【正文】 注意：既不獨(dú)立思考，又不看懂教參書上的解答，只是抄襲，這對(duì)自己來說是一種極不負(fù)責(zé)的行為，希望大家努力避免 ! 最后，我愿以華羅庚先生的一句詩 “ 勤能補(bǔ)拙是良訓(xùn)，一份辛勤一份才 ” 與大家共勉，祝大家不斷進(jìn)步、學(xué)業(yè)有成 ! 。很多同學(xué)購(gòu)買教參書，主要是因?yàn)榻滩睦锏牟糠肿鳂I(yè) (包括一些很難的證明題 )都可以在教參書上找到答案。 要學(xué)好高等代數(shù)，學(xué)好教材是最低的要求。 復(fù)旦現(xiàn)行的高等代數(shù)教學(xué)參考書是姚慕生老師編著的《高等代數(shù)學(xué)習(xí)方法指導(dǎo) (第二版 )》 (因?yàn)榉饷鏋榘咨?，俗稱 “ 白皮書 ”) 。這本教材從 1993年開始沿用至今，已有近 20年的歷史。因此，要學(xué)好高等代數(shù)，不僅要學(xué)代數(shù)，也要學(xué)幾何，更要在代數(shù)和幾何之間建立一座橋梁。 最后，代數(shù)和幾何之間存在一座橋梁，這就是代數(shù)和幾何之間的轉(zhuǎn)換語言。 其次，高等代數(shù)中很多問題都是幾何的問題，我們經(jīng)常將幾何的問題代數(shù)化，然后用代數(shù)的方法去解決它。1993 年之后采用的姚慕生老師的教材強(qiáng)調(diào) “ 線性空間理論 ” 。90年代之后，國(guó)內(nèi)高校的高等代數(shù)教材漸漸地改變?yōu)橐?“ 線性空間理論 ” 作為中心，比較強(qiáng)調(diào)幾何的意義。 三、高等代數(shù)不僅要學(xué)代數(shù)，也要學(xué)幾何，更要在代數(shù)和幾何之間建立一座橋梁 隨著時(shí)代的變遷，高等代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容和方式也在不斷的發(fā)展。我們還可以通過具體例子的啟發(fā)，去發(fā)現(xiàn)和證明一些新的結(jié)果。我們可以通過具體的例子去理解抽象的定義和證明 。因此， “ 具體 抽象 具體 ” ，這便是代數(shù)學(xué)的特點(diǎn)。然后通過代數(shù)的方法對(duì)這一概念進(jìn)行研究，得到一般的結(jié)論 。不過這樣的抽象是有意義的，因?yàn)槲覀兛梢则?yàn)證三維歐氏空間、連續(xù)函數(shù)全體、多項(xiàng)式全體、矩陣全體都是線性空間，也 就是說，線性空間是從許多具體例子中抽象出來的概念，具有絕對(duì)的一般性。我想第一次學(xué)高等代數(shù)的同學(xué)都會(huì)認(rèn)為這個(gè)定義太抽象了。 二、正確認(rèn)識(shí)代數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，在抽象和具體之間找到結(jié)合點(diǎn) 代數(shù)學(xué) (包括高等代數(shù)和抽象代數(shù) )給人的印象就是 “ 抽象 ” ，這與另外兩門基礎(chǔ)課有很大的不同。另外，高等代數(shù)中還有很多分析方面的技巧，比如說 “ 攝動(dòng)法 ” ，它是一種分析的方法，可以讓我們把問題從一般矩陣化到非異矩陣的情形。 根據(jù)我的經(jīng)驗(yàn)，將高等代數(shù)和空間解析幾何作為一個(gè)整體去學(xué)，效果肯定比單獨(dú)學(xué)好，因?yàn)楦叩却鷶?shù)中最核心的概念是 “ 線性空間 ” ，這是一個(gè)幾何對(duì)象 。比如說，從教的角度來看，各門課程的教材或授課在某種程度上過于強(qiáng)調(diào)自身的特點(diǎn)，很少以整體的眼光去講授課程或處理問題，課程之間 的相互聯(lián)系也涉及的較少 。學(xué)院的資深教授曾向我們抱怨： “ 有的問題只要畫個(gè)圖，想一想就做出來了，怎么現(xiàn)在的學(xué)生做題，拿來就只知道死算，連個(gè)圖也不畫一下。 數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù) 、空間解析幾何這三門基礎(chǔ)課，恰好是數(shù)學(xué)最重要的三個(gè)分支 分析、代數(shù)、幾何的最重要的基礎(chǔ)課程。20 世紀(jì)以來，這些傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)分支相互滲透、相互交叉，形成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)最前沿的研究方向，比如說，代數(shù)數(shù)論、解析數(shù)論、代數(shù)幾何、微分幾何、代數(shù)拓?fù)洹⑽⒎滞負(fù)涞鹊?。比如說，從 “ 數(shù) ” 的研究衍生出數(shù)論、代數(shù)、函數(shù)、方程等數(shù)學(xué)分支 。關(guān)于證明，這里一時(shí)無法盡言，請(qǐng)看我的《證明題的證法之高代篇》 對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心得體會(huì)范本精選篇 8 一、將三門基礎(chǔ)課作為一個(gè)整體去學(xué)，摒棄孤立的學(xué)習(xí)，提倡綜合的思考 恩格斯曾 經(jīng)說過： “ 數(shù)學(xué)是研究數(shù)和形的科學(xué)。這對(duì)大家是比較抽象，但是，沒有宏觀的理解，對(duì)此課程必然學(xué)不透徹 !建議同學(xué)們邊比較變學(xué)習(xí)，上學(xué)期的向量用中學(xué)的向量比較，下學(xué)期的向量用上學(xué)期的比較。最后總結(jié)出高代的特點(diǎn)，一是結(jié)構(gòu)緊密，整個(gè)課程的知識(shí)點(diǎn)互相之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，無論從哪一個(gè)角度切入， 都可以牽一發(fā)而動(dòng)全身，整個(gè)課程就是鐵板一塊。相似變換對(duì)角化問題到了這里變成正交變換對(duì)角化問題，在涉及對(duì)角化問題時(shí)，能用正交變換的盡量用正交變換，可以使得問題更加的容易解決。我們要比較兩者的聯(lián)系與差別。最后的 “ 歐氏空間 ” 許多人不理解，一句話，就是仿照我們可見 的三維空間，對(duì)線性空間引進(jìn)度量，向量有長(zhǎng)度、有夾角、有內(nèi)積。 矩陣相似變換成對(duì)角型是個(gè)很實(shí)用的問題，結(jié)果，不是所有都能化對(duì)角，那么退一步，于是有了 “ 若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型 “ 的概念，只要特征多項(xiàng)式能夠完全分解，就可以化若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，有一章的內(nèi)容專門研究它。簡(jiǎn)單到極致，就是對(duì)角型。同學(xué)們要記住，做線性空間與線性變換的題時(shí)這樣的轉(zhuǎn)化是主方向 !進(jìn)一步：既然線性變換可以通過取基用矩陣表示，不同的基呢，對(duì)應(yīng)不同的矩陣。 正因?yàn)楸３志€性關(guān)系不變，所以線性空間的許多性質(zhì)在映射后得以保持。繼而，我們將數(shù)學(xué)中的 “ 映射 ” 用在線性空間上，于是有了 “ 線性變換 ” 的概念。可是，它的形式有局限啊，數(shù)學(xué)家就想到，將其概念的本質(zhì)抽取出來，他們發(fā)現(xiàn)，向量空間的本質(zhì)就是八條運(yùn)算律，因此將它作為線性空間 (也稱向量空間 )的公理化定義，作為原始的向量、加法、數(shù)乘未必再有原來的形式了。 而向量空間的集合是向量，運(yùn)算就兩個(gè)：加法和數(shù)乘 。所謂代數(shù)結(jié)構(gòu)，就是由一個(gè)集合、若干種運(yùn)算構(gòu)成的數(shù)學(xué)的 “ 大廈 ” ，運(yùn)算使得集合中的元素有了聯(lián)系。下學(xué)期主要講 “ 線性空間 ”和 “ 線性變換 ” 。剛才講了，三者聯(lián)系緊密，比如一個(gè)方程將運(yùn)算符號(hào)和等號(hào)除去，就是一個(gè)向量 。第二，解決了這三大問題，方程組的解迎刃而解。還有，即使是方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相同，也未必有唯一的解，因?yàn)橛锌赡艹霈F(xiàn)方程 “ 多余 ” 的情況。對(duì)于線性代數(shù)的線性方程組，方程的個(gè)數(shù)不一定等于未知量的個(gè)數(shù)。關(guān)鍵是要理解概念與概念間的聯(lián)系?？墒茄芯科饋砜刹荒敲春?jiǎn)單，我們以前的運(yùn)算是兩個(gè)數(shù)的運(yùn)算，而現(xiàn)在的運(yùn)算涉及的可是整個(gè)數(shù)表的運(yùn)算 !可以想象，整個(gè)數(shù)表的運(yùn)算必然比兩個(gè)數(shù)的運(yùn)算難。那么我們線性代數(shù)中的向量呢，是將中學(xué)所學(xué)的向量進(jìn)行推廣，由三維到 n維 (n是任意正整數(shù) )，由三個(gè)數(shù)的有序數(shù)組推廣到 n維有序數(shù)組，中學(xué)的向量的性質(zhì)盡可 能推廣到 n維，這樣，可以解決更多的問題 。向量我們?cè)谥袑W(xué)學(xué)過一些，物理課也講。 實(shí)際上，向量、矩陣、線性方程組都是基本數(shù)學(xué)工具。你可能會(huì)想：線性方程組我們學(xué)過，而且解它用得著講一門課嗎 ?大家一定要明白，首先我們的方程組不像中學(xué)所學(xué)僅含 2到 3個(gè)方程，它只要用消元法即可容易地求出，這里的研究的是所有方程組的規(guī)律，也就是所必須找到 4個(gè)以