【正文】 （等量代換）． 2．分析 關(guān)鍵是找到“第三條直線”把原兩條直線 AB， CD 聯(lián)系起來． 解法 1 如圖 27′，延長 BE 交 CD 于 F．有∠ BED=∠ 3+∠ 2， ∵∠ BED=∠ 1+∠ 2，∴∠ 1+∠ 2=∠ 3+∠ 2． 即∠ 1=∠ 3，從而 AB∥ CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）． 解法 2 如圖 28′，過 E 點作 EF，使∠ FED=∠ CDE，則 EF∥ CD． 又∵∠ BED=∠ ABE+∠ CDE，∴∠ FEB=∠ ABE．因而 EF∥ AB． ∴ AB∥ CD（ AB， CD 都平行于 EF）． 解法 解法 4 可依據(jù)圖 29′、圖 210′，讀者可自行判斷． 變更命題發(fā)散 1．判斷理由如下： ∵∠ 1=∠ 2（已知）， ∴ AM∥ CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）． 同理，∵∠ 4=∠ 5，∴ GM∥ DE， ∵∠ AMG=∠ 3（如果一個角的兩邊分別平行 于另一個角的兩邊，那么這兩個角相等或互補）． 2．判斷理由如下： 連結(jié) BC． ∵ AB∥ CD（已知）， ∴∠ ABC=∠ BCD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）． 又∵∠ 1=∠ 2， ∴∠ EBC=∠ FCB（等量之差相等）， ∴ EB∥ CF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）， ∴∠ BEF=∠ EFC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）． 分解發(fā)散 （ 1）提示：過 P 作 PQ∥ AB，把∠ EPF 分割成兩部分∠ EPQ、∠ QPF，利用平行線內(nèi)錯角相等判斷． （ 2）提示：先求∠ CFP 的等角∠ 1，過 Q 點作 QG∥ PE，把∠ 1 分割成兩部分，再利用平行線內(nèi)錯相等證 明． ∠ EPF=∠ 1∠ AEP，又∵∠ 1=∠ CFP， 最后證得結(jié)論：∠ EPF=∠ CFP∠ AEP． （ 3）提示：過 E、 F、 G 作 AB 的平行線． 轉(zhuǎn)化發(fā)散 1．提示：考慮互補的兩角有一條邊互為反向延長線 MN，過角的頂點作 MN 的垂線，只須證互補兩角中的大角減小角的差等于小角的余角的 2 倍． 2．如圖 211′，∵ AB83BC? ， ∴ 33248324BCABAC ?????? ． 又∵ E 是線段 AC 的中點， ∴ ???? ． 同理 122421AB21AD ???? ， 故 DE=AEAD==（ cm）． 遷移發(fā)散 ∵一條直線將平面分成 2 個區(qū)域，加上第二條直線，區(qū)域數(shù)增加 2，加上第三條直線，區(qū)域數(shù)又增加 3??，加上第 10 條直線，區(qū)域數(shù)又增加 10． ∴ 10 條直線，按已知條件，將平面分成的區(qū)域數(shù)為 n． 則 n=2+2+3+4+? +10 =1+(1+2+3+4+? +10) =56． 綜合發(fā)散 1． 8cm． 2． 12176。． 解法 2 如 圖 26′，從 E 點作 EF∥ AB， 則∠ 1=∠ B（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）． 又∵ AB∥ CD（已知）， ∴ EF∥ CD（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）， ∴∠ 2=∠ D（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）． ∵∠ 1+∠ BED+∠ 2=360176。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）， ∴∠ B+∠ BEF+∠ FED+∠ D=360176。（等式性質(zhì)）． 4．略． 解法發(fā)散 1．解法 1 如圖 25′，從 E 點作 EF∥ AB． ∴∠ B+∠ BEF=180176。（等式 性質(zhì)）． 又∵ DOC 是一直線（已知）， ∴∠ DOB+∠ BOC=180176。 20176。（垂直的定義）． 又∵∠ AOC=20176。． （ 4） 28176。． （ 2） 50176。． （ 6）①（等量代換）．②（等量之和相等）．③（等量之差相等） （ 7）（已知），（對頂角相等），（已知），（等量代換 ）． （ 8）（已知），（角平分線定義）．（已知），（角平分線定義）．（已知），（等量的同倍量相等）． （ 9）（已知），（等量之和相等）．（已知），（垂線定義）．（等量代換），（垂線定義）． （ 10）（已知）（角平分線定義）．（已知），（等量代換）．（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）． 3．（ 1） 80176。． （ 4） AB∥ CD（已知），兩直線平行，同位角相等（已知）． AGE211 ??? （角平分線定義） HN平分∠ CHE（已知）， CHG212 ??? （角平分線定義）；∠ 1=∠ 2（等量代換），同位角相等，兩直線平行． （ 5）∠ 3=95176。． （ 3） 85176。（等量代換）， ∴∠ 1 與∠ A互余（互余的定義）． 【提高能力測試】 題型發(fā)散 1．（ 1）（ C） （ 2）（ D） （ 3）（ C） （ 4）（ A） （ 5）（ C） （ 6）（ A） （ 7）（ A） （ 8）（ C） （ 9）（ B） （ 10）（ A） 2．（ 1） 180． （ 2） 108176。（垂直的定義）， ∴∠ A+∠ 2=90176。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）， 即∠ A+∠ ADB+∠ 2=180176。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）． 又∵ MG、 NG 為角平分線（已知）， ∴ M N D21M N GB M N21N M G ?????? ，（角平分線定義）， ∴ ???????????? 901 8021)M N DB M N(21M N GN M G ， ∴∠ MGN=90176?！?1=∠ 2，∠ 3=∠ 4， ∴∠ EMF=90176。 =65176。 ∠ 4=180176。． 7．由題意，∠ 1是∠ 3的余角，而∠ 2與∠ 3余角互補，故∠ 1+∠ 2=180176。 (等量代換 )． 6．∠ x=125176。 (已知 )，∴∠ 5=85176。 (等量代換 )． ∴ AB∥ CD(同旁內(nèi)角互補，兩直線平行 )， ∴∠ 4=∠ 5(兩直線平行，內(nèi)錯角相等 )． 而∠ 3+∠ 5=180176。． 4．因為∠ 1 和∠ 4 是對頂角，所以∠ 1=∠ 4，又因為∠ 1=∠ 2=∠ 3，所以∠ 4=∠ 2，∠ 4=∠ 3． 直線 AB， CD被 EF所截，∠ 2和∠ 4是同位角，且∠ 4=∠ 2，所以， AB∥ CD． 同理，由∠ 4=∠ 3，可推知 EF∥ MN． 5．∵∠ 1=∠ 6，∠ 2=∠ 7(對頂角相等 )， 又∵∠ 1+∠ 2=180176。． 2． (1)30176。 又∵∠ 2=∠ 4(對頂角相等 )，∴∠ 4+∠ 5=180176。 (兩直線平行，同位角相等 )， ∴ EF⊥ CD(垂直的定義 )，又∵ MN⊥ CD(已知 )， ∴ EF∥ MN(如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線平行 )． 2．解法 1 ∵∠ 2=∠ 4，∠ 1=∠ 2． ∴∠ 1=∠ 4． ∴ a∥ b(同位角相等，兩直線平行 )． 解法 2 ∵∠ 2=∠ 4，∠ 1=∠ 3(對頂角相等 )． 又∵∠ 1=∠ 2，∴∠ 3=∠ 4． ∴ a∥ b(內(nèi)錯角相等，兩直線平行 )． 解法 3 ∵∠ 1+∠ 5=180176?！?∠ 1=∠ 3． 又∵ AB∥ CD(已知 )， ∴∠ 1=∠ 2(兩條直線平行，同位角相等 )， ∴∠ 2=∠ 3(等量代換 )． ∴ EF∥ MN(同位角相等，兩直線平行 )． 解法 2 ∵ EF⊥ AB(已知 )， ∴∠ 1=90176。 (等量代換 )