人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2第2章推理與證明(參考版)
2024-11-21 20:10本頁面
【正文】 q ” 為假，從而可以導(dǎo)出 “ 若 p ，則 q ” 為真，從而達(dá)到證明的目的．反證法反映了 “ 正難則反 ” 的解題思想． 若 x ， y ， z 均為實數(shù)，且 a ＝ x2－ y － z ＋π2， b ＝y(tǒng)2－ x － z ＋π3， c ＝ z2－ x － y ＋π4，求證： a ， b ， c 中至多有兩個小于或等于零． [ 證明 ] 假設(shè) a ， b ， c 都小于或等于零，則 a ＋ b ＋ c ≤ 0. 所以 ( x2－ y － z ＋π2) ＋ ( y2－ x － z ＋π3) ＋ ( z2－ x － y ＋π4) ＝ x2－ 2 x＋ y2－ 2 y ＋ z2－ 2 z ＋13π12≤ 0 ，即 ( x － 1)2＋ ( y － 1) ＋ ( z － 1)2≤ 3 －1312π. 因為 ( x － 1)2＋ ( y － 1)2＋ ( z － 1)2≥ 0 ，所以 3 －13π12≥ 0 ，即36 ≥ 13π ，這與基本事實 3613π 相矛盾． 故 a ， b ， c 中至多有兩個小于或等于零 . 用數(shù)學(xué)歸納法證題 數(shù)學(xué)歸納法證題的關(guān)鍵 “ 一湊假設(shè)，二湊結(jié) 論 ” ，其在高考中有著廣泛的考查猜想、歸納等培養(yǎng)探索問題的能力，因此成為高考的考查重點(diǎn)，要引起足夠的重視． 求證： 1 －12＋13－14＋ ? ＋12 n － 1－12 n＝1n ＋ 1＋1n ＋ 2＋ ? ＋12 n( n ∈ N*) ． [ 分析 ] 利用數(shù)學(xué)歸納法證題時要弄清等式兩端的變化結(jié)構(gòu)，只有這樣，方可搞清由 k → k ＋ 1 時，所增 加的是哪些項． [ 證明 ] (1) 當(dāng) n ＝ 1 時，左邊＝ 1 － 12 ＝12 ， 右邊＝12 ，等式成立． (2) 假設(shè) n ＝ k 時， 1 －12＋13－14＋ ? ＋12 k － 1－12 k＝1k ＋ 1＋1k ＋ 2＋ ? ＋12 k成立， 那么當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時， 1 －12＋13－14＋ ? ＋12 k － 1－12 k＋12 ? k ＋ 1 ? － 1－12 ? k ＋ 1 ? ＝1k ＋ 1＋1k ＋ 2＋ ? ＋12 k＋12 k ＋ 1－12 ? k ＋ 1 ? ＝1k ＋ 2＋1k ＋ 3＋ ? ＋12 k＋12 k ＋ 1＋????????1k ＋ 1－12 ? k ＋ 1 ? ＝1? k ＋ 1 ? ＋ 1＋1? k ＋ 1 ? ＋ 2＋ ? ＋1? k ＋ 1 ? ＋ k＋12 ? k ＋ 1 ? . 所以 n ＝ k ＋ 1 時，等式也成立． 由 (1) 和 (2 ) 知，對于任何 n ∈ N*等式都成立． [ 方法總結(jié) ] 數(shù)學(xué)歸納法對無窮多個特殊命題的一一驗證成為可能，這體現(xiàn)了有限 ( 兩步 ) 與無限 ( 無窮多次驗證 ) 對立統(tǒng)一的辯證關(guān)系 . 歸納 、 猜想 、 證明 設(shè)數(shù)列 { a n } 滿足 a n ＋ 1 ＝ a2n － na n ＋ 1 ， n ∈ N*. (1) 當(dāng) a 1 ＝ 2 時，求 a 2 ， a 3 ， a 4 ，并由此猜想出 a n 的一個通項公式； (2) 當(dāng) a 1 ≥ 2
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