【正文】 我們只要將不同的轉(zhuǎn)化為相同的，面積不一樣，但是沒公畝的原有量和每天每畝草長(zhǎng)的量是相同的。3．22頭牛吃33公畝牧場(chǎng)的草，54天可以吃盡，17頭牛吃同樣牧場(chǎng)28公畝的草，84天可以吃盡。4＝25頭牛吃草” 牛多了，自然吃的天數(shù)就少了我們還是可以根據(jù)上面的方法，挑選（1）或者（2）來做比較?？搭}目（1）“一片牧草，可供16頭牛吃20天”說明 這片牧草 吃了20天即原有的草和20天長(zhǎng)出來的草共計(jì)是2016＝320個(gè)單位（2）“也可以供80只羊吃12天”相當(dāng)于“20頭牛吃12天”說明這片牧草吃了12天即原來的草和12天長(zhǎng)出來的草共計(jì)是1220＝240個(gè)單位 兩者相減 320－240＝80 就是多出的8天所長(zhǎng)的草量 即每天草長(zhǎng)速度是80247。至于其原本有多少 ？不是我們關(guān)心的內(nèi)容，為什么這么說，因?yàn)樵谖覀冇?jì)算的時(shí)候，實(shí)際上是根據(jù)差值求草長(zhǎng)速度，那么原有的草量都是一樣，有些題目可能面積不一樣，但是每畝地的原始草量確實(shí)一樣的。我們利用 其速度差，速度和的關(guān)系將未知的變量抵消。這個(gè)題目也是2個(gè)行程問題的比較（1）小明跟扶梯之間是方向相同(1)(V小明＋V扶梯)=1/2（2）小芳跟扶梯的方向相反(2)(V小芳－V扶梯)=1/8(1)2(2)=3V扶梯＝1/4 可見扶梯速度是 1/12 答案就顯而易見了。小明用了2分鐘到達(dá)二樓，小芳用了8分鐘到達(dá)一樓。扶梯方向向上，小芳則從二樓到一樓。是相等的。2＝3614.【分享】關(guān)于相遇問題和追擊問題的綜合題目的分析一條街上，一個(gè)騎車人和一個(gè)步行人相向而行，騎車人的速度是步行人的3倍，每個(gè)隔10分鐘有一輛公交車超過一個(gè)行人。3（理由同上，可見規(guī)律出現(xiàn)）規(guī)律出現(xiàn) 總數(shù)是11＋9＋7＋。1 如果為10 則另外一個(gè)邊的長(zhǎng)度是10，9，8。這就是一個(gè)周期所以我們看最后一個(gè)倍數(shù)是多少1996 這是最后一個(gè)4的倍數(shù) 1＋9＋9＋6＝25 不行 還差3個(gè) 應(yīng)該是1999補(bǔ)上它 所以答案是 1996/4=499 但是 1999不含在其中 所以答案是 499－1＝498習(xí)題四：有一批長(zhǎng)度分別為10和11厘米的細(xì)木條，它們的數(shù)量都足夠多，從中適當(dāng)選取3根本條作為三條邊，可圍成一個(gè)三角形。50/2=25 所以直到 24，24，2這樣的情況少算了 P33P33/P22=3次所以一共少算了 243＝72按照標(biāo)準(zhǔn)情況來看應(yīng)該是 1176＋72＝1248種所以我們每組都需要扣除6種情況變?yōu)?種 因?yàn)椴粎^(qū)分組 所以答案是1248/P33=208種習(xí)題三：1～1998，有多少個(gè)數(shù)字其各個(gè)位置上的數(shù)字之和能被4整除？ －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【萬華解析】差不多每個(gè)4個(gè)數(shù)字都可以滿足題目的條件 我距離每40個(gè)數(shù)字1組就是一個(gè)周期例如：12不行 13可以，20不行22可以，32不行 35可以。所以計(jì)算重復(fù)了我們按照三個(gè)堆各不相同為標(biāo)準(zhǔn) 恢復(fù)到這個(gè)狀態(tài)來做。【萬華解析】每7個(gè)數(shù)字1組，余數(shù)都是1，2，3，4，5，6，0，要使得三個(gè)數(shù)字之和不是7的倍數(shù)，那么其余數(shù)之和就不是7的倍數(shù)。所以我們假設(shè)交換了a克a克相對(duì)于120克的溶液剩下部分的比例也就是滿足濃度之間的差值比例 跟原始的參照質(zhì)量也是同一比例。答案就是6＋1＝7不管余數(shù)是多少 答案就是最大數(shù)＋1 為什么這么說，我們來看 假如鮮花數(shù)量是24 也是分給5個(gè)人24/5=4 余數(shù)是4 連續(xù)自然數(shù)序列是 2，3，4，5，6 余數(shù)就分給最多的4個(gè)人 變成 2，4，5，6，7所以這里余數(shù)是多少不重要 直接用最大數(shù)＋1 即可12.【經(jīng)驗(yàn)分享】淺談mn/(m+n)公式的由來（鹽水交換問題）有甲乙兩杯含鹽率不同的鹽水，甲杯鹽水重１２０克，乙杯鹽水重８０克．現(xiàn)在從兩杯倒出等量的鹽水，分別交換倒入兩杯中．這樣兩杯新鹽水的含鹽率相同．從每杯中倒出的鹽水是多少克？公式： mn/(m+n)=120*80/(120＋80)＝48公式的由來是通過2個(gè)十字交叉法得到的你假設(shè)交換的部分是a克鹽水假設(shè)120克的鹽水 濃度是P1，80克的鹽水濃度是P2，那么對(duì)于120克的鹽水來講 建立十字交叉法120－a（P1）P－P2Pa（P2）P1－P我們得到（120－a）：a＝（P－P2）：（P1－P）那么對(duì)于80克的鹽水來講 建立十字交叉法80－a（P2）P1－PPa（P1）P－P2交換混合后相同的濃度是P我們得到（80－a）：a＝（P1－P）：（P－P2）根據(jù)這2個(gè)比例的右邊部分我們可以得到（120－a）：a＝a：（80－a）化簡(jiǎn)得到 a＝12080/(120+80)說明跟各自的濃度無關(guān)！－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－補(bǔ)充方法：因?yàn)?種溶液的混合濃度相等。 C、9 這個(gè)題目提問的是 最多的人至少分得多少道理是一樣的。因?yàn)檫@對(duì)輕者的體重?zé)o影響。當(dāng)他們5個(gè)體重?zé)o限接近的時(shí)候 重的人的優(yōu)勢(shì)不明顯了 因?yàn)檫@些優(yōu)勢(shì)都在輕的人身上，但是卻沒有超出。最重的人的體重也就被拖低了，同樣這個(gè)道理?；蛘?找出守恒的變量 通過它找到對(duì)等的關(guān)系11.【討論】“五個(gè)人的體重之和是423斤,他們的體重都是整數(shù)”一題五個(gè)人的體重之和是423斤,他們的體重都是整數(shù),最重可能是()斤 有人說這個(gè)題目少條件，其實(shí)不少條件，為什么這么說呢，這是需要來根據(jù)題目的提問分析的我們能夠知道的就是5個(gè)人的總重量是固定的 還有就是他們的體重都是整數(shù)，且各不相同，注意看提問“體重最輕的人 最重是多少？”首先你這樣想 因?yàn)轶w重各不相同，肯定有人最輕，但是我們要想辦法讓他輕也要盡可能的重些。那么回歸到10公斤的時(shí)候 銅應(yīng)該是9－5＝4個(gè)比例點(diǎn) 4＋6＝10 每個(gè)比例點(diǎn)就是1公斤自然我們就知道準(zhǔn)確的值就是5公斤了總結(jié)： 很多問題其實(shí)其實(shí)就是學(xué)會(huì)尋找一個(gè)折中 或者學(xué)會(huì)抓住一個(gè)特質(zhì)比例法就是讓我學(xué)會(huì)在都在變化的變量中找準(zhǔn)變化比例規(guī)律。所以總?cè)藬?shù)就是一個(gè)恒定量開始的時(shí)候乙班人數(shù)：總?cè)藬?shù)＝7：12從乙班調(diào)3人進(jìn)入甲班 則比例發(fā)生變化為乙班人數(shù)：總?cè)藬?shù)＝5：9總?cè)藬?shù)分別是12和9個(gè)比例點(diǎn) 是不統(tǒng)一的 即每個(gè)比例單位值不相同了 所以我們首先進(jìn)行的就是統(tǒng)一比例值12和9的最小公倍數(shù)是 36那么調(diào)動(dòng)前后的比例就可以表示為21：36 和 20：36 我們發(fā)現(xiàn)甲班的人數(shù)多了一個(gè)比例點(diǎn) 那么這1個(gè)比例點(diǎn)就是對(duì)應(yīng)的調(diào)入的3人 總?cè)藬?shù)是36個(gè)比例點(diǎn) 則總?cè)藬?shù)336＝108人 而乙班人數(shù)則是321＝63人【習(xí)題三】有銀銅合金10公斤，加入銅后，其中含銀2份，含銅3份。通過這個(gè)恒量在整個(gè)比例中所得的比例點(diǎn)的不同參照物下的變化 來反向了解整體變化 或者是與之相關(guān)聯(lián)的變量變化的情況。當(dāng)108分鐘的時(shí)候，飛機(jī)起飛了。所謂的臨界點(diǎn)就是當(dāng)機(jī)場(chǎng)剩下1架飛機(jī)的時(shí)候假設(shè)是N分鐘剩下一架飛機(jī)！N/4 +1=(N2)/6 + 1 +（101）為什么兩邊都＋1 那是因?yàn)檫@是植樹問題。同樣這個(gè)題目很多人做出116分鐘，其原因就是犯了這個(gè)錯(cuò)誤。這個(gè)題目的臨界點(diǎn)就是當(dāng)青蛙最后一次跳5米的時(shí)候剛好到井口！也就是說我們只需研究到青蛙跳到10－5＝5米的地方，這里都是常規(guī)計(jì)算（10－5）/(54)=5次。例如“青蛙跳井”問題，10米深的井，青蛙每次跳5米 就會(huì)下滑4米。碰到這種問題 首先就是求臨界點(diǎn)是在什么時(shí)候發(fā)生，發(fā)生時(shí)的狀況怎么樣。例三：機(jī)場(chǎng)上停著10架飛機(jī)，第一架起飛后，每隔4分鐘就有一架飛機(jī)接著起飛，而在第一架飛機(jī)起飛后2分鐘，又有一架飛機(jī)在機(jī)場(chǎng)上降落，以后每隔6分鐘就有一架飛機(jī)在機(jī)場(chǎng)上降落，降落在飛機(jī)場(chǎng)上的飛機(jī)，又依次隔4分鐘在原10架之后起飛。如果仍然看作一組來結(jié)果 就會(huì)使其從到達(dá)目的得位置上被互斥操作得另一個(gè)相反操作給拖回去。已知相鄰樓層之間有10級(jí)臺(tái)階，那么小明從一層到二層共有多少種不同的走法？9.【經(jīng)驗(yàn)分享】關(guān)于臨界點(diǎn)類型算數(shù)問題的分析所謂臨界點(diǎn)問題 我們也可看作是青蛙跳井問題，這類問題的特征是 將2次具有結(jié)果上互斥（相反）的操作看作1組操作的運(yùn)算例如典型的青蛙跳井，每跳上去5米 會(huì)滑下來3米 5米和3米的2個(gè)結(jié)果對(duì)應(yīng)的操作就是互斥操作。已知相鄰樓層之間有16級(jí)臺(tái)階，那么小明從一層到二層共有多少種不同的走法？A：54 B：64 C：57 D：37－－－－－－－－－－－－－－－－－－－這個(gè)題目剛剛看到討論 我也用排列組合的辦法參與了討論 現(xiàn)在我再來說說裴波納契數(shù)列的解法樓梯級(jí)數(shù)：1，2，3，4，5，6........走法情況：0，1，1，1，2，2........這是一個(gè)裴波納契的間隔運(yùn)用 因?yàn)樗麤]有走1步的情況即A＋B＝D0，1，1，1，2，2，3，4，5，7，9，12，16，21，28，37在舉例1題：小明家住二層，他每次回家上樓梯時(shí)都是一步邁一級(jí)，兩級(jí)或三級(jí)臺(tái)階。第2個(gè)月開始剩下一對(duì)小兔 合計(jì)2對(duì) B從2開始。將兩個(gè)正方體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的有多少種情形？（）A．9 B．12 C．18 D．24－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－很多教材給出的答案是18這里我更正以下：請(qǐng)大家注意紅色字體 “相同”如果一個(gè)顯示3，一個(gè)顯示1，交換以下 是 1，3是否是2種呢？顯然不是 是1種這是這個(gè)題目存在的陷阱－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 方法一：為偶數(shù)的情形 分2種情況（1）、奇數(shù)＋奇數(shù)：（1，3，5）C（3，1）C（3，1）注意因?yàn)檫@里是相同的兩個(gè)色子。每個(gè)盒子至少的要求和插板法有出入 那么我們第一步就是想辦法滿足插板法的要求。分別放到編號(hào)為1，2，3的盒子里 要使得每個(gè)盒子的小球個(gè)數(shù)不小于其編號(hào)數(shù)。9個(gè)節(jié)目排成一排共計(jì)8個(gè)間隔。注意條件是 至少分得1個(gè)元素！好我們先來看題目，例題1：某學(xué)校四、五、六三個(gè)年級(jí)組織了一場(chǎng)文藝演出，共演出18個(gè)節(jié)目，如果每個(gè)年級(jí)至少演出4個(gè)節(jié)目，那么這三個(gè)年級(jí)演出節(jié)目數(shù)的所有不同情況共有幾種？ －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 【解析】這個(gè)題目是Q友出的題目，題目中是不考慮節(jié)目的不同性 你可以視為18個(gè)相同的節(jié)目 不區(qū)分！發(fā)現(xiàn)3個(gè)年級(jí)都是需要至少4個(gè)節(jié)目以上！跟插板法的條件有出入，插板法的條件是至少1個(gè)，這個(gè)時(shí)候?qū)Ρ纫幌?，我們就有了這樣的思路，為什么我們不把18個(gè)節(jié)目中分別給這3個(gè)年級(jí)各分配3個(gè)節(jié)目。方法2: 我們先安排11個(gè)位置,把8個(gè)節(jié)目按照相對(duì)順序放進(jìn)去,在放另外3個(gè)節(jié)目,11個(gè)位置選3個(gè)出來進(jìn)行全排列 那就是P11,3=11*10*9=990（五）0，1，2，3，4，5五個(gè)數(shù)字能組成多少個(gè)被25整除的四位數(shù)？[解析] 這里考察了一個(gè)常識(shí)性的問題 即 什么樣數(shù)才能被25整除 即這個(gè)數(shù)的后2位必須是25或者50，或者75或者00 :千位只有3個(gè)數(shù)字可選(0不能)百位也是3個(gè)可選 即3*3=9種后兩位是50的情況有:剩下的4個(gè)數(shù)字進(jìn)行選2位排列 P4,2=12種75不可能，因?yàn)閿?shù)字中沒有7 00也不可能，因?yàn)閿?shù)字不能重復(fù) 共計(jì) 9+12=21種6.【分享】“插板法”的條件模式隱藏運(yùn)用分析在說這2 道關(guān)于“插板法”的排列組合題目之前，我們需要弄懂一個(gè)問題：插板法排列組合是需要什么條件下才可以使用？這個(gè)問題清楚了，我們?cè)谝院蟮拇痤}中 就可以盡量的變化題目使其滿足這個(gè)條件。（6）男的坐在一起，女的坐在一起。（4）男女間隔且夫婦相鄰。（2）主人夫婦相對(duì)而坐。(2)第2個(gè)小問題 因要保持PRO的順序，就將PRO視為相同元素（跟B，I類似的性質(zhì)），則其排列數(shù)有11！/（2！2！3?。? 166320種。[解析]組成3位數(shù) 我們以其中一個(gè)位置(百位,十位,個(gè)位)為研究對(duì)象就會(huì)發(fā)現(xiàn) 當(dāng)某個(gè)位置固定 比如是1,那么其他的2個(gè)位置上有多少種組合? 這個(gè)大家都知道 是剩下的3個(gè)數(shù)字的全排列 P32 我們研究的位置上每個(gè)數(shù)字都會(huì)出現(xiàn)P32次所以每個(gè)位置上的數(shù)字之和就可以求出來了個(gè)位是:P32*(1+2+3+4)=60 十位是:P32*(1+2+3+4)*10=600 百位是:P32*(1+2+3+4)*100=6000 所以總和是6660（二）將“PROBABILITY ”11個(gè)字母排成一列，排列數(shù)有______種，若保持P, R, O次序，則排列數(shù)有______種。環(huán)形染色可采用如下公式解決：An＝（a－1）^n+(a1)(1)^n n表示被劃分的個(gè)數(shù)，a表示顏色種類原則：被染色部分編號(hào)，并按編號(hào)順序進(jìn)行染色，根據(jù)情況分類 在所有被染色的區(qū)域，區(qū)分特殊和一般，特殊區(qū)域優(yōu)先處理例題1：將3種作物種植在如圖4所示的5塊試驗(yàn)田里，每塊種植一種作物，且相鄰的試驗(yàn)田不能種同一種作物。點(diǎn)評(píng)：此題難度很大，對(duì)空間想像能力要求高，很好的考察了立體幾何中點(diǎn)共面的幾種情況；排列、組合中正難則反易的解題技巧及分類討論的數(shù)學(xué)思想。以上三類情況不合要求應(yīng)減掉，所以不同取法共有210－415－6－3＝141 種。1 點(diǎn)1．1 共面的點(diǎn)例題： 四面體的一個(gè)頂點(diǎn)為A，從其它頂點(diǎn)與棱的中點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)，使它們和點(diǎn)A在同一平面上，不同的取法有（）A．30種B．33種C．36種D．39種答案：B 點(diǎn)評(píng)：此題主要考查組合的知識(shí)和空間相像能力；屬難度中等的選擇題，失誤的主要原因是沒有把每條棱上的3點(diǎn)與它對(duì)棱上的中點(diǎn)共面的情況計(jì)算在內(nèi)。幾何問題：見下面部分的內(nèi)容。（見我的基礎(chǔ)排列組合講義二習(xí)題講解）例如：3個(gè)女生和4個(gè)男生圍坐在一個(gè)圓桌旁。當(dāng)對(duì)立情況的概率相等，即對(duì)稱原理。144插板法插板法的條件構(gòu)成： 1元素相同，2分組不同，3必須至少分得1個(gè) 插板法的類型：（1）、10塊奶糖分給4個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友至少1塊，則有多少種分法？（典型插板法 點(diǎn)評(píng)略）（2）、10塊奶糖分給4個(gè)小朋友有多少種方法？（湊數(shù)插板法： 這個(gè)題目對(duì)照插板法的3個(gè)條件我們發(fā)現(xiàn) 至少