【正文】 (3)0,2,2,1,1,3 1,1,2,2例7 畫(huà)出3個(gè)以1,1,1,2,2,3為度數(shù)列的非同構(gòu)的無(wú)向簡(jiǎn)單圖 0,2,2,2例1 右圖有 個(gè)面 R1的邊界:a R2的邊界:bce R3的邊界:fgR0的邊界:abcdde, fgdeg(R1)=1 deg(R2)=3 deg(R3)=2 deg(R0)=8 例2 (1)中是外部面, 在(2)中是內(nèi)部面。 6 例6 畫(huà)出4階3條邊的所有非同構(gòu)的無(wú)向簡(jiǎn)單圖解 總度數(shù)為6, 分配給4個(gè)頂點(diǎn), 最大度為3, 且奇度頂點(diǎn)數(shù) 為偶數(shù), 有下述3個(gè)度數(shù)列:(1)1,1,1,3。(4)a=6, b=3。(2)a=2, b=7。v}.根據(jù)假設(shè), |V|為奇數(shù)且v206。 u與v有公共的棱 217。8 例3 已知5階有向圖的度數(shù)列和出度列分別為3,3,2,3,3和 1,2,1,2,1, 求它的入度列 解2,1,1,1,2 例4 證明不存在具有奇數(shù)個(gè)面且每個(gè)面都具有奇數(shù)條棱的 , 作無(wú)向圖G=, 其中 V={v | v為多面體的面}，E={(u,v)| u,v206。2180。3+2180。1x1 f : R→R不存在反函數(shù)；g : R→R的反函數(shù)是 g1: R→R, g1(x)=x2第6章 圖例1 下述2組數(shù)能成為無(wú)向圖的度數(shù)列嗎?(1)3,3,3,4。238。R236。x3238。x2+2x179。2 g(x)=x+2求f °g, g° f 和 g 存在反函數(shù), fog:R174。3f(x)=237。2x1x0例1 設(shè) f : R→R, g : R→R 236。N,f(x)=237。0236。,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.B={ f0, f1, … , f7 }, 其中f0={,}，f1={,}, f2={,}，f3={,}，f4={,}，f5={,}，f6={,}，f7={,}.令f : A→B，f(198。xxA劃分.(A180。 x+y = u+v，求R A180。A上定義二元關(guān)系 R：,206。R因此 R 在 A 判斷下圖中關(guān)系的性質(zhì), 并說(shuō)明理由(1)不自反也不反自反；對(duì)稱(chēng), 不反對(duì)稱(chēng)；不傳遞.(2)反自反, 不是自反；反對(duì)稱(chēng), 不是對(duì)稱(chēng)；傳遞.(3)自反，不是反自反；反對(duì)稱(chēng)，不是對(duì)稱(chēng)； 設(shè)A={a,b,c,d}, R={,}, R和 r(R), s(R), t(R)的關(guān)系圖如下圖所示.(1)(2)(3)例1 設(shè) A={1, 2, …, 8}, 如下定義 A上的關(guān)系R： R={| x,y?A∧x≡y(mod 3)} 其中 x≡y(mod 3)叫做 x與y 模3相等, 即 x 除以3的余數(shù)與 y , 因?yàn)?x?A, 有x≡x(mod 3)x,y?A, 若x≡y(mod 3), 則有y≡x(mod 3)x,y,z?A, 若x≡y(mod 3), y≡z(mod 3), 則有x≡z(mod 3)例2 令A(yù)={1, 2, …, 8}，A關(guān)于模 3 等價(jià)關(guān)系R 的商集為A/R = { {1, 4,7}, {2, 5, 8}, {3, 6} } A關(guān)于恒等關(guān)系和全域關(guān)系的商集為：A/IA = { {1},{2}, … ,{8}}A/EA = { {1, 2, … ,8} }例3 設(shè)A＝{a, b, c, d}, 給定p 1, p 2, p 3, p 4, p 5, p 6如下： p 1={{a, b, c},nhcuj7d3}，p 2={{a, b},{c},nhcuj7d3}  p 3={{a},{a, b, c, d}}，p 4={{a, b},{c}}  p 5={198。R°R 222。R 222。R 217。 x=y因此 R 在 A 證明若 R°R205。 206。 206。206。 206。206。IA , 則 R 在 A 任取206。 206。 206。R因此 R 在 A 證明若 R=R1 , 則 R 任?。牐?06。IA 222。A 222。R2自反, R3 反自反, 設(shè)A＝{a,b,c}, R1, R2, R3和R4都是A上的關(guān)系, 其中R1＝{,}，R2＝{,}  R3＝{,}，R4＝{,} R1 對(duì)稱(chēng)、 對(duì)稱(chēng)， 反對(duì)稱(chēng)， 不對(duì)稱(chēng)、也不反對(duì)稱(chēng) 例3 設(shè)A＝{a, b, c}, R1, R2, R3是A上的關(guān)系, 其中 R1＝{,} R2＝{,} R3＝{} R1 和 R3 是A上的傳遞關(guān)系, 證明若 IA 205。0010249。000011234。例1A = {a, b, c}, R1, R2, R3 是 A上的關(guān)系, 其中  R1 = {,}  R2 = {,}  R3 = {}00249。00235。234。00 234。00010001 M=234。10101021010233。233。例1R={,}, 則domR =ranR =fldR =例2R={, , , }S={, , , , }R1 =R°S =S°R =個(gè)不同的二例3 設(shè)A = {a, b, c, d}, R = {,}, 求R的各次冪, R與R2的關(guān)系矩陣分別為233。0100234。10001110249。, R4={}，從A到B的關(guān)系: R1, R2, R3, R4, ：|A|=n, |B|=m, |AB|=nm, AB 的子集有元關(guān)系.|A|=n, A上有 |A|=3, 則 5A={a, b, c, d}, R={,}, R的關(guān)系矩陣 MR 和關(guān)系圖 GR 如下：233。R, x2+y2=1}，其中R代表實(shí)數(shù)集合，C是直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，C中的所有的點(diǎn)恰好構(gòu)成坐標(biāo)平面上的單位圓.(3)R={ | x,y,z206。例3(1)R={ | x,y206。A = {, }P(A)180。}, B = 198。B={,}B180。G(y))量詞轄域擴(kuò)張第4章 關(guān)系 例1 =，求 x, 3y4=2, x+5=y 222。 xy(F(x)216。y216。G(y)量詞否定等值式 219。 xF(x)217。217。G(x))量詞分配等值式 解2 219。 x(F(x)216。x216。xG(x)解219。F(x))例5 求公式的前束范式(1)xF(x)$216。 x(M(x)174。216。 x(216。(M(x)217。F(x))證左邊 219。 x(M(x)174。 $x(M(x)217。1)219。0)218。L(3,3))219。L(2,3))218。yL(3,y)219。1)219。1)218。G(3, f(3)))219。G(2, f(2)))218。 y=2，: x=:(1)$x(F(f(x))217。F(c,b)217。F(b,c))218。(F(b,a)217。F(a,b)217。F(x,c))219。 $x(F(x,a)217。G(b)218。F(c))218。(F(a)217。 xF(x)$218。G(c))(2)x(F(x)$218。G(b))217。G(a))217。G(x))219。 x(F(x,t)174。 x(F(x,y)174。 $yG(v,y,z)代替規(guī)則(2)x(F(x,y)174。 $yG(x,y,z)代替規(guī)則219。 $vG(x,v,z)換名規(guī)則或者 219。 $yG(x,y,z)換名規(guī)則 219。 $yG(x,y,z)219。q)217。q的代換實(shí)例, 216。(p174。yG(y))217。p是重言式，永真式(3)216。p 的代換實(shí)例, 216。(xF(x))這是 216。G(x))取解釋I1, D1=R，:x是整數(shù)，:x是有理數(shù), 取解釋I2, D2=R，:x是整數(shù)，:x是自然數(shù), 非永真式的可滿(mǎn)足式(2)216。F(f(x,a), f(y,a)))x(x=y174。F(f(y,a),x))xy(x+2=y174。xG(x))x的轄域:(F(x)$174。yG(x,y,z))x的轄域:(F(x,y)$174。G(y)217。H(x,y))(4)216。 xy(F(x)217。(y(G(y)174。G(y)174。F(x))(2)$ x(M(x)217。q218。s 結(jié)論: p217。r218。q218。s)推理可表成前提: p218。(216。s) 219。q)218。(p217。(p217。p218。 216。(p217。s (p174。 216。r)r174。(216。(p218。q)218。(p217。q)218。(216。r 219。s)解(p174。q)174。s, 216。q)174。p⑧⑨合取 推理正確, 216。p①⑦析取三段論 ⑨ p前提引入 ⑩ 216。216。q)④⑤析取三段論 ⑦ 216。r前提引入⑥ 216。(p217。s前提引入 ④ 216。q證明用歸繆法① q結(jié)論否定引入 ② r174。s, 216。q)218。s是有效結(jié)論 例5 構(gòu)造下面推理的證明前提: 216。r前提引入⑤ r③④析取三段論⑥ r174。q前提引入③ q①②析取三段論 ④ 216。s證明 ① p附加前提引入 ② 216。r, r174。q, 216。q例4 構(gòu)造下面推理的證明: 前提: 216。p217。s, 216。q)174。(p218。(p218。q前提引入⑤ q③④析取三段論⑥ q174。 s前提引入 ③ 216。q)證明 ① p174。s 結(jié)論: r217。r, p174。m301是成假賦值, 在自然推理系統(tǒng)P中構(gòu)造下面推理的證明: 前提: p218。 m0218。(p217。216。q)218。(p217。216。(216。q218。p219。q)217。((216。p219。q)217。(216。q174。p 證明用主析取范式法(p174。q)217。q 219。216。 216。p)218。q)218。((p217。p)218。p218。 216。p174。q 證明用等值演算法(p174。q)217。M5217。M2217。m7219。 m1218。q217。r)218。p217。r)218。217。q))例6 求A=(216。(216。217。r)217。(q216。q)求下式的成真賦值A(chǔ)=(p174。(216。217。174。(3)? 解記p:派A去, q:派B去, r:派C去(1)p174。r)例5 某單位要從A,B,C三人中選派若干人出國(guó)考察, 需滿(mǎn) 足下述條件:(1)若A去, 則C必須去。rp217。m7 故(p217。 m5218。q217。r)218。217。r)218。(p217。217。(p217。(p217。(p217。(q218。 m6218。m3218。r)219。(p217。q217。(p216。q217。(216。q217。p216。r)218。(p217。217。(p217。q)218。(q218。q)218。(p217。p218。m3 故p 219。q)219。q)218。(p216。(p217。p218。 216。(p217。p218。 m2218。(p217。217。q)219。(216。q)解p 219。q)174。m7非重言式的可滿(mǎn)足式 例4 用主析取范式判斷下面2組公式是否等值:(1)p與(216。m3218。 m0218。q217。r)218。217。r)218。p217。r)218。217。(216。217。217。(216。q217。p216。r219。217。(216。q)218。 216。m2218。 m0218。q)219。 p218。 0矛盾式(2)B 219。q)217。(p216。q)217。(216。r 解(1)A 219。(p218。(p218。q(2)B219。(p174。 P(1,4,5,6,7)例3 用主析取范式判斷公式的類(lèi)型:(1)A219。M6217。M4217。 M1 得B219。218。M7p218。M5217。r)219。q216。p216。r)217。218。(216。218。p218。r)217。p218。p 219。218。(p218。 216。 m7 219。 m3218。 m1218。 m5218。 m1218。q217。r)218。217。r)218。p217。r)218。217。(216。r 219。217。 m3216。r)219。p217。r)218。q216。(216。p217。r)218。217。(216。p217。 P(1,3,7)例2(1)求 A 219。M3217。r 219。q)216。M7 得216。r)分配律219。q216。p216。r)217。q216。(p216。218。218。217。r 219。q216。 M1217。218。218。r)217。q216。r矛盾律分配律219。q)216。(q216。r同一律219。0216。r 219。r)p216。q216。r)217。(p216。218。(p174。 m6 可記作219。 m4 218。 m0218。218。(p174。 m4218。 m0218。217。(p217。217。217。r)218。q216。(216。217。217。(216。217。q218。p)217。(216。m5216。r)分配律219。217。r)218。q216。(p216。r218。q)217。(p216。q)217。(p216。217。218。217。r 219。q)216。r 的主析取范式與主合取范式 解(1)216。q)216。r)合取范式 注意: (續(xù))求216。q216。r)217。(p216。218。217。r219。q)216。(216。r219。q)216。r 的析取范式與合取范式 解216。q)216。r（同一律）,000是它的 求216。r（排中律）219。 p217。q))217。(q216。r)219。217。q)218。q))217。(p216。 1 該式為重言式.(3)((p217。p218。q)171。(216。218。q)171。(216。174。(216。p)解(p174。q216。q)171。0（矛盾律）219。q)（交換律，結(jié)合律）219。(q216。q)（德摩根律）219。(p216。q)（蘊(yùn)涵等值式）219。(216。 q216。(p174。q)解q216。217。q)174。(q174。q)174。r（德摩根律）219。(p217。r（結(jié)合律）219。218。(216。q218。p218。r)219。r 證p174。(p217。(q174。q)174。(p1217。 216。 216。p 例5 求下列復(fù)合命題的真值(1)2+2＝4 當(dāng)且僅當(dāng) 3+3＝6.(2)2+2＝4 當(dāng)且僅當(dāng) (3)2+2＝4 當(dāng)且僅當(dāng) 太陽(yáng)從東方升起.(4)2+2＝5 當(dāng)且僅當(dāng) 美國(guó)位于非洲.(5)f(x)在x0處可導(dǎo)的充要條件是它在 例6 公式A=(216。q 或 q174。p(6)除非小王穿羽絨服，174。q(4)只有天冷，174。q(3)若小王不穿羽絨服，174。v∧w)又可形式化為v∨w例4 設(shè)p:天冷, q:小王穿羽絨服，將下列命題符號(hào)化(1)只要天冷，174。t∧u)(5)記v:王曉紅生于1975年,w:王曉紅生于1976年(v∧216。q(4)記 r:張輝是三好生, s:王麗是三好生，r∧s(5)簡(jiǎn)單命題，記 t:張輝與王麗是同學(xué) 例3 將下列命題符號(hào)化(1)2或4是素?cái)?shù).(2)2或3是素?cái)?shù).(3)4或6是素?cái)?shù).(4)元元只能拿一個(gè)蘋(píng)果或一個(gè)梨.(5)