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正文內(nèi)容

抽屜原理練習(xí)題[小編整理](參考版)

2024-11-04 06:23本頁(yè)面
  

【正文】 由于余數(shù)只能取0,1,2,…,499這499個(gè)值,所以根據(jù)抽屜原理,必有2個(gè)余數(shù)是相同的,這2個(gè)數(shù)的差就是499的倍數(shù),這個(gè)差的前若干位是1,后若干位是0:11…100…0,又499和10是互質(zhì)的,故它的前若干位由1組。4=499,故只需證明可以找到一個(gè)各位數(shù)字都是1的自然數(shù),它是499的倍數(shù)就可以了。例2 求證:可以找到一個(gè)各位數(shù)字都是4的自然數(shù),它是1996的倍數(shù)。(3)將100個(gè)數(shù)分成5組(一個(gè)數(shù)可以在不同的組內(nèi)):第一組:2的倍數(shù),即{2,4,…,100};第二組:3的倍數(shù),即{3,6,…,99};第三組:5的倍數(shù),即{5,10,…,100};第四組:7的倍數(shù),即{7,14,…,98};第五組:1和大于7的質(zhì)數(shù)即{1,11,13,…,97}。(2)將100個(gè)數(shù)分成50組:{1,51},{2,52},…,{50,100}。證明:(1)將100個(gè)數(shù)分成50組:{1,2},{3,4},…,{99,100}。一般說來,數(shù)的奇偶性、剩余類、數(shù)的分組、染色、線段與平面圖形的劃分等,都可作為構(gòu)造抽屜的依據(jù)。一般地,我們將它表述為:第一抽屜原理:把(mn+1)個(gè)物體放入n個(gè)抽屜,其中必有一個(gè)抽屜中至少有(m+1)個(gè)物體。從六人集會(huì)問題的證明中,我們又一次看到了抽屜原理的應(yīng)用。六人集會(huì)問題是組合數(shù)學(xué)中著名的拉姆塞定理的一個(gè)最簡(jiǎn)單的特例,這個(gè)簡(jiǎn)單問題的證明思想可用來得出另外一些深入的結(jié)論。如果BC,BD,CD 3條連線中有一條(不妨設(shè)為BC)也為紅色,那么三角形ABC即一個(gè)紅色三角形,A、B、C代表的3個(gè)人以前彼此相識(shí):如果BC、BD、CD 3條連線全為藍(lán)色,那么三角形BCD即一個(gè)藍(lán)色三角形,B、C、D代表的3個(gè)人以前彼此不相識(shí)??紤]A點(diǎn)與其余各點(diǎn)間的5條連線AB,AC,...,AF,它們的顏色不超過2種?!边@個(gè)問題可以用如下方法簡(jiǎn)單明了地證出:在平面上用6個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、E、F分別代表參加集會(huì)的任意6個(gè)人。許多有關(guān)存在性的證明都可用它來解決。如果問題所討論的對(duì)象有無限多個(gè),抽屜原理還有另一種表述:“把無限多個(gè)東西任意分放進(jìn)n個(gè)空抽屜(n是自然數(shù)),那么一定有一個(gè)抽屜中放進(jìn)了無限多個(gè)東西。”利用上述原理容易證明:“任意7個(gè)整數(shù)中,至少有3個(gè)數(shù)的兩兩之差是3的倍數(shù)。這相當(dāng)于把6個(gè)東西放入5個(gè)抽屜,至少有2個(gè)東西在同一抽屜里。在第二個(gè)結(jié)論中,不妨想象將5雙手套分別編號(hào),即號(hào)碼為1,2,...,5的手套各有兩只,同號(hào)的兩只是一雙?!痹谏厦娴牡谝粋€(gè)結(jié)論中,由于一年最多有366天,因此在367人中至少有2人出生在同月同日。這些結(jié)論是依據(jù)什么原理得出的呢?這個(gè)原理叫做抽屜原理。”“從數(shù)1,2,...,10中任取6個(gè)數(shù),其中至少有2個(gè)數(shù)為奇偶性不同。.某兩類各含兩個(gè)數(shù),就在至少包含三個(gè)數(shù)的那一類中任取三數(shù),其和一定能被3整除;若是第二種情況,在三類中各取一個(gè)數(shù),其和也能被3整除..綜上所述,:某校派出學(xué)生204人上山植樹15301株,其中最少一人植樹50株,最多一人植樹100株,:按植樹的多少,從50到100株可以構(gòu)造51個(gè)抽屜,則個(gè)問題就轉(zhuǎn)化為至少有5人植樹的株數(shù)在同一個(gè)抽屜里.(用反證法)假設(shè)無5人或5人以上植樹的株數(shù)在同一個(gè)抽屜里,那只有5人以下植樹的株數(shù)在同一個(gè)抽屜里,而參加植樹的人數(shù)為204人,所以,每個(gè)抽屜最多有4人,故植樹的總株數(shù)最多有:4(50+51+…+100)=4 =15300<,:1.邊長(zhǎng)為1的等邊三角形內(nèi)有5個(gè)點(diǎn),.邊長(zhǎng)為1的等邊三角形內(nèi),若有n2+1個(gè)點(diǎn),.求證:任意四個(gè)整數(shù)中,.某校高一某班有50名新生,.某個(gè)年級(jí)有202人參加考試,滿分為100分,且得分都為整數(shù),總得分為10101分,則至少有3人得分相同.“任意367個(gè)人中,必有生日相同的人。例題1::生日從1月1日排到12月31日,共有366個(gè)不相同的生日,我們把366個(gè)不同的生日看作366個(gè)抽屜,400人視為400個(gè)蘋果,由表現(xiàn)形式1可知,至少有兩人在同一個(gè)抽屜里,:將一年中的366天視為366個(gè)抽屜,400個(gè)人看作400個(gè)蘋果,由抽屜原理的表現(xiàn)形式1可以得知::任取5個(gè)整數(shù),必然能夠從中選出三個(gè),:任意給一個(gè)整數(shù),它被3除,余數(shù)可能為0,1,2,我們把被3除余數(shù)為0,1,2的整數(shù)各歸入類r0,r1,:1176。(用反證法)假設(shè)結(jié)論不成立,即對(duì)每一個(gè)ai都有ai<qi,因?yàn)閍i為整數(shù),應(yīng)有ai≤qi-1,于是有:a1+a2+…+an≤q1+q2+…+qn-n <q1+q2+…+qn-n+1這與題設(shè)矛盾。(用反證法)假設(shè)結(jié)論不成立,即對(duì)每一個(gè)ai都有ai<[n/k],于是有:a1+a2+…+ak<[n/k]+[n/k]+…+[n/k] =k?[n/k]≤k?(n/k)=nk個(gè)[n/k] ∴ a1+a2+…+ak<n 這與題設(shè)相矛盾。用反證法)假設(shè)結(jié)論不成立,即對(duì)每一個(gè)ai都有ai<m+1,則因?yàn)閍i是整數(shù),應(yīng)有ai≤m,于是有:a1+a2+…+an≤m+m+…+m=n?m<n?m+1n個(gè)m 這與題設(shè)相矛盾。所以,至少有一個(gè)ai≥2,即必有一個(gè)集合中含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的元素。把它推廣到一般情形有以下幾種表現(xiàn)形式。抽屜原則有時(shí)也被稱為鴿巢原理,它是德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷首先明確的提出來并用以證明一些數(shù)論中的問題,因此,也稱為狄利克雷原則。在有些問題中,“抽屜”和“物體”不是很明顯的,需要精心制造“抽屜”和“物體”.如何制造“抽屜”和“物體”可能是很困難的,一方面需要認(rèn)真地分析題目中的條件和問題,另一方面需要多做一些題積累經(jīng)驗(yàn)。例4:某校校慶,來了n位校友,在這n個(gè)校友中至少有兩人握手的次數(shù)一樣多。分析與解答根據(jù)題目所要求證的問題,應(yīng)考慮按照同一抽屜中,看成10個(gè)抽屜(顯然,它們具有上述性質(zhì)):{1,2,4,8,16},{3,6,12},{5,10,20},{7,14},{9,18},{11},{13},{15},{17},{19}。另外還有4個(gè)不能配對(duì)的數(shù){9},{10},{11},{12},共制成12個(gè)抽屜(每個(gè)括號(hào)看成一個(gè)抽屜).只要有兩個(gè)數(shù)取自同一個(gè)抽屜,那么它們的差就等于12,根據(jù)抽屜原理至少任選13個(gè)數(shù),即可辦到(取12個(gè)數(shù):從12個(gè)抽屜中各取一個(gè)數(shù)(例如取1,2,3,…,12),那么這12個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的差必不等于12)。例2:從…、120這20個(gè)自然數(shù)中,至少任選幾個(gè)數(shù),就可以保證其中一定包括兩個(gè)數(shù),它們的差是12。分析與解答我們用題目中的15個(gè)偶數(shù)制造8個(gè)抽屜:凡是抽屜中有兩個(gè)數(shù)的,都具有一個(gè)共同的特點(diǎn):這兩個(gè)數(shù)的和是34。否則,他們間只討論丙問題,這樣結(jié)論也成立。這樣又由鴿籠原理知B至少與另三位討論同一問題,不妨設(shè)這三位是C,D,E,且討論的是乙問題。若這6位中有兩位之間也討論甲問題,則結(jié)論成立。解:不妨設(shè)A是某科學(xué)家,他與其余16位討論僅三個(gè)問題,由鴿籠原理知,他至少與其中的6位討論同一問題。”例3”:17個(gè)科學(xué)家中每個(gè)人與其余16個(gè)人通信,他們通信所討論的僅有三個(gè)問題,而任兩個(gè)科學(xué)家之間通信討論的是同一個(gè)問題。因而無論怎樣著色,在這六點(diǎn)之間的所有線段中至少能找到一個(gè)同色三角形。例3:假設(shè)在一個(gè)平面上有任意六個(gè)點(diǎn),無三點(diǎn)共線,每?jī)牲c(diǎn)用紅色或藍(lán)色的線段連起來,都連好后,問你能不能找到一個(gè)由這些線構(gòu)成的三角形,使三角形的三邊同色?解:首先可以從這六個(gè)點(diǎn)中任意選擇一點(diǎn),然后把這一點(diǎn)到其他五點(diǎn)間連五條線段,如圖,在這五條線段中,至少有三條線段是同一種顏色,假定是紅色,現(xiàn)在我們?cè)賳为?dú)來研究這三條紅色的線。于是點(diǎn)H有確定的位置(它在正方形一對(duì)對(duì)邊中點(diǎn)的連線上,且|MH|:|NH|=2:3).由幾何上的對(duì)稱性,這種點(diǎn)共有四個(gè)(即圖中的H、J、I、K).已知的九條適合條件的分割直線中的每一條必須經(jīng)過H、J、I、J、I、K看成四個(gè)抽屜,九條直線當(dāng)成9個(gè)物體,即可得出必定有3條分割線經(jīng)過同一點(diǎn).(三)染色問題例1正方體各面上涂上紅色或藍(lán)色的油漆(每面只涂一種色),:把兩種顏色當(dāng)作兩個(gè)抽屜,把正方體六個(gè)面當(dāng)作物體,那么6=22+2,根據(jù)原理二, 有5個(gè)小朋友,這5個(gè)人中至少有兩個(gè)小朋友摸出的棋子的顏色的配組是一樣的。例2:對(duì)于任意的五個(gè)自然數(shù),∵任何數(shù)除以3所得余數(shù)只能是0,1,2,不妨分別構(gòu)造為3個(gè)抽屜:[0],[1],[2]①若這五個(gè)自然數(shù)除以3后所得余數(shù)分別分布在這3個(gè)抽屜中,我們從這三個(gè)抽屜中各取1個(gè),其和必能被3整除.②若這5個(gè)余數(shù)分布在其中的兩個(gè)抽屜中,則其中必有一個(gè)抽屜,包含有3個(gè)余數(shù)(抽屜原理),而這三個(gè)余數(shù)之和或?yàn)?,或?yàn)?,或?yàn)?,故所對(duì)應(yīng)的3個(gè)自然數(shù)之和是3的倍數(shù).③若這5個(gè)余數(shù)分布在其中的一個(gè)抽屜中,很顯然,′:對(duì)于任意的11個(gè)整數(shù),證明其中一定有6個(gè)數(shù),:設(shè)這11個(gè)整數(shù)為:a1,a2,a3……a11 又6=2①先考慮被3整除的情形由例2知,在11個(gè)任意整數(shù)中,必存在:3|a1+a2+a3,不妨設(shè)a1+a2+a3=b1;同理,剩下的8個(gè)任意整數(shù)中,由例2,必存在:3 | a4+a5++a5+a6=b2;同理,其余的5個(gè)任意整數(shù)中,有:3|a7+a8+a9,設(shè):a7+a8+a9=b3②再考慮bb,bbb3這三個(gè)整數(shù)中,至少有兩個(gè)是同奇或同偶,這兩個(gè)同奇(或同偶)|b1+b則:6|b1+b2,即:6|a1+a2+a3+a4+a5+a6∴任意11個(gè)整數(shù),:任意給定7個(gè)不同的自然數(shù),求證其中必有兩個(gè)整數(shù),:注意到這些數(shù)隊(duì)以10的余數(shù)即個(gè)位數(shù)字,以0,1,…,9為標(biāo)準(zhǔn)制造10個(gè)抽屜,標(biāo)以[0],[1],…,[9].若有兩數(shù)落入同一抽屜,其差是10的倍數(shù),只是僅有7個(gè)自然數(shù),似不便運(yùn)用抽屜原則,再作調(diào)整:[6],[7],[8],[9]四個(gè)抽屜分別與[4],[3],[2],[1]合并,則可保證至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)數(shù),它們的和或差是10的倍數(shù).(二)面積問題例:九條直線中的每一條直線都將正方形分成面積比為2:3的梯形,證明::如圖,設(shè)直線EF將正方形分成兩個(gè)梯形,作中位線MN。例1 證明:任取8個(gè)自然數(shù),必有兩個(gè)數(shù)的差是7的倍數(shù)。下面我們來研究有關(guān)的一些問題。”例2:幼兒園買來了不少白兔、熊貓、長(zhǎng)頸鹿塑料玩具,每個(gè)小朋友任意選擇兩件,那么不管怎樣挑選,在任意七個(gè)小朋友中總有兩個(gè)彼此選的玩具都相同,:從三種玩具中挑選兩件,搭配方式只能是下面六種:(兔、兔),(兔、熊貓),(兔、長(zhǎng)頸鹿),(熊貓、熊貓),(熊貓、長(zhǎng)頸鹿),(長(zhǎng)頸鹿、長(zhǎng)頸鹿)。例1::將一年中的366天視為366個(gè)抽屜,400個(gè)人看作400個(gè)物體,由抽屜原理1可以得知::我們從街上隨便找來13人,就可斷定他們中至少有兩個(gè)人屬相相同.“從任意5雙手套中任取6只,其中至少有2只恰為一雙手套。[證明](反證法):若每個(gè)抽屜都有不少于m個(gè)物體,則總共至少有mn個(gè)物體,與題設(shè)矛盾,故不可能二.應(yīng)用抽屜原理解題抽屜原理的內(nèi)容簡(jiǎn)明樸素,易于接受,它在數(shù)學(xué)問題中有重要的作用。[證明](反證法):如果每個(gè)抽屜至多只能放進(jìn)一個(gè)物體,那么物體的總數(shù)至多是n,而不是題設(shè)的n+k(k≥1), 把多于mn個(gè)的物體放到n個(gè)抽屜里,則至少有一個(gè)抽屜里有m+1個(gè)或多于m+1個(gè)的物體。它是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的原理。”抽屜原理有時(shí)也被稱為鴿巢原理(“如果有五個(gè)鴿子籠,養(yǎng)鴿人養(yǎng)了6只鴿子,那么當(dāng)鴿子飛回籠中后,至少有一個(gè)籠子中裝有2只鴿子”)。這一現(xiàn)象就是我們所說的抽屜原理。,現(xiàn)在有課外書125本。解:根據(jù)規(guī)定,多有同學(xué)拿球的配組方式共有以下9種:{足}{排}{藍(lán)}{足足}{排排}{藍(lán)藍(lán)}{足排}{足藍(lán)}{排藍(lán)}以這9種配組方式制造9個(gè)抽屜,將這50個(gè)同學(xué)看作蘋果=……5由抽屜原理2k=〔〕+1可得,至少有6人,他們所拿的球類是完全一致的。解:把50名學(xué)生看作50個(gè)抽屜,把書看成蘋果 ,根據(jù)原理1,書的數(shù)目要比學(xué)生的人數(shù)多,即書至少需要50+1=.在一條長(zhǎng)100米的小路一旁植樹101棵,不管怎樣種,總有兩棵樹的距離不超過1米??梢?,如何構(gòu)造抽屜是利用抽屜原理解決問題的關(guān)鍵。我們知道。顯然,以這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積不超過1/8。,任意放入9個(gè)點(diǎn),證明在以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形中,必有一個(gè)三角形的面積不超過1/:分別連結(jié)正方形兩組對(duì)邊的中點(diǎn),將正方形分為四個(gè)全等的小正方形,則各個(gè)小正方形的面積均為1/4。解:以一個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)0、2構(gòu)造抽屜,共有3個(gè)抽屜。,必可找出3個(gè)數(shù),使這三個(gè)數(shù)的和能被3整除。分析:解這道題,可以考慮先將4與100,7與97,49與55……,這些和等于104的兩個(gè)數(shù)組成一組,構(gòu)成16個(gè)抽屜,剩下1和52再構(gòu)成2個(gè)抽屜,這樣,即使20個(gè)數(shù)中取到了1和52,剩下的18個(gè)數(shù)還必須至少有兩個(gè)數(shù)取自前面16個(gè)抽屜中的兩個(gè)抽屜,從而有不同的兩組數(shù),其和等于104;如果取不到1和52,或1和52不全取到,那么和等于104的數(shù)組將多于兩組。將這7種情況作為7個(gè)“抽屜”,根據(jù)抽屜原理2,要保證不少于5名同學(xué)參加學(xué)習(xí)班的情況相同,要有學(xué)生 7(51)+1=29(名)。不參加學(xué)習(xí)班有1種情況,只參加一個(gè)學(xué)習(xí)班有3種情況,參加兩個(gè)學(xué)習(xí)班有語文和數(shù)學(xué)、語文和美術(shù)、數(shù)學(xué)和美術(shù)3種情況。19.學(xué)校開辦了語文、數(shù)學(xué)、美術(shù)三個(gè)課外學(xué)習(xí)班,每個(gè)學(xué)生最多可以參加兩個(gè)(可以不參加)。10=8……1(個(gè))。將這10種搭配作為10個(gè)“抽屜”。兩個(gè)水果是相同的有4種,兩個(gè)水果不同有6種:蘋果和梨、蘋果和桃、蘋果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子。根據(jù)抽屜原理2,至少有14+1=15(人)所訂閱的報(bào)刊種類是相同的。我們將這7種訂法看成是7個(gè)“抽屜”,把100名學(xué)生看作100件物品。訂一種雜志有:訂甲、訂乙、訂丙3種情況;訂二種雜志有:訂甲乙、訂乙丙、訂丙甲3種情況;訂三種雜志有:訂甲乙丙1種情況。17.六年級(jí)有100名學(xué)生,他們都訂閱甲、乙、丙三種雜志中的一種、二種或三種。要保證有一個(gè)抽屜中至少有3件物品,根據(jù)抽屜原理2,至少要有42+1=9(件)物品。16.一個(gè)布袋中有40塊相同的木塊,其中編上號(hào)碼1,2,3,4的各有10塊。應(yīng)用抽屜原理2,取n=40,m=3,立即知道:至少有一個(gè)抽屜中放有4件或4件以上的玩具。15.某幼
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