【正文】 ﹁r ⑤⑦ 合取由于最后一步r217。q 前提引入 ⑤￢r ④化簡律 ⑥r(nóng)217。p 證明：①p 結(jié)論的否定引入 ②p174。216。r218。216。r)前提引入 ⑤q174。p 前提引入 ③p ①②假言推理 ④p174。p,q 結(jié)論：s174。(q174。p 前提引入 ⑩p ⑧⑨假言推理(11)p217。q)⑤ 置換 ⑦（q174。t）217。t 前提引入⑤q171。r 前提引入 ②t ①化簡律 ③q171。q ③④拒取式 ⑥p174。216。216。r)前提引入 ②216。q證明：（2）①216。t,t217。p,q171。r),r 結(jié)論：216。q,216。這些歷年試題此時就有了巨大的作用。除了我們使用的課本外，應(yīng)盡可能地弄到報考院校的專業(yè)課歷年試題。第三階段，進行真題模擬訓(xùn)練，提高整體水平和綜合能力的階段。這時，要取得較好的成績也就不是太難的事情了?！币悄玫揭槐玖?xí)題集，從頭到尾做過，甚至背會的話。如此多作練習(xí)，則即使遇到比較陌生的題也可以較快地領(lǐng)悟其本質(zhì)，從而輕松解出。以推理題為例，主要是利用P、T規(guī)則，加上蘊涵和等價公式表，由給定的前提出發(fā)進行推演，或根據(jù)題目特點采用真值表法、CP規(guī)則和反證法。例如在命題邏輯部分，無非是這么幾種題目：將自然語言表述的命題符號化，等價命題的相互轉(zhuǎn)化（包括化為主合取范式與主析取范式），以給出的若干命題為前提進行推理和證明。這是最漫長的一個階段，耗時也很難估計，一般來說，若能熟練解出某一章75%以上的課后習(xí)題，可以考慮結(jié)束該章。這一過程視各人情況不同耗時約在一到兩個月內(nèi)。也不需做太多的題（甚至不做課后習(xí)題也是可以的，把例題看懂就行），重心要放在對定義和定理的記憶上。具體做法可以是：在進行完一章的學(xué)習(xí)后，用專門的時間對該章包括的定義與定理實施強記，直到能夠全部正確地默寫出來為止。這是離散數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的第一個困難。由于這些定義非常抽象，初學(xué)者往往不能在腦海中建立起它們與現(xiàn)實世界中客觀事物的聯(lián)系。離散數(shù)學(xué)是建立在大量定義上面的邏輯推理學(xué)科。復(fù)習(xí)離散數(shù)學(xué)的整個過程可大致分為三個階段。針對這一要求，在講課中老師會提供大量的典型例題供同學(xué)們參考和學(xué)習(xí)。仔細地寫解題過程或證明是很重要的，既能讓讀者理解它，又能保證解題過程或證明準確無誤。在離散數(shù)學(xué)中，假設(shè)讓你解一道題或證明一個命題，你應(yīng)首先讀懂題意，然后尋找解題或證明的思路和方法，當你相信已找到了解題或證明的思路和方法，你必須把它嚴格地寫出來。判斷題、填空題、選擇題主要涉及基本概念、基本理論、重要性質(zhì)和結(jié)論、公式及其簡單計算；計算題主要考核學(xué)生的基本運用技能和速度，要求寫出完整的計算過程和步驟；證明題主要考查應(yīng)用概念、性質(zhì)、定理及重要結(jié)論進行邏輯推理的能力，要求寫出嚴格的推理和論證過程。了解是能正確判別有關(guān)概念和方法；理解是能正確表達有關(guān)概念和方法的含義；掌握是在理解的基礎(chǔ)上加以靈活應(yīng)用。如：集合論、函數(shù)、關(guān)系和圖論，其解題思路和證明方法均有相同或相似之處。離散數(shù)學(xué)的三大體系雖然來自于不同的學(xué)科，但是這三大體系前后貫通，形成一個有機的整體。在此特別強調(diào)一點：深入地理解和掌握離散數(shù)學(xué)的基本概念、基本定理和結(jié)論，是學(xué)好離散數(shù)學(xué)的重要前提之一。因此，在離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，要注重抽象思維能力、邏輯推理能力的培養(yǎng)和訓(xùn)練，這種能力的培養(yǎng)對今后從事各種工作都是極其重要的。由于這些定義的抽象性，使初學(xué)者往往不能在腦海中直接建立起它們與現(xiàn)實世界中客觀事物的聯(lián)系。作為學(xué)生，首先應(yīng)該熟悉并且會用這些方法，同時，還要勤于思考，對于一道題，進可能地多探討幾種解法。所以在聽課和平時的復(fù)習(xí)中，要善于總結(jié)和歸納具有規(guī)律性的內(nèi)容。反之，則事倍功半。在離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，一定要注重和掌握離散數(shù)學(xué)處理問題的方法，在做題時，找到一個合適的解題思路和方法是極為重要的。比如，命題的定義、五個基本聯(lián)結(jié)詞、公式的主析取范式和主合取范式、三個推理規(guī)則以及反證法；集合的五種運算的定義；關(guān)系的定義和關(guān)系的四個性質(zhì)；函數(shù)（映射）和幾種特殊函數(shù)（映射）的定義；圖、完全圖、簡單圖、子圖、補圖的定義；圖中簡單路、基本路的定義以及兩個圖同構(gòu)的定義；樹與最小生成樹的定義。在學(xué)習(xí)這些概念的基礎(chǔ)上，要特別注意概念之間的聯(lián)系，而描述這些聯(lián)系的實體則是大量的定理和性質(zhì)。學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的目的是為學(xué)習(xí)計算機、通信等專業(yè)各后續(xù)課程做好必要的知識準備，進一步提高抽象思維和邏輯推理的能力，為計算機的應(yīng)用提供必要的描述工具和理論基礎(chǔ)。一、認知離散數(shù)學(xué)離散數(shù)學(xué)是計算機科學(xué)基礎(chǔ)理論的核心課程之一，是計算機及應(yīng)用、通信等專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課。但是由于離散數(shù)學(xué)的離散性、知識的分散性和處理問題的特殊性，使部分學(xué)生在剛剛接觸離散數(shù)學(xué)時，對其中的一些概念和處理問題的方法往往感到困惑，特別是在做證明題時感到無從下手，找不到正確的解題思路。學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)有兩項最基本的任務(wù)：其一是通過學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)，使學(xué)生了解和掌握在后續(xù)課程中要直接用到的一些數(shù)學(xué)概念和基本原理，掌握計算機中常用的科學(xué)論證方法，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)奠定一個良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)；其二是在離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，培訓(xùn)自學(xué)能力、抽象思維能力和邏輯推理能力，以提高專業(yè)理論水平。通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生具有現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點和方法，并初步掌握處理離散結(jié)構(gòu)所必須的描述工具和方法。(3)0,2,2,1,1,3 1,1,2,2例7 畫出3個以1,1,1,2,2,3為度數(shù)列的非同構(gòu)的無向簡單圖 0,2,2,2例1 右圖有 個面 R1的邊界:a R2的邊界:bce R3的邊界:fgR0的邊界:abcdde, fgdeg(R1)=1 deg(R2)=3 deg(R3)=2 deg(R0)=8 例2 (1)中是外部面, 在(2)中是內(nèi)部面。 6 例6 畫出4階3條邊的所有非同構(gòu)的無向簡單圖解 總度數(shù)為6, 分配給4個頂點, 最大度為3, 且奇度頂點數(shù) 為偶數(shù), 有下述3個度數(shù)列:(1)1,1,1,3。(4)a=6, b=3。(2)a=2, b=7。v}.根據(jù)假設(shè), |V|為奇數(shù)且v206。 u與v有公共的棱 217。8 例3 已知5階有向圖的度數(shù)列和出度列分別為3,3,2,3,3和 1,2,1,2,1, 求它的入度列 解2,1,1,1,2 例4 證明不存在具有奇數(shù)個面且每個面都具有奇數(shù)條棱的 , 作無向圖G=, 其中 V={v | v為多面體的面}，E={(u,v)| u,v206。2180。3+2180。1x1 f : R→R不存在反函數(shù)；g : R→R的反函數(shù)是 g1: R→R, g1(x)=x2第6章 圖例1 下述2組數(shù)能成為無向圖的度數(shù)列嗎?(1)3,3,3,4。238。R236。x3238。x2+2x179。2 g(x)=x+2求f °g, g° f 和 g 存在反函數(shù), fog:R174。3f(x)=237。2x1x0例1 設(shè) f : R→R, g : R→R 236。N,f(x)=237。0236。,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.B={ f0, f1, … , f7 }, 其中f0={,}，f1={,}, f2={,}，f3={,}，f4={,}，f5={,}，f6={,}，f7={,}.令f : A→B，f(198。xxA劃分.(A180。 x+y = u+v，求R A180。A上定義二元關(guān)系 R：,206。R因此 R 在 A 判斷下圖中關(guān)系的性質(zhì), 并說明理由(1)不自反也不反自反；對稱, 不反對稱；不傳遞.(2)反自反, 不是自反；反對稱, 不是對稱；傳遞.(3)自反，不是反自反；反對稱，不是對稱； 設(shè)A={a,b,c,d}, R={,}, R和 r(R), s(R), t(R)的關(guān)系圖如下圖所示.(1)(2)(3)例1 設(shè) A={1, 2, …, 8}, 如下定義 A上的關(guān)系R： R={| x,y?A∧x≡y(mod 3)} 其中 x≡y(mod 3)叫做 x與y 模3相等, 即 x 除以3的余數(shù)與 y , 因為 x?A, 有x≡x(mod 3)x,y?A, 若x≡y(mod 3), 則有y≡x(mod 3)x,y,z?A, 若x≡y(mod 3), y≡z(mod 3), 則有x≡z(mod 3)例2 令A(yù)={1, 2, …, 8}，A關(guān)于模 3 等價關(guān)系R 的商集為A/R = { {1, 4,7}, {2, 5, 8}, {3, 6} } A關(guān)于恒等關(guān)系和全域關(guān)系的商集為：A/IA = { {1},{2}, … ,{8}}A/EA = { {1, 2, … ,8} }例3 設(shè)A＝{a, b, c, d}, 給定p 1, p 2, p 3, p 4, p 5, p 6如下： p 1={{a, b, c},nhcuj7d3}，p 2={{a, b},{c},nhcuj7d3}  p 3={{a},{a, b, c, d}}，p 4={{a, b},{c}}  p 5={198。R°R 222。R 222。R 217。 x=y因此 R 在 A 證明若 R°R205。 206。 206。206。 206。206。IA , 則 R 在 A 任?。牐?06。 206。 206。R因此 R 在 A 證明若 R=R1 , 則 R 任?。牐?06。IA 222。A 222。R2自反, R3 反自反, 設(shè)A＝{a,b,c}, R1, R2, R3和R4都是A上的關(guān)系, 其中R1＝{,}，R2＝{,}  R3＝{,}，R4＝{,} R1 對稱、 對稱， 反對稱， 不對稱、也不反對稱 例3 設(shè)A＝{a, b, c}, R1, R2, R3是A上的關(guān)系, 其中 R1＝{,} R2＝{,} R3＝{} R1 和 R3 是A上的傳遞關(guān)系, 證明若 IA 205。0010249。000011234。例1A = {a, b, c}, R1, R2, R3 是 A上的關(guān)系, 其中  R1 = {,}  R2 = {,}  R3 = {}00249。00235。234。00 234。00010001 M=234。10101021010233。233。例1R={,}, 則domR =ranR =fldR =例2R={, , , }S={, , , , }R1 =R°S =S°R =個不同的二例3 設(shè)A = {a, b, c, d}, R = {,}, 求R的各次冪, R與R2的關(guān)系矩陣分別為233。0100234。10001110249。, R4={}，從A到B的關(guān)系: R1, R2, R3, R4, ：|A|=n, |B|=m, |AB|=nm, AB 的子集有元關(guān)系.|A|=n, A上有 |A|=3, 則 5A={a, b, c, d}, R={,}, R的關(guān)系矩陣 MR 和關(guān)系圖 GR 如下：233。R, x2+y2=1}，其中R代表實數(shù)集合，C是直角坐標平面上點的橫、縱坐標之間的關(guān)系，C中的所有的點恰好構(gòu)成坐標平面上的單位圓.(3)R={ | x,y,z206。例3(1)R={ | x,y206。A = {, }P(A)180。}, B = 198。B={,}B180。G(y))量詞轄域擴張第4章 關(guān)系 例1 =，求 x, 3y4=2, x+5=y 222。 xy(F(x)216。y216。G(y)量詞否定等值式 219。 xF(x)217。217。G(x))量詞分配等值式 解2 219。 x(F(x)216。x216。xG(x)解219。F(x))例5 求公式的前束范式(1)xF(x)$216。 x(M(x)174。216。 x(216。(M(x)217。F(x))證左邊 219。 x(M(x)174。 $x(M(x)217。1)219。0)218。L(3,3))219。L(2,3))218。yL(3,y)219。1)219。1)218。G(3, f(3)))219。G(2, f(2)))218。 y=2，: x=:(1)$x(F(f(x))217。F(c,b)217。F(b,c))218。(F(b,a)217。F(a,b)217。F(x,c))219。 $x(F(x,a)217。G(b)218。F(c))218。(F(a)217。 xF(x)$218。G(c))(2)x(F(x)$218。G(b))217。G(a))217。G(x))219。 x(F(x,t)174。 x(F(x,y)174。 $yG(v,y,z)代替規(guī)則(2)x(F(x,y)174。 $yG(x,y,z)代替規(guī)則219。 $vG(x,v,z)換名規(guī)則或者 219。 $yG(x,y,z)換名規(guī)則 219。 $yG(x,y,z)219。q)217。q的代換實例, 216。(p174。yG(y))217。p是重言式，永真式(3)216。p 的代換實例, 216。(xF(x))這是 216。G(x))取解釋I1, D1=R，:x是整數(shù)，:x是有理數(shù), 取解釋I2, D2=R，:x是整數(shù)，:x是自然數(shù), 非永真式的可滿足式(2)216。F(f(x,a), f(y,a)))x(x=y174。F(f(y,a),x))xy(x+2=y174。xG(x))x的轄域:(F(x)$174。yG(x,y,z))x的轄域:(F(x,y)$174。G(y)217。H(x,y))(4)216。 xy(F(x)217。(y(G(y)174。G(y)174。F(x))(2)$ x(M(x)217。q218。s 結(jié)論: p217。r218。q218。s)推理可表成前提: p218。(216。s) 219。q)218。(p217。(p217。p218。 216。(p217。s (p174。 216。r)r174。(216。(p218。q)218。(p217。q)218。(216。r 219。s)解(p174。q)174。s, 216。q)174。p⑧⑨合取 推理正確, 216。p①⑦析取三段論 ⑨ p前提引入 ⑩ 216。216。q)④⑤析取三段論 ⑦ 216。r前提引入⑥ 216。(p217。s前提引入 ④ 216。q證明用歸繆法① q結(jié)論否定引入 ② r174。s, 216。q)218。s是有效結(jié)論 例5 構(gòu)造下面推理的證明前提: 216。r前提引入⑤ r③④析取三段論⑥ r174。q前提引入③ q①②析取三段論 ④ 216。s證明 ① p附加前提引入 ② 216。r, r174。q, 216。q例4 構(gòu)造下面推理的證明: 前提: 216。p217。s, 216。q)174。(p218。(p218。q前提引入⑤ q③④析取三段論⑥ q174。 s前提引入 ③ 216。q)證明