【正文】 由式（ 4。其中 m為每年的付息次數(shù)。利用下面的公式可把分期限計(jì)算的凸度轉(zhuǎn)化為按年計(jì)算的凸度：其中， 求出 ，可得 付息周期數(shù)為 n，周期收益率為 y的債券的凸度計(jì)算公式如下：因此，凸度實(shí)際上是價(jià)格 收益曲線斜率的變化率。價(jià)格 收益曲線的曲率就稱為債券的凸度（ convexity）。債券凸度的計(jì)算這是因?yàn)閭?A比債券 B具有更大的凸度。債券 A和債券 B在初始處有相同的久期，但它們只是對較小的收益變化的敏感程度相同。 從圖 43還可以看到，久期近似值總是在債券實(shí)際價(jià)格的下方。這說明，對于債券收益的微小變化，久期可以給出利率敏感性的精確測度。圖 43表明了這一點(diǎn)。而根據(jù)式（ 21）可以計(jì)算出此時(shí)的價(jià)格為。所以，當(dāng)收益上升1個(gè)基點(diǎn)時(shí)，債券價(jià)格將下跌 ＝，即 ％。因此，當(dāng)債券收益變化時(shí)，可以這條直線對新產(chǎn)生的價(jià)格進(jìn)行估計(jì)。 久期法則 8：由于息票債券以面值出售，法則 7可簡化為 這里 ， T為支付次數(shù)， y是每個(gè)支付期的年金收益率。 久期法則 4：在其他因素都不變，債券的到期收益率較低時(shí)，息票債券的久期較長。 久期法則 2：到期日相同時(shí)，債券的久期隨著息票利率的降低而延長。圖 42表明了這些法則。如果有期限為 零息票債券，兩者的利率敏感性是否相同？ 什么決定久期 影響利率敏感性的因素包括到期期限、息票利率和到期收益率。因此，修正久期可以用來測度債券在利率變化時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)暴露程度。通常定義 D*=D/(1+y)為 “修正久期 ”。（ 43’）這表明，債券價(jià)格的利率敏感性與久期成比例。F思考：結(jié)合上例，如何來理解久期與到期期限的區(qū)別？ 表 42 兩種債券的久期計(jì)算名稱 (1)至支付的時(shí)間 /年(2)支付 /美元(3)半年 5%折現(xiàn)支付 /美元(4)權(quán)重(5)(1)(4)債券 A8％ 債券 40 40 40 1040 總計(jì) 債券 B零息票債券 ～ 0 0 0 0 1000 2總計(jì) 2 利用久期測度利率敏感性 將式（ 41）看作 P與 1+y之間的函數(shù)，可以有表 42給出了這兩種債券久期的計(jì)算。 則債券的價(jià)格為一張 T年期債券， t時(shí)刻的現(xiàn)金支付為 Ct同時(shí)，第 1條和第 2條法則也能夠由表中的數(shù)據(jù)得到體現(xiàn)。 影響利率敏感性的因素 上述 6條法則中的后面 4條指出了影響利率敏感性的三個(gè)主要因素，即到期期限、息票利率和到期收益率。 6）當(dāng)債券的初始到期收益率較低時(shí)，價(jià)格的利率敏感性較高。 5）債券的息票利率越高 /低，由收益變動(dòng)引起的價(jià)格變動(dòng)的百分比越小 /大。 3）長期債券比短期債券具有更強(qiáng)的利率敏感性，即對于等規(guī)模的收益變動(dòng)，長期債券價(jià)格的變動(dòng)幅度大于短期債券。 第 4章 久期與凸度n 債券價(jià)格的利率敏感性n 債券的久期n 債券的凸度 n 債券價(jià)格的利率敏感性 思考：如何從經(jīng)濟(jì)學(xué)意義上解釋債券價(jià)格與收益之間存在反向變動(dòng)關(guān)系？ 債券定價(jià)法則 關(guān)于債券價(jià)格的利率敏感性，以下 6條法則已經(jīng)得到證明： 1）債券價(jià)格與收益呈反向變動(dòng)關(guān)系：當(dāng)收益上升時(shí)，債券價(jià)格下降；當(dāng)收益下降時(shí)，債券價(jià)格上升。c） 如果預(yù)期理論成立，該有息債券的第 1年末的預(yù)期價(jià)格和預(yù)期持有期收益率各是多少？a） 兩年期零息債券的到期收益率是多少？兩年期有息債券呢？你正考慮購買兩年期每年付息的債券，面值 100元，息票利率 12%。息票利率為 12%（每年付息）的兩年期債券的到期收益率為%。 4年期零息債券 3年期零息債券 年到期收益率(%)a） 如果投資者認(rèn)為明年的期限結(jié)構(gòu)與現(xiàn)在一樣， 1年期零息債券與 4年期零息債券哪個(gè)預(yù)期 1年期收益率會(huì)更高？ 該客戶已指定了要投資 AAA級證券。 美國藍(lán)寶石信托公司的資產(chǎn)組合經(jīng)理正在構(gòu)建一固定收益型資產(chǎn)組合以滿足一客戶的目標(biāo)需要。d） 如果你認(rèn)為流動(dòng)性偏好理論是正確的，且流動(dòng)性溢價(jià)為 1%，重新計(jì)算（ c）。b） 該債券的到期收益率是多少？財(cái)政部計(jì)劃發(fā)行兩年期債券，息票利率為9%，每年付息。 c） 如果你現(xiàn)在購買了兩年期零息債券，明年預(yù)期總回報(bào)率是多少？如果你購買的是三年期的零息債券呢（提示：計(jì)算即期價(jià)格和預(yù)期未來價(jià)格）？不考慮稅收。b） 假定期限結(jié)構(gòu)的純預(yù)期理論是正確的。 利用表中信息，推薦購買債券A還是債券 B。根據(jù)期限結(jié)構(gòu)的純預(yù)期理論，簡述兩個(gè)可以說明隱含的遠(yuǎn)期利率這一下降趨勢的原因。56 32 4 1到期收益率（％）到期收益率（％）期限 /年 期限 /年 a） 根據(jù)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算 2023年 1月 5日的隱含的遠(yuǎn)期利率。計(jì)算每種債券的到期收益率并由此推導(dǎo)其遠(yuǎn)期利率。對，錯(cuò)，還是不確定？為什么？d） 市場分割理論認(rèn)為借貸雙方各自偏好收益率曲線的特定部分。a） 預(yù)期理論表明如果預(yù)期未來短期利率高于即期短期利率，則收益率曲線會(huì)漸趨平緩。 最后指出，由于通常認(rèn)為流動(dòng)性溢價(jià)為正（思考：在什么情況下流動(dòng)性溢價(jià)可能為負(fù)？），因此，一條反向的收益率曲線表明市場預(yù)期未來利率將下降。 為了得出未來預(yù)期利率，一個(gè)粗略的方法是對流動(dòng)性溢價(jià)進(jìn)行估計(jì)（一般的方法是將遠(yuǎn)期利率與最終實(shí)現(xiàn)的未來短期利率相比較，并計(jì)算兩者的平均差），并假定其固定不變，從遠(yuǎn)期利率中減去這一溢價(jià)估值就可得到未來預(yù)期利率。一是市場預(yù)期未來利率將上升，二是市場對持有長期債券所要求的流動(dòng)性溢價(jià)上升。fn=E(rn)+流動(dòng)性溢價(jià)fn+1＞ yn 但是，更高的遠(yuǎn)期利率卻并不一定表明市場預(yù)期未來利率將上升，因?yàn)椋鶕?jù)我們前面的分析，有式（ 32）表明，到期收益率實(shí)際上是每一期利率的幾何平均值，因此如果收益率曲線是上升的，則一定有因此，不同到期日債券的收益率與遠(yuǎn)期利率之間存在直接的關(guān)系。(32)根據(jù)這個(gè)觀點(diǎn)，利率的期限結(jié)構(gòu)是由不同期限市場的均衡利率決定的。 　市場分割理論 市場分割理論認(rèn)為，長、短期債券基本上是在分割的市場上，各自有獨(dú)立的均衡狀態(tài)?！　　　　 思考：根據(jù)流動(dòng)性偏好理論，在下面 4種情況下，分別會(huì)有什么樣的收益率曲線？　　　 a、 市場預(yù)期未來利率不變，并且對不同期限的債券有相同的流動(dòng)性溢價(jià)；　　　 b、 市場預(yù)期未來利率下降，流動(dòng)性溢價(jià)隨債券期限的增加而增加； 之所以如此，是因?yàn)槭袌鐾ǔＳ啥唐谕顿Y者控制，對于這類投資者而言，除非 fn＞ E(rn)，即遠(yuǎn)期利率相對于他們所預(yù)期的未來短期利率有一個(gè)溢價(jià)，否則他們不愿意持有長期債券。2）結(jié)合實(shí)際情況，預(yù)期理論有什么缺陷？　 流動(dòng)性偏好理論　　　 該理論認(rèn)為，遠(yuǎn)期利率等于市場整體對未來短期利率的預(yù)期加上一個(gè)流動(dòng)性溢價(jià)（ liquidityE(r3)，所以有E(r3)＞ E(r2)＞ r1　　　這就是說，根據(jù)預(yù)期理論，一條正向的收益率曲線反映出市場預(yù)期未來利率將會(huì)上升。同樣的方法，可以得到 f2＞ r1　　　展開并忽略高階項(xiàng)，可得f2≈2y2r1因此，按照這一理論，上例中 3年期債券和 2年期債券的到期收益率分別為 10％和 9％（對應(yīng)著 3年遠(yuǎn)期利率 12％）就意味著市場預(yù)期第 3年的短期利率 r3為 12％，即 f3=r3。 n 期限結(jié)構(gòu)理論 根據(jù)式（ 31），如果當(dāng)前的 3年期和 2年期零息票債券的到期收益率分別為 y3=10%和y2=9%，則意味著市場在當(dāng)前將第 3年的短期利率確定為遠(yuǎn)期利率 f3注意到以上的收益率都是以半年率表示的，轉(zhuǎn)換為年率應(yīng)乘以 2。y2=%由此可以得到各期 “零息票債券 ”的到期收益率 …… 例、假定國債市場上有如下 6種息票債券，半年付息，面值都是 100元。通過決定這些 “零息票債券 ”各自的價(jià)格（單位現(xiàn)金流的現(xiàn)值），得到每期的短期利率或遠(yuǎn)期利率，再根據(jù)式（ 31）即可得出 “零息票債券 ”的到期收益率，從而得到純收益率曲線。 思考：假定市場上所有債券都具有相同的息票利率，收益率曲線是否具有單值性？ 得到曲線的方法是把每一個(gè)息票支付看作一個(gè)獨(dú)立的 “微小 ”的零息票債券，這樣息票債券就變成許多零息票債券的組合。零息票債券收益率曲線有時(shí)也稱為純收益率曲線。但在實(shí)際當(dāng)中，大多數(shù)債券并不是零息票債券，而是附息票債券，這樣，如果息票利率不同，到期日相同的債券也可能會(huì)有不同的到期收益率（思考：為什么？）。收益率曲線通常有四種基本形狀，如圖 32所示。如何畫出這一時(shí)刻的收益率曲線？在某一時(shí)刻，這三種國債的市場價(jià)格如下表所示。 收益率曲線是一種時(shí)點(diǎn)圖。curve）。例如，如果當(dāng)前的 3年期和 2年期零息票債券的到期收益率分別為 y3=10%和 y2=9%，則意味著市場在當(dāng)前將第 3年的短期利率確定為遠(yuǎn)期利率 f3：　 期限結(jié)構(gòu)和收益率曲線的含義 對于信用品質(zhì)相同的債券，到期收益率隨到期日的不同而不同，兩者之間的關(guān)系稱為利率的期限結(jié)構(gòu)。(31)=(1+y2)2(1+f3)(1+y3)3=應(yīng)該有（思考：為什么？）r f f3和 f4為第 1年、第 2年、第 3年和第 4年的短期利率，其中， f f3和 f4為遠(yuǎn)期利率。rate） 是由當(dāng)前即期利率隱含的將來某一期限的收益率。遠(yuǎn)期利率（ forward這里所考慮的投資是中間沒有支付的，所以 n年即期利率實(shí)際上就是指 n年期零息票收益率（ zerocouponinterestd.息票利率b.承諾的收益率d.可轉(zhuǎn)債通常是由發(fā)行公司的特定資產(chǎn)提供擔(dān)保b.收益率通常比標(biāo)的普通股高等于面值c.更低a.6） 考慮一個(gè) 5年期債券，息票利率為 10％，當(dāng)前的到期收益率為 8％，如果利率保持不變，一年以后這種債券的價(jià)格會(huì)：% c.%a.5）某種債券到期收益率以 APR表示是 12％，但每季度等額付息一次，則其實(shí)際年到期收益率為：以任何所得的利息支付都是以息票