【正文】 U(P0)204。165。$N206。存在P0的某個(gè)鄰 域U(P0)使U(P0)204。存在某個(gè)區(qū)域Da，使P0206。Dn，N=1,2，3，L根據(jù)閉域定理，存在唯一點(diǎn)P0206。165。d(Dn)163。d(D2)163。D1，A2204。b2a2=2(ba),d2c2211=2(dc).如此繼續(xù)，得一閉域套{Dn}，其中bnan=n(ba)221dn=n(dc),n=3,4,L2且滿足(i)Dn+1204。y163。x163。d1}11=b1a1=(ba),d1c1=(ba)22同理將長方形區(qū)域，劃分成四個(gè)長方形子域，而D1被劃分成若個(gè)閉子域，其中至少有一個(gè)閉子域D2，不能被有限個(gè)開域所覆蓋。b1,c1163。1(ba)2+(dc)22記A1={(x,y)|a1163。D，A1204。y163。x163。$a,b,c,d,L使 Dn204。Da)，)證：因?yàn)镈204。R2為一有界閉域，{Da}為一開域族，它覆蓋D(即D204。0,Pn)=0,即P0=P39。165。2d174。r(P0,Pn)+r(P39。Dn,n=1,2,L，則由r(P0,P39。若還有P39。Dn,n=1,2,L,p174。165。N+，有Pn+p206。對任意確定的n206。R2,使limPn=P0n174。165。dn174。Dn,n=1,2,L,由于Dn+p204。則存在唯一點(diǎn)P0206。Dn+1,n=1,2,L(ii)dn=d(Dn),limdn=0n174。EF,即p是EF的內(nèi)點(diǎn)，所以EF為開集。,取d=min(d1,d2),則有U(p。d2)199。d1)204。E,p207。注：本題亦可以按定義證明：這里只證EF為開集，p206。FE為閉集，而E199。CF是開集，CE是閉集222。y206。A，y207。A222。AICB反之，y206。CB222。x206。A，x207。AB222。CE1UCE2=C(E1IE2)CE1ICE2=C(E1UE2)都是閉集(見(1))222。證：E1，E2都為開集222。CF1UCF2=C(F1IF2)C(F1IF2)是開集，F(xiàn)1IF2是閉集。1,d39。CF2222。20,有U(P，d39。1)204。$d39。Q206。CF1ICF=C(F1UF2)Q206。CF2222。$d1(P，d1)204。P206。P206。C(F1UF2)222。F1UF2222。F1且Q207。CF2222。Q206。C(F1UF2)=CF1ICF2反之，若Q206。P206。CF1且P206。F2222。P207。P207。CE的每個(gè)點(diǎn)都是CE的內(nèi)點(diǎn)，、證明：(1)若F1，F(xiàn)2是閉集，則F1UF2與F1IF2都是閉集證：先證：C(F1UF2)=CF1ICF2；C(F1IF2)=CF1UCF2若P206。CE222?？偞嬖赑的某個(gè)鄰域U(P，d)，使U(P，d)IE=f222。CE，即P207。(2)若E是閉集222。點(diǎn)P有U(P，d)，從而也是CE的聚點(diǎn)；若P是E的界點(diǎn)，那么P同時(shí)也是CE的界點(diǎn)222。E且不為E的界點(diǎn)，若$d0，使U(P，d)199。證：(1)若E是開集222。證明：開集與閉集具有對偶性若E是開集，則CE是閉集；若E是閉集，則CE是開集。(2k+1)p,k=0,1,2,L} 是閉集，但不是區(qū)域.(7)f(x,y)=ln(yx)解：定義域D={(x,y)|yx}，是開集，也是開域.(8)f(x,y)=e(x2+y2)2解：定義域D=R,是開集，又是閉集，是閉域又是開域.(9)f(x,y,z)=zx2+y2+1解：定義域D=R2，是開集也是閉集，是開域又是閉域.（10）f(x,y,z)=R2x2y2z2+1x+y+zr2222(Rr)22222解：定義域{(x,y,z)rx+y+z163。(6)f(x,y)=sin(x2+y2)解：定義域D={(x,y)2kp163。(5)f(x,y)=lnx+lny解：定義域D={(x,y)|x0,y0},是開集，也是開域。1},是閉集，但不是區(qū)域。(4)f(x,y)=1x2+y21解：定義域D={(x,y)|x163。0},是開集。x},是開集，但不是開域，圖略。x2+y2(1)f(x,y)=2xy2定義域D={(x,y)|y185。2arctan(1+31+3)=234。249。249。,求f(,)arctan(x+y)249。165。當(dāng)nN時(shí)，就有xnx0ee,yny0221212e+e=e，22這時(shí)r(Pn,P0)=(xnx0)2+(yny0)2即Pn206。n174。N+n174?！俺浞中浴保鬺imxn=x0，limyn=y0222。r(Pn,P0)e，即limyn=y0n174。165。即 r(Pn,P0)=(xnx0)2+(yny0)2e推得xnx0163。U(P0,e)n174。e0,$N206。165。165。E1185。3}這里E的一切點(diǎn)都是聚點(diǎn)，且是E的全部聚點(diǎn)，所以E是閉集，然而E中的開域是E1={(x,y)|x2+y21}及dE1={(x,y)|x2+y2=1}且E1200。1或y=0,2163。P一定是聚點(diǎn)()若P是一界點(diǎn)222。E()若是開域中一點(diǎn)222。U0(P0,e)(P2,P0)證明：閉域必為閉集，舉例說明反之不真。對e1=1,$P1206。當(dāng)nN時(shí)，有Pn206。N+n174。y163。2}(8){(x,y)|x,y均為整數(shù)}解：是閉集，界點(diǎn)集{(x,y)|x,y均為整數(shù)}1(9){(x,y)|y=sin,x0}x1解：是閉集，聚點(diǎn)E={(x,y)|y=sin,x0}200。2}，dE={(x,y)|x2+y2=1,y=0,1163。1或y=0,1163。x163。1},界點(diǎn)：dE=E(7){(x,y)|x2+y2163。1}解：是閉集，有界點(diǎn)集，聚點(diǎn)：E={(x,y)|x2+y2=1y=0,0163。2}(6){(x,y)|x2+y2=1,y=0,0163。{(x,y)|x+y=2,0163。x163。2}200。2}界點(diǎn)集：{(x,y)|x=2,0163。2,y163。0}解：是開集，聚點(diǎn)：E=R2,界點(diǎn)：{(x,y)|xy=0}(3){(x,y)|xy=0}解：是閉集，聚點(diǎn)：E={(x,y)|xy=0}(4){(x,y)|yx2}解：是開集，區(qū)域，聚點(diǎn)：E={(x,y)|y179。x163。y163。[a,b]180。(1)[a,b)180。0.第五篇：第十六章多元函數(shù)的極限與連續(xù)第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)167。4(1+4x2)(1+6y2)12x2+3y2x174。0xy174。022x+ysinxy；2）； limx174。0x+(x，y)=4，證明：當(dāng)點(diǎn)(x，y)沿通過原點(diǎn)的任意直線(y=mx)趨于（0,0）時(shí)，函數(shù)f(x，y)23(x+y)存在極限，=(x，y)y(x，y)=2限制在區(qū)域，則函數(shù)f(x，y)在原點(diǎn)（0，0）+y{}： 1）lim3）lim(x+y)In(x+y)；4）limx174。0235。0235。0234。與lim233。0)，求 lim233。1y174。0x+yxyy174。0x174。 ,例2f(x,y)=237。m , x2+y2=+m2證明函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0 , 0)沿方向y= , 0yx2, 165。x+yf(x,y)=237。0 ,22239。 3 二元函數(shù)的連續(xù)性(4 時(shí))一． 二元函數(shù)的連續(xù)（相對連續(xù)）概念：:定義(x,y) 236。x0y174。/⑵的例.(x,y)174。0 ,(x⑷ 兩個(gè)累次極限存在(甚至相等)222。(0,0).可見全面極限存在 , 但兩個(gè)累次極限均不存在.|f(x,y)| 163。y0x174。Eyx206。y0x174。y0y206。x0x206。x0x206。Eyy185。Ey上有定義。.222x+二次極限:定義3．設(shè)Ex,Ey204。 驗(yàn)證(x,y)174。(x0,y0)limf(x,y)=+165。P174。U0(P0,d)199。的定義:2定義2．設(shè)f為定義在D204。(0,0)xyx+y(x,y)174。(0,0)limxy+11ln(1+x2+y2)。(x,y)174。(0,0)limsinxyx2ylim。0 ,(x,y)=(0,0).238。x2+y2(x,y)174。(0,0),239。/ 全面極限存在例4 236。P0, 數(shù)列{f(Pn)}(P)不存在, 可證明沿某個(gè)方向的極限不存在 , 或證明沿某兩個(gè)方向的極限P174。 對D內(nèi)任一點(diǎn)列{ Pn }, Pn174。P0P206。P0P206。E2limf(P)=A2, 但A1185。E1P174。D, (P)=A1，P174。P0P206。P0P206。E推論1設(shè)E1204。D就有l(wèi)imf(P)=174。對D的每一個(gè)子集E , 只要點(diǎn)P0是E的聚點(diǎn) , P174。f(x,y)=0.(用極坐標(biāo)變換)P94 (x,y)174。x2+y2239。(0,0),239。0例3 236。(2,1)lim(x2+xy+y2)== 用“ed”定義驗(yàn)證極限 lim2x174。P0(x,y)174。U0(P0,d)199。 2 二元函數(shù)的極限二重極限亦稱為全面極限定義1 設(shè)f為定義在D204。2．R2中的完備性定理：（1）Cauchy收斂準(zhǔn)則:.（2）.閉域套定理:（3）.聚點(diǎn)原理: 列緊性 ，Weierstrass聚點(diǎn)原理.（4）有限復(fù)蓋定理:三．二元函數(shù):、記法、圖象：： 例6 求定義域：ⅰ f(x,y)=: 例7 例8 9x2y2x2+y21。).例5 { Pn }, 使limPn=174。y0,(n174。xn174。U(P0,e)或r(P0,P