 至少分得一個(gè)元素。[解析](1)這個(gè)問題也在先簡(jiǎn)單介紹一下環(huán)形排列的特征, 環(huán)形排列的特征是 第一個(gè)人是做參照物,:(1)先讓5個(gè)男的或5個(gè)女的先坐下來 全排列應(yīng)該是 P44, 空出來的位置他們的妻子(丈夫), 妻子(丈夫)的全排列這個(gè)時(shí)候有了參照物所以排列是P55 答案就是 P44*P55=2880種(2)先讓主人夫婦找一組相對(duì)座位入座 其排列就是P11(記住不是P22),這個(gè)時(shí)候其他8個(gè)人再入座,就是P88,所以此題答案是 P88(3)每對(duì)夫婦相對(duì)而坐,座的夫婦的,剩下的4組位置就是P44, 考慮到剩下來的4組位置夫婦可以互換位置即 P44*2^4=384(4)夫婦相鄰, 那么就是5個(gè)元素做環(huán)形全排列 即P44 這里在從性別上區(qū)分 男女看作2個(gè)元素 可以互換位置 即答案是P44*2=48種(值得注意的是,這里不是*2^4 因?yàn)橐Q位置,必須5對(duì)夫婦都得換 要不然就不能保持男女間隔)(5)夫婦相鄰 這個(gè)問題顯然比第4個(gè)問題簡(jiǎn)單多了,即看作捆綁 答案就是P44 最后答案是P44*2^5(6)先從大方向上確定男女分開座,1 , 剩下的5個(gè)男生和5個(gè)女生單獨(dú)做直線全排列 所以答案是P1,1 *P55*P55（四）在一張節(jié)目表中原有8個(gè)節(jié)目，若保持原有節(jié)目的相對(duì)順序不變，再增加三個(gè)節(jié)目，求共有多少種安排方法？[解析]這個(gè)題目相信大家都見過 就是我們這次2008年國(guó)家公務(wù)員考試的一道題目: 這是排列組合的一種方法 叫做2次插空法或多次插空法直接解答較為麻煩，我們知道8個(gè)節(jié)目相對(duì)位置不動(dòng),前后共計(jì)9個(gè)間隔,故可先用一個(gè)節(jié)目去插9個(gè)空位，有C9取1種方法；這樣9個(gè)節(jié)目就變成了10個(gè)間隔,再用另一個(gè)節(jié)目去插10個(gè)空位，有C10取1種方法；同理用最后一個(gè)節(jié)目去插10個(gè)節(jié)目形成的11個(gè)間隔中的一個(gè)，有C11取1方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法為9*10*11=990種。（5）夫婦相鄰。（3）每對(duì)夫婦相對(duì)而坐。（三）李先生與其太太有一天邀請(qǐng)鄰家四對(duì)夫婦共10人圍坐一圓桌聊天，試求下列各情形之排列數(shù)：（1）男女間隔而坐。[解析]這個(gè)題目就是直線全排列出現(xiàn)相同元素的問題:在我的另外一個(gè)帖子里面有介紹:(1)我們首先把相同元素找出來,B有2個(gè), I 有2個(gè) 我們先看作都是不同的11個(gè)元素全排列 這樣就簡(jiǎn)單的多是P11,11 然后把相同的元素能夠形成的排列剔除即可 P11/(P2,2*P2,2)=9979200。則有多少種種植方法？圖1例題2：用5種不同顏色為圖中ABCDE五個(gè)部分染色，相鄰部分不能同色，但同一種顏色可以反復(fù)使用，也可以不使用，則符合要求的不同染色方法有多少種？圖2例題3：將一個(gè)四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)染色，使同一條棱的2個(gè)端點(diǎn)不同色，且只由五個(gè)顏色可以使用，有多少種染色方法？圖3例題4：一個(gè)地區(qū)分為如圖4所示的五個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)在有4種顏色可供選擇，給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不同色，那么則有多少種染色方法？圖4例題5：某城市中心廣場(chǎng)建造了一個(gè)花圃，分6個(gè)部分（如圖5）現(xiàn)在要栽種4種不同的顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能種同樣顏色的花，則有多少種不同栽種方式？圖5：5.【分享】無私奉獻(xiàn)萬(wàn)華的排列組合題（系列之二）上次發(fā)了萬(wàn)華的數(shù)字推理５０道，大家反映良好，現(xiàn)在我把萬(wàn)華原創(chuàng)的幾道排列組合奉獻(xiàn)給大家．還是那句老話，如果覺得可以的話，看后要回帖！以表示對(duì)別人的尊重！一）1, 2, 3, 4作成數(shù)字不同的三位數(shù)，試求其總和？但數(shù)字不重復(fù)。幾何型排列組合問題的求解策略有關(guān)幾何型組合題經(jīng)常出現(xiàn)在各類試題中，它的求解不僅要具備排列組合的有關(guān)知識(shí)，、靈活、能力要求高，分步求解例1 圓周上有2n個(gè)等分點(diǎn)（n＞1），以其中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形的個(gè)數(shù)為______． 解：本題所求的三角形，即為圓的內(nèi)接直角三角形，由平面幾何知識(shí)，應(yīng)分兩步進(jìn)行：先從2n個(gè)點(diǎn)中構(gòu)成直徑（即斜邊）共有n種取法；再?gòu)挠嘞碌?2n－2)個(gè)點(diǎn)中取一點(diǎn)作為直角頂點(diǎn)，有(2n－2)種不同取法．故總共有n(2n－2)＝2n(n－1)個(gè)直角三角形．故填2n(n－1)．例2： 從集合{0、11}中任取3個(gè)元素分別作為直線方程Ax＋By＋C＝0中的A、B、C，所得的經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)原直線共有____條（結(jié)果用數(shù)值來表示）.解：因?yàn)橹本€過原點(diǎn)，所以C＝、11這6個(gè)數(shù)中任取2個(gè)作為A、B，兩數(shù)的順序不同，表示的直線也不同，所以直線的條數(shù)為 P（6，2）＝30． 二分類求解例3 四邊體的一個(gè)頂點(diǎn)為A，從其它頂點(diǎn)與各棱的中點(diǎn)中取3點(diǎn)，使它們和A在同一平面上，不同取法有（）(A)30種(B)33種(C)36種(D)39種解：符合條件的取法可分三類：① 4個(gè)點(diǎn)（含A）在同一側(cè)面上，有3 ＝30種；②4個(gè)點(diǎn)（含A）在側(cè)棱與對(duì)棱中點(diǎn)的截面上，有3種；由加法原理知不同取法有33種，排除法求解例4 從正方體的6個(gè)面中選取3個(gè)面，其中有2個(gè)面不相鄰的選法共有（）(A)8種(B)12種(C)16種(D)20種解：由六個(gè)任取3個(gè)面共有 C（6，3）＝20種，排除掉3個(gè)面都相鄰的種數(shù)，即8個(gè)角上3個(gè)平面相鄰的特殊情形共8種，故符合條件共有 20－8＝12種，故選(B)．例5 正六邊形的中心和頂點(diǎn)共7個(gè)點(diǎn)，以其中3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有（）個(gè)？解：從7個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，共有C（7，3）＝35 個(gè)，排除掉不能構(gòu)成三角形的情形．點(diǎn)在同一直線上有3個(gè)，故符合條件的三角形共有 35－3＝32個(gè)．四轉(zhuǎn)化法求解例6 空間六個(gè)點(diǎn)，它們?nèi)魏稳c(diǎn)不共線，任何四點(diǎn)不共面，則過每?jī)牲c(diǎn)的直線中有多少對(duì)異面直線？解：考慮到每一個(gè)三棱錐對(duì)應(yīng)著3 對(duì)異面直線，（6，4）＝15 個(gè)三棱錐，故共有315 ＝ 一個(gè)圓的圓周上有10個(gè)點(diǎn)，每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)連接一條弦，求這些弦在圓內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多有幾個(gè)？解：考慮到每個(gè)凸四邊形的兩條對(duì)角線對(duì)應(yīng)一個(gè)交點(diǎn)，則問題可轉(zhuǎn)化為構(gòu)成凸四邊形的個(gè)數(shù)．顯然可構(gòu)成 C（10，4）＝210個(gè)圓內(nèi)接四邊形，、染色問題：不涉及環(huán)形染色 可以采用特殊區(qū)域優(yōu)先處理的方法來分步解決。答案：D。1．2 不共面的點(diǎn)例2： 四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有（）A．150種B．147種C．144種D．141種解析：從10 個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)有C（10，4）＝210 種取法，其中4點(diǎn)共面的情況有三類：第一類，取出的4個(gè)點(diǎn)位于四面體的同一個(gè)面內(nèi)，有C（6，2）＝15種；第二類，取任一條棱上的3個(gè)點(diǎn)及對(duì)棱的中點(diǎn)，這4點(diǎn)共面有6種；第三類，由中位線構(gòu)成的平行四邊形，它的4個(gè)頂點(diǎn)共面，有3種。例析立體幾何中的排列組合問題在數(shù)學(xué)中，排列、組合無論從內(nèi)容上還是從思想方法上，都體現(xiàn)了實(shí)際應(yīng)用的觀點(diǎn)。問有多少種方法？例如：3對(duì)夫婦圍坐在圓桌旁，男女間隔的坐法有多少種？注解：排列組合中，特殊的地方在于，第一個(gè)坐下來的人是作為參照物，所以不納入排列的范疇，我們知道，環(huán)形排列中 每個(gè)位置都是相對(duì)的位置，沒有絕對(duì)位置，所以需要有一個(gè)人坐下來作為參照位置。環(huán)形排列和線性排列問題。例題： 1，2，3，4，5 五個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)十位數(shù)小于個(gè)位數(shù)的四位數(shù)？例題：7個(gè)人排成一排，其中甲在乙右邊（可以不相鄰）的情況有多少種？注解：分析2種對(duì)立情況的概率，即可很容易求解。例：4個(gè)不同小球放入編號(hào)為4的四個(gè)盒子，則恰有一個(gè)空盒的放法有___種。簡(jiǎn)析：按構(gòu)成矩形的過程可分為如下兩步：第一步．先在4條平行線中任取兩條，有C4取2種取法；第二步再在5條平行線中任取兩條，有C5取2種取法。例題：用0，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）A．24個(gè)B．3