【正文】 由于 t分布左右對(duì)稱， t在區(qū)間（ ∞， t1）取值的概率也為 1F t df)。當(dāng) n 30時(shí)， t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的區(qū)別很??； n 100時(shí)， t分布基本與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相同；n→∞ 時(shí)， t 分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布完全一致。 df越小這種趨勢(shì)越明顯。 t分布密度曲線以縱軸為對(duì)稱軸，左右對(duì)稱，且在 t＝ 0時(shí)，分布密度函數(shù)取得最大值。它的概率分布密度函數(shù)如下： 式中， t的取值范圍是（ ∞， +∞）； df=n1為自由度。當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差 σ未知時(shí)，以樣本標(biāo)準(zhǔn)差 S代替 σ所得到的統(tǒng)計(jì)量 記為 t。 t分布 由樣本平均數(shù)抽樣分布的性質(zhì)知道： 若 x～N(μ, σ2)， 則 ～ N(μ, σ2/n)。 ? 對(duì)于小樣本資料，常將樣本標(biāo)準(zhǔn)誤 與樣本平均數(shù) 配合使用， 記為 177。 標(biāo)準(zhǔn)誤 ? 對(duì)于大樣本資料，常將樣本標(biāo)準(zhǔn)差 S與樣本平均數(shù) 配合使用 ，記為 177。二者的區(qū)別在于： 標(biāo)準(zhǔn)誤 ? 樣本標(biāo)準(zhǔn)差 S 是反映樣本中各觀測(cè)值 xx … 、 xn 變異程度大小的一個(gè)指標(biāo)，它的大小說(shuō)明了 對(duì)該樣本代表性的強(qiáng)弱。樣本標(biāo)準(zhǔn)誤 是平均數(shù)抽樣誤差的估計(jì)值 。于是，以 估計(jì) 。 標(biāo)準(zhǔn)誤 在實(shí)際工作中，總體標(biāo)準(zhǔn)差 σ往往是未知的，因而無(wú)法求得 。 標(biāo)準(zhǔn)誤 的大小與原總體的標(biāo)準(zhǔn)差 σ成正比，與樣本含量 n的平方根成反比。 標(biāo)準(zhǔn)誤大，說(shuō)明各樣本平均數(shù) 間差異程度大，樣本平均數(shù)的精確性低。 若 x的分布不很偏倚，在 n＞ 20時(shí) ， 的分布就近似于正態(tài)分布了。這就是中心極限定理。 X 變量與 變量概率分布間的關(guān)系可由下列兩個(gè)定理說(shuō)明： 1. 若隨機(jī)變量 x 服從正態(tài)分布 N(μσ2) ； x1 x … 、 xn，是由 x 總體得來(lái)的隨機(jī)樣本，則統(tǒng)計(jì)量 =Σx／ n的概率分布也是正態(tài)分布且有 =μ， ， 即服從正態(tài)分布 N(μ,σ2／n)。 比較圖中兩個(gè)分布，在 n由 2增到 4時(shí)，這種趨勢(shì)表現(xiàn)得相當(dāng)明顯。 由以上模擬抽樣試驗(yàn)可以看出，雖然原總體并非正態(tài)分布，但從中隨機(jī)抽取樣本， 即使樣本含量很小 (n=2, n=4)，樣本平均數(shù)的分布卻趨向于正態(tài)分布形式。分別求這些樣本的平均數(shù) ，其次數(shù)分布如表所示。根據(jù) μ=Σx／ N和 σ2=Σ(xμ)2／ N求得該總體的 μ、 σ σ為： μ=3, σ2=1／ 2, σ= = 從有限總體作返置隨機(jī)抽樣，所有可能的樣本數(shù)為 Nn其中 n為樣本含量。 是樣本平均數(shù)抽樣總體的標(biāo)準(zhǔn)差，簡(jiǎn)稱 標(biāo)準(zhǔn)誤 ，它 表示平均數(shù)抽樣誤差的大小 。由樣本平均數(shù)構(gòu)成的總體稱為 樣本平均數(shù)的抽樣總體 。這種差異是由隨機(jī)抽樣造成的 ，稱為 抽樣誤差 (sampling error)。 x 可以設(shè)想，從原總體中可抽出很多甚至無(wú)窮多個(gè)含量為 n的樣本。 設(shè)有一個(gè)總體，總體平均數(shù)為 μ，方差為 σ2，總體中各變數(shù)為 x， 將此總體稱為原總體。對(duì)于無(wú)限總體，返置與否都可保證各個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相等。 由總體隨機(jī)抽樣 (random sampling)的方法可分為 返置抽樣和不返置抽樣 兩種。 5 抽樣分布 我們知道，由總體中隨機(jī)地抽取若干個(gè)體組成樣本，即使每次抽取的樣本含量相等，其統(tǒng)計(jì)量 (如， S)也將隨樣本的不同而有所不同，因而樣本統(tǒng)計(jì)量也是隨機(jī)變量， 也有其概率分布。 5 抽樣分布 統(tǒng)計(jì)推斷是以總體分布和樣本抽樣分布的理論關(guān)系為基礎(chǔ)的。 5 抽樣分布 研究總體與從中抽取的樣本之間的關(guān)系是統(tǒng)計(jì)學(xué)的中心內(nèi)容 。 小結(jié) 對(duì)于波松分布： ? 當(dāng) λ→∞ 時(shí) ，波松分布以正態(tài)分布為極限。在這種場(chǎng)合，正態(tài)分布中的 μ、 σ2用二項(xiàng)分布的 np、 npq代之。三者間的關(guān)系如下： 小結(jié) 對(duì)于二項(xiàng)分布： ? 在 n→∞ ， p→0 ，且 n p =λ(較小常數(shù) )情況下 二項(xiàng)分布趨于波松布。 關(guān)于一般正態(tài)分布，以下幾個(gè)概率 (即隨機(jī)變量 x落在 μ加減不同倍數(shù) σ區(qū)間的概率 )是經(jīng)常用到的。即： 對(duì) 上式作變換 u=(xμ)／ σ，得 dx=σdu，故有 其中， 這表明服從正態(tài)分布 N(μ,σ2)的隨機(jī)變量 x 在 [ x1 ， x2 ）內(nèi)取值的概率 ， 等 于服 從 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 的 隨 機(jī) 變 量 u 在 [(x1μ)/σ, (x2μ)/σ）內(nèi)取值的概率 。 正態(tài)分布表 正態(tài)分布表 由 P(u1≤ u ＜ u2 ) ＝ Φ(u2)－ Φ(u1)式及正態(tài)分布的對(duì)稱性可推出下列關(guān)系式，再借助附表 1，便能很方便地計(jì)算有關(guān)概率： P(0≤u＜ u1)＝ Φ(u1) P(u≥u1) =Φ(u1) P(｜ u｜ ≥u1)=2Φ(u1) P(｜ u｜＜ u1＝＝ 12Φ(u1) P(u1≤u＜ u2)＝ Φ(u2)Φ(u1) 關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，以下幾種概率應(yīng)當(dāng)熟記： P（ 1≤u＜ 1） = P（ 2≤u＜ 2） = P（ 3≤u＜ 3） = P（ ≤u＜