【正文】 對全地區(qū) N=19730輛貨車抽取一個 n=178輛車的簡單隨機樣本。 2023/2/27 135 如果樣本是按某一個 輔助指標 分層后抽取的 ,只要這個事先分層抽樣是嚴格按 比例分配 進行的 ,則這個樣本是自加權的 ,總體中每個單元被抽中的概率相同 ,可以將這個樣本看做簡單隨機樣本 ,分別對其它指標進行事后分層估計。式中 y2023/2/27 132 當 固定且都大于零的條件下 ,落到各層的樣本可以看成是獨立地從各層中抽取的簡單隨機樣本 ,這時 ,事后分層估計量 的方差為 : 式中 , psty? ? ??????LhhhLh hhhps t SWNnSWyV12122 1? ?21211 ?????hNihhihh YYNS2023/2/27 133 事后分層的合理性 , 即認為既然簡單隨機樣本是總體的一個惟妙惟肖地刻畫 ,那么按樣本特征所聚的類恰好反映了總體的某一特色部分的層 ,而樣本的各層恰好可認為是來自總體相應層的簡單隨機樣本。 條件 : 需知各層的大小 或?qū)訖? 。 適用情況 : 沒有層的抽樣框，或總體特別大來不及事先分層 ,或幾個變量都適合于分層。 ２．分層考慮費用。 一般以目標量 作為分層指標 ,但 未知，一般 通過與高度相關的輔助指標 來進行。 2023/2/27 126 范圍 x 頻數(shù) f 累計 0~5 65328 5~10 89240 10~15 36128 15~20 77525 20~25 62407 25~30 24591 30~40 24586 40~50 9582 50~60 15761 60~70 8099 70~80 5676 f f678 1356 2034 245862 ?2023/2/27 127 80~90 3453 90~100 4256 100~150 1246 150~200 800 200~250 365 250~300 90 30 300~350 35 350~400 5 400~450 12 450以上 7 f102023/2/27 128 最終累計頻數(shù)是 ,如果取層數(shù)為 4,則應每隔 分一層 .因此應該使得累 計 最接近 , , ,即較 合理的分層是 : )(707030,3015,15 元以及 ?????? xxxx2023/2/27 129 (二 ) 層數(shù)的確定 層數(shù)的增加能提高估計的精度，但當層數(shù)增加到一定的時候，在精度上的收益將很?。蝗魳颖玖?n已確定，由于每層至少必須抽取一個樣本單元，因此最多的層數(shù)為 n，如果要給出估計量方差的無偏估計 ,則每層至少 2個樣本單元，那么層數(shù)不能超過 n/2。 0yhy hh yyyyy ???????? ? 12100yhy )(styV2023/2/27 124 確定層界的快速近似法 : 累積平方根法 : 由戴倫紐斯(Daleniues )與霍捷斯(Hodges)提出的根據(jù)等分分層變量分布的累積平方根的最優(yōu)分層方法，簡稱累積平方根法。 ? 思路 : 設總體分成 h層 ,假定 與 分別為總體的最小與最大可能值。這個標志可以是目標量的前期值，也可 以完全是另一個變量。 2023/2/27 122 (一 )最優(yōu)分層 目的不同，分層方法不同，構造層的原則如下： １．若為了便于組織、估計子總體的參數(shù)，則按自然 層或單元的類型劃分。 比例分配 : 各層的均值差異大 二 . 層的劃分 基本原則 : 使 層內(nèi)差異盡可能小 各層有自己鮮明特色， 使 層間差異明顯地較大 各層之間有顯著不同。是各層標準差按層權的其中222)(112023/2/27 120 ? 從上式可以看出，最優(yōu)分配在精度取決于各層標準差的差異，差異越大，最優(yōu)分配的效果越好，反之若各層間標準差（方差）差別不大，那么最優(yōu)分配的效果就不會比比例分配的效果好很多。事實上正因為層間的這種變異不進入分層隨機抽樣的方差，因此才有分層隨機抽樣精度高于簡單隨機抽樣的結果。 2023/2/27 114 (1)與比例分配的分層隨機抽樣的效果比較 前提： 相同樣本量 的情況下 簡單隨機抽樣 (對均值估計量 )的方差 : 比例分配的分層隨機抽樣相應估計量的方差 : ???? Lhhhprop SWnfV1212023/2/27 115 ? 根據(jù)總體單元指標的平方和分解 ,簡單隨機抽樣的方差分解如下 : ? ? ? ?1/21 12 ??? ? ?? ?NYYSLhNihih層內(nèi)方差 層間方差 2023/2/27 116 故 若 所有的 都比較大 ，則 從而 hN hhhh WNNNNNN ?????? 1112023/2/27 117 上式右邊的第二項是層間平方和 ,它一定是非負的，因此有 上式意味著，當所有的 都比較大時，比例分配的分層隨機抽樣的方差小于簡單隨機抽樣的方差，也就是說，比例分配分層隨機抽樣的精度比后者高，設計效應小于 1。考慮到比例分配樣本的 自加權 性質(zhì)的簡單性，除非層標準差異十分明顯從而考慮最優(yōu)分配有較大的改進，否則還是可以采用比例分配法。 （ 2）由于最優(yōu)分配時需對 層標準差 進行估計，估計又不可能十分精確，加上計算時 樣本量必須取整數(shù) ，因此理論上的最優(yōu)分配的最小方差并不一定能達到。在調(diào)查 多個目標量 時，按比例分配的分層抽樣可能更好些。 在 固定樣本 的情況下，如果 相對 1可以忽略，則 分別為分層隨機抽樣最優(yōu)分配、分層隨機抽樣按比例分配、簡單隨機抽樣簡單估計的方差。 2023/2/27 102 二 . 估計總體均值情形 1. 一般公式 令 其中 已經(jīng)選定，在調(diào)查的目標是 估計總體均值 時 ,當給定方差 V的上限或 d時 , 212212212212212111hLh hhhLh hhhLh hhhLh hhhLh hhhSWWNSwWnSNWSnWSnfWV????????????????Y2023/2/27 103 如果估計精度是由誤差限的形式給出 ,則 這時上式可以表示為 : 由上式可得 : 2023/2/27 104 ? (1)當按 比例分配 時 ,即 則上式為 : NSWVSWnhhhh????222023/2/27 105 實際工作中， n的計算可以分兩步 : 先計算 ，當 不能忽略不計 時，再計算： ? (2)當按 內(nèi)曼分配 時，即 ?? hhhhh SWSWwNSWVSWnhhhh????22)(Nn /02023/2/27 106 【 例 】 (續(xù)例 ) 如果在 95%置信度下，相對誤差不超過 10%，則按比例分配和 Neyman分配時，總樣本量分別為多少 ? 解 : 按比例分配時 : 2023/2/27 107 20 ????VsWn hh2023/2/27 108 ? 對 進行修正得 n: ? 按 Neyman分配時 : 110285 0 9517 )( 222???????NsWVsWnhhhh2023/2/27 109 (3) 最優(yōu)分配需要考慮費用時 ? 簡單線性函數(shù)： C = ? 將 代入 n的一般公式 , ? 得 : Lh ,...2,1? NSWVcSWcSWnhhhhhhhh?????2)/()(2023/2/27 110 當總費用 C給定時： (P92 式 ) 2023/2/27 111 2023/2/27 112 第六節(jié) 分層時的若干問題 一 .抽樣效果分析 與簡單隨機抽樣相比。 )( styV/hn )(1)(1)( 2/2/// ?? ??hhhhhhst SWNSWnyV?//hnhNhh Nn ?//n2023/2/27 96 【 例 】 某個模擬的總體分為 4層， 和 的值見下表，設 n=80，請問該如何進行內(nèi)曼分配？ 一個模擬總體的分配情況 hNhS hhSNh 1 5 400 2023 2 10 500 5000 3 200 10 2023 4 400 20 8000 合計 615 — 17000 hN hS2023/2/27 97 解： 計算各層的樣本量： （ 1）第一層樣本量的分配： 而 ，可見 ，則 （ 2）將 個待分配的樣本量分到 2— 4層： 1700 020238041111 ????????hhh SNSNnn51 ?N 11 Nn ? 5/1 ?n 75580/1 ???? nn251500 0500075)( 4222/12 ????????hhh SNSNnnn2023/2/27 98 而 ，可見 ， 則 ? （ 3）將 個待分配的樣本量分到 4層： 因為 ， ，所以 102 ?N 22 Nn ? 10/2 ?n 6510580/2/1 ?????? nn131000 0202365)(4333/2/13 ?????????hhh SNSNnnnn2023 ?N 33 Nn ? 13/3 ?n（ 4）將 6510580/2/1 ?????? nnn個待分配的樣本量分到第 4層： 2023/2/27 99 因為 ， ，所以 因此，各層所分配的樣本量是： 5， 10， 13， 52 521000 0800065)(4344/2/14 ?????????hhh SNSNnnnn4004 ?N 44 Nn ? 52/4 ?n 此時上題計算總體均值估計量的最小方差為： 591 )2061540010615200(6151)2061540010615200(651)(1)(1)(222/2///?????????????? ??hhhhhhstSWNSWnyV對第三、四層計算 2023/2/27 100 第五節(jié) 總樣本量的確定 一 .影響樣本總量 n的因素 1.