綜合檢測題3(參考版)
2024-12-12 05:49本頁面
【正文】 k＝－ 1? a＝－ k. 故 G點坐標為 (－ k,1)， 從而折痕所在直線與 OG的交點坐標 (即線段 OG的中點 )為 M(－ k2， 12)． 故折痕所在的直線方程為 y－ 12＝ k(x＋ k2)，即 y＝ kx＋ k22＋12. 由 ①② 得折痕所在的直線方程為 y＝ kx＋ k22＋12. (2)當 k＝ 0時，折痕的長為 2. 當－ 2＋ 3≤ k＜ 0時，折痕所在直線交直線 BC于 點 E(2,2k＋ k22＋12)， 交 y軸于點 N(0， k2＋ 12 )． 則 |NE|2＝ 22＋ [k2＋ 12 － (2k＋k22＋12)]2＝ 4＋ 4k2≤ 4＋ 4(7－ 4 3)＝ 32－ 16 3. 此時，折痕長度的最大值為 32－ 16 3＝ 2( 6－ 2)． 而 2( 6－ 2)＞ 2， 故折 痕長度的最大值為 2( 6－ 2)． 。| BE|＝ 110. 21． (本小題滿分 12 分 )直線過點 P(43， 2)且與 x軸 、 y軸的正半軸分別交于 A， B兩點 ，O為坐 標原點 ， 是否存在這樣的直線同時滿足下列條件 ： (1)△ AOB的周長為 12； (2)△ AOB的面積為 6. 若存在 ， 求直線的方程 ； 若不存在 ， 請說明理由 ． [解析 ] 設直線方程為 xa＋ yb＝ 1(a0， b0)， 若滿足條件 (1)，則 a＋ b＋ a2＋ b2＝ 12， ① 又 ∵ 直線過點 P(43， 2)， ∵ 43a＋ 2b＝ 1.② 由 ①② 可得 5a2－ 32a＋ 48＝ 0， 解得????? a＝ 4，b＝ 3， 或 ??? a＝ 125 ，b＝ 92， ∴ 所求直線的方程為 x4＋ y3＝ 1或 5x12＋ 2y9＝ 1， 即 3x＋ 4y－ 12＝ 0或 15x＋ 8y－ 36＝ 0. 若滿足條件 (2)，則 ab＝ 12， ③ 由題意得， 43a＋ 2b＝ 1， ④ 由 ③④ 整理得 a2－ 6a＋ 8＝ 0， 解得????? a＝ 4，b＝ 3 或 ????? a＝ 2，b＝ 6， ∴ 所求直線的方程為 x4＋ y3＝ 1或 x2＋ y6＝ 1， 即 3x＋ 4y－ 12＝ 0或 3x＋ y－ 6＝ 0. 綜上所述：存在同時滿足 (1)(2)兩個條件的直線方程，為 3x＋ 4y－ 12＝ 0. 22． (本小題滿分 12 分 )在平面直角坐標系中 ， 已知矩形 ABCD的長為 2， 寬為 1， AB，AD 邊分別在 x軸 、 y軸的正半軸上 ， A 點與坐標原點重合 ， 如圖 ， 將矩形折疊 ， 使 A點落在線段 DC上 ． (1)若折痕所在直線的斜率為 k， 試求折痕所在直線的方程 ； (2)當 － 2＋ 3≤ k≤ 0 時 ， 求折痕長的最大值 ． [解析 ] (1)① 當 k＝ 0時， A點與 D點重合，折痕所在的直線方程為 y＝ 12. ② 當 k≠ 0時，將矩形折疊后 A點落在線段 DC上的點記為 G(a,1)， ∴ A與 G關于折痕所在的直線對稱， 有 kOGm2＋ n＋ 12 － 3＝ 0， 解得????? m＝ 2，n＝ 1， ∴ C(2,1)． ∴ BC邊所在直線的方程為 y－ 12
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