【正文】 ； (2)提示：延長 AE 與 BC 延長線交于點 G，證明△ AFG 是等腰三角形； 16． (1)菱形； (2)菱形，提示：連結(jié) CB， AD；證明 CB＝ AD； (3)如圖，正方形，提示：連結(jié) CB、 AD，證明△ APD≌△ CPB，從而得出 AD＝ CB， ∠ DAP＝∠ BCP，進而得到 CB⊥ AD． 。點 E 為 CD 的中點，點 F在底邊 BC上，且∠ FAE＝∠ DAE． 圖 1 (1)請你通過觀察、測量、猜想，寫出∠ AEF 的度數(shù)； (2)若梯形 ABCD 中， AD∥ BC，∠ C 不是直角，點 F 在底邊 BC 或其延長線上，如圖圖 3，其他條件不變，你在 (1)中得出的結(jié)論是否仍然成立，若都成立，請在 圖 圖 3 中選 擇其中一圖進行證明；若不都成立，請說明理由． 圖 2 圖 3 16．如圖 1， P 是線段 AB 上的一 點，在 AB 的同側(cè)作△ APC 和△ BPD，使 PC＝ PA， PD＝PB，∠ APC＝∠ BPD，連結(jié) CD，點 E， F， G， H 分別是 AC， AB， BD， CD 的中點，順次連接 E， F， G， H． 圖 1 (1)猜想四邊形 EFGH 的形狀，直接回答，不必說明理由； (2)當點 P在線段 AB 的上方時，如圖 2，在△ APB的外部作△ APC和△ BPD，其他條件不變， (1)中的結(jié)論還成立嗎 ?說明理由； 圖 2 (3)如圖 3 中，若∠ APC＝∠ BPD＝ 90176。則點 D 的坐標為 ______． 8 題圖 9．在正方形 ABCD 中， E 在 AB上， BE＝ 2， AE＝ 1， P 是 BD上的動點，則 PE 和 PA 的長度之和最小值為 ___________． 10．如圖，矩形 ABCD 的面積為 5，它的兩條對角線交于點 O1，以 AB， AO1為兩鄰邊作平行四邊形 ABC1O1，平行四邊形 ABC1O1的對角線交于點 O2，同樣以 AB， AO2為兩鄰邊平行四邊形 ABC2O2??依此類推，則平行邊形 ABCnOn的面積為 ___________． 三、解答題 11．平行四邊形 ABCD 中，點 E， F 分別在 BC， AD 上，且 AF＝ CE，求證： AE＝ CF． 12．如圖，在矩形 ABCD 中，以點 B 為圓心、 BC 長為半徑畫弧，交 AD邊于點 E，連接 BE，過 C 點作 CF⊥ BE，垂足為 F． 猜想線段 BF 與圖中現(xiàn)有的哪一條線段相等 ?先將你猜想出的結(jié)論填寫在下面的橫線上，并加以證明． 結(jié)論： BF＝ ______． 證明： 13．如圖，把一張矩形的紙 ABCD 沿對角線 BD 折疊，使點 C 落在點 E 處， BE 與 AD交于點 F． (1)求證：△ ABF≌△ EDF (2)若將折疊的圖形恢復原狀，點 F 與 BC 邊上的點 M 正好重合，連接 DM，試判斷四邊形 BMDF 的形狀，并說明理由． 14．如圖，在梯形 ABCD 中，已知 AD∥ BC，點 E， F， G， H分別是 DB， BC， AC， DA 的中點，求證：線段 HF、線段 EG 互相平 分。 5．課外活動時，王老師讓同學們做一個對角線互相垂直的等腰梯形形狀的風箏，其面積為450cm2，則兩條對角線所用的竹條至少需 ( )． (A) cm230 (B)30cm (C)60cm (D) cm260 二、填空題 6．如圖，若 □ ABCD與 □ EBCF關(guān)于 B， C 所在直線對稱，∠ ABE＝ 90176。 (C)45176。則 □ ABCD 的面積是 ( )． (A) 33 (B) 36 (C) 315 (D) 312 3．將矩形紙片 ABCD 按如圖所示的方式折疊，得到菱形 AECF． 若 AB＝ 3，則 BC 的長為 ( )． (A)1 (B)2 (C) 2 (D) 3 4．等腰梯形的兩底之差等于腰長，則腰與下底的夾角為 ( )． (A)120176。．提示：過 D 點作 DE∥ AC，交 BC 延長線于 E 點． 9． .348? 10． .223 11． .10 12．方法 1：取 )(21 baBM ?? ．連接 AM， AM 將梯形 ABCD 分成面積相等的兩部分． 方法 2： (1)取 DC 的中點 G，過 G 作 EF∥ AB，交 BC于點 F，交 AD的延長線于點 E． (2)連接 AF， BE 相交于點 O． (3)過 O 任作直線 MN 與 AD， BC 相交于點 M， N，沿 MN 剪一刀即把梯形 ABCD 分成面積相等的兩部分． 13． (1)證明：分別過點 C， D 作 CG⊥ AB， DH⊥ AB．垂足為 G， H，如圖 1，則∠ CGA＝ ∠ DHB＝ 90176。 23?AD ； (2)略． 測試 11 梯形 (二 ) 1． (1)作一腰的平行線； (2)作另一底邊的垂線； (3)作對角線的平行線； (4)交于一點； (5)對稱中心； (6)對稱軸． 2． 60176。 QE＝ 61 S 正方形 ABCD＝ 38 ∴ QE＝ 34 ∵點 Q 在正方形對角線 AC 上 ∴ Q 點的坐標為 )34,34( ∴過點 D(0， 4)， )34,34(Q 兩點的函數(shù)關(guān)系式為： y＝－ 2x＋ 4，當 y＝ 0 時， x＝ 2，即 P 運動到 AB 中點時，△ ADQ 的面積是正方形 ABCD 面積的 61 ； (3)若△ ADQ 是等腰三角形，則有 QD＝ QA 或 DA＝ DQ 或 AQ＝ AD ①當點 P 運動到與點 B 重合時 ，由四邊形 ABCD 是正方形知 QD＝ QA 此時△ ADQ是等腰三角形； ②當點 P與點 C 重合時，點 Q與點 C 也重合，此時 DA＝ DQ，△ ADQ是等腰三角形； ③如圖，設(shè)點 P 在 BC 邊上運動到 CP＝ x 時，有 AD＝ AQ ∵ AD∥ BC ∴∠ ADQ＝∠ CPQ． 又∵∠ AQD＝∠ CQP，∠ ADQ＝∠ AQD， ∴∠ CQP＝∠ CPQ． ∴ CQ＝ CP＝ x． ∵ AC＝ 24 ， AQ＝ AD＝ 4． ∴ x＝ CQ＝ AC－ AQ＝ 24 － 4． 即當 CP＝ 24 － 4 時，△ ADQ 是等腰三角形． 測試 10 梯形 (一 ) 1．不平行，長短，梯形的腰，距離，直角梯形，相等． 2．同一底邊上，相等，相等，經(jīng)過上、下底中點的直線． 3．兩腰相等，相等． 4． 45． 5． 7cm． 6． .3 7． C． 8． B． 9． A． 10．提示：證△ AEB≌△ CAD． 11． (1)略； (2)CD＝ 10． 12． .3 13． (1)提示：證 EN＝ FN＝ FM＝ EM； (2)提示：連結(jié) MN，證它是梯形的高．結(jié)論是 .21 BCMN? 14． (1)① ?＝ 30176。 8 2 cm2； 7． 5cm． 8． B． 9． B． 10． 55176。； (2)8 3 ． 12． 2． 13． (1)略； (2)四邊形 BFDE 是菱形，證明略． 14． (1)略； (2)△ ABC 是 Rt△． 15． (1)略； (2)略； (3)當旋轉(zhuǎn)角是 45176。又∵ BE＝ AB＝ 2 ∴ AB＝ BE＝ BF： ②旋轉(zhuǎn)角度為 120176。． 5． ?613 6． C． 7． B． 8． B． 9． D． 10． (1)提示：先證 OA＝ OB，推出 AC＝ BD； (2)提示：證△ BOE≌△ COF． 11． (1)略； (2)四邊形 ADCF 是矩形． 12． ． 13．提示：證明△ BFE≌△ CED，從而 BE＝ DC＝ AB，∴∠ BAE＝ 45176。 2 所以點 Q 的坐標為 Q1(2， 1)和 Q2(－ 2，－ 1)； (3)因為四邊形 OPCQ 是平行四邊形，所以 OP＝ CQ， OQ＝ PC，而點 P(－ 1，－ 2)是定點，所以 OP 的長也是定長，所以要求平行四邊形 OPCQ周長的最小值就只需求OQ 的最小值． 因為點 Q 在第一象限中雙曲線上，所以可設(shè)點 Q 的坐標 Q(n， n2 )， 由勾股定理可得 OQ2＝ n2＋24n＝ (n－ n2 )2＋ 4， 所以當 (n－ n2 )2＝ 0 即 n－ n2 ＝ 0 時， OQ2有最小值 4， 又因為 OQ 為正值，所以 OQ 與 OQ2同時取得最小值， 所以 OQ有最小值 2．由勾股 定理得 OP＝ 5 ，所以平行四邊形 OPCQ 周長的最小值是 2(OP＋ OQ)＝ 2( 5 ＋ 2)＝ 2 5 ＋ 4． 測試 6 三角形的中位線 1． (1)中點的線段； (2)平行于三角形的，第三邊的一半． 2． 16， 64179。 21 m178。． 14． (1)設(shè)正比例函數(shù)解析式為 y＝ kx，將點 M(－ 2，－ 1)坐標代入得21?k，所以正比例函數(shù)解析式為 xy 21? ，同樣可得，反比例函數(shù)解析式為xy 2?； (2)當點 Q 在直線 MO 上運動時，設(shè)點 Q 的坐標為 )21,( mmQ ，于是 S△ OBQ＝ 21 ｜ OB178。 CE＝ .315 8． 7． 9．＝．提示：連結(jié) BM， DN． 10． (1)提示：先證∠ E＝∠ F； (2)EC＋ FC＝ 2a＋ 2b． 11．提示：過 E 點作 EM∥ BC，交 DC 于 M，證△ AEB≌△ AEM． 12．提示：先證 DC＝ AF． 13．提示 ：連接 DE，先證△ ADE 是等邊三角形，進而證明∠ ADB＝ 90176。． 3． 90176。 45176。． 2． 45176。 60176。 ∴∠ EDB＝∠ BCF．∴ ED∥ FC． ∵ ED FC，∴四邊形 CDEF 為平行四邊形 . 16． (1) xy 1? ； (2) )2,21( ??A ； (3)P1(－ ，－ 2)， P2(－ ，－ 2)或 P3 (， 2)． 17． (1)m＝ 3， k＝ 12； (2) 232 ??? xy 或 .232 ??? xy 測試 5 平行四邊形的性質(zhì)與判定 1． 60176。且 AD＝ DE．∴ FC＝ DE． ∵∠ EDB＋ 60176。． 16． (1)有 4 對全等三角形．分別為△ AOM≌△ CON，△ AOE≌△ COF，△ AME≌△ CNF，△ ABC≌△ CDA． (2)證明：∵ OA＝ OC，∠ 1＝∠ 2， OE＝ OF，∴△ OAE≌△ OCF．∴∠ EAO＝∠ FCO． 又∵在 □ ABCD 中， AB∥ CD，∴∠ BAO＝∠ DCO．∴∠ EAM＝∠ NCF． 17． 9． 測試 3 平行四邊形的判定 (一 ) 1．①分別平行； ②分別相等； ③平行且相等； ④互相平分； ⑤分別相等；不一定； 2．不一定是． 3．平行四邊形．提示：由已知可得 (a－ c)2＋ (b－ d)2＝ 0，從而????? .,db ca 4． 6， 4； 5． AD， BC． 6． D． 7． C． 8． D． 9．提示：先證四邊形 BFDE 是平行四邊形，再由 EM NF 得證． 10．提示：先證四邊形 AFCE、四邊形 BFDE 是平行四邊形， 再由 GE∥ FH， GF∥ EH 得證． 11．提示：先證四邊形 EBFD 是平行四邊形，再由 EP QF 得證． 12．提示：先證四邊形 EBFD 是平行四邊形，再證△ REA≌△ SFC，既而得到 RE SF． 13．提示：連結(jié) BF， DE，證四邊形 BEDF 是平行四邊形． 14．提示：證四邊形 AFCE 是平行四邊形． 15．提示： (1)DF 與 AE 互相平分； (2)連結(jié) DE， AF．證明四邊形 ADEF 是平行四邊形． 16．可拼成 6 個不同的四邊形，其中有三個是平行四邊形．拼成的四邊形分別如下： 測試 4 平行四邊形的判定 (二 ) 1．平行四邊形． 2． 18． 3． 2． 4． 3． 5．平行四邊形． 6． C． 7． D． 8． D． 9． C． 10． A． 11． B． 12． (1)BF(或 DF)； (2)BF＝ DE(或 BE＝ DF)； (3)提示：連結(jié) DF(或 BF)，證四邊形 DEBF 是平行四邊形． 13．提示： D 是 BC 的中點． 14． DE＋ DF＝ 10 15．提示： (1)∵△ ABC 為等邊三角形，∴ AC＝ CB，∠ ACD＝∠ CBF＝ 60176。． 5． 20cm， 10cm． 6． 18．提示： AC＝ 2AO. 7． 5 3 cm， 5cm． 8． 120cm2． 9．