廣西南寧市20xx屆高三數(shù)學(xué)一模試卷理科word版含解析(參考版)
2024-11-19 01:21本頁面
【正文】 ， ∴ 原點 O 到直線 l 的距離 d= ， ② 當(dāng)直線 AB 的斜率存在時，設(shè)直線 AB 的方程為 y=kx+n， 則 ，消去 y 整理得：（ 1+2k2） x2+4knx+2n2﹣ 8=0， x1+x2=﹣ ， x1x2= ， 則 y1y2=（ kx1+n）（ kx2+n） =k2x1x2+kn（ x1+x2） +n2= ， 由 ⊥ ， ∴ x1x2+y1y2=0，故 + =0， 整理得： 3n2﹣ 8k2﹣ 8=0，即 3n2=8k2+8， ① 則原點 O 到直線 l 的距離 d= ， ∴ d2=（ ） 2= = ， ② 將 ① 代入 ② ，則 d2= = ， ∴ d= ， 綜上可知：點 O 到直線 l 的距離為定值 ． 21．已知函數(shù) f（ x） =x﹣ alnx，（ a∈ R）． （ 1）討論函數(shù) f（ x）在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)； （ 2）設(shè) g（ x） =﹣ ，若不等式 f（ x） ＞ g（ x）對任意 x∈ [1， e]恒成立，求a 的取值范圍． 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函 數(shù)的極值． 【分析】 （ 1）先求導(dǎo)，再分類討論，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值點的個數(shù)； （ 2）由題意，只要求出函數(shù) f（ x） min＞ 0 即可，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系，進(jìn)行分類討論，即可得到 a 的范圍． 【解答】 解：（ 1） f（ x） =x﹣ alnx，（ x＞ 0）， f′（ x） =1﹣ = ， ① a≤ 0 時， f′（ x） ＞ 0， f（ x）遞增， f（ x）無極值； ② a＞ 0 時，令 f′（ x） ＞ 0，解得： x＞ a，令 f′（ x） ＜ 0，解得： 0＜ x＜ a， ∴ f（ x）在（ 0， a）遞減，在（ a， +∞ ）遞增， f（ x）有 1 個極小值點； （ 2）若不等式 f（ x） ＞ g（ x）對任意 x∈ [1， e]恒成立， 令 h（ x） =f（ x）﹣ g（ x），即 h（ x） 最小值 ＞ 0 在 [1， e]恒成立， 則 h（ x） =x﹣ alnx+ （ a∈ R）， ∴ h′（ x） =1﹣ ﹣ = ， ① 當(dāng) 1+a≤ 0，即 a≤ ﹣ 1 時，在 [1， e]上為增函數(shù)， f（ x） min=f（ 1） =1+1+a＞ 0， 解得： a＞ ﹣ 2，即﹣ 2＜ a≤ ﹣ 1， 當(dāng) a＞ ﹣ 1 時 ① 當(dāng) 1+a≥ e 時，即 a≥ e﹣ 1 時， f（ x）在 [1， e]上單調(diào)遞減， ∴ f（ x） min=f（ e） =e+ ﹣ a＞ 0，解得 a＜ ， ∵ ＞ e﹣ 1， ∴ e﹣ 1≤ a＜ ； ② 當(dāng) 0＜ 1+a≤ 1，即﹣ 1＜ a≤ 0， f（ x）在 [1， e]上單調(diào)遞增， ∴ f（ x） min=f（ 1） =1+1+a＞ 0， 解得 a＞ ﹣ 2，故﹣ 2＜ a＜ ﹣ 1； ③ 當(dāng) 1＜ 1+a＜ e，即 0＜ a＜ e﹣ 1 時， f（ x） min=f（ 1+a）， ∵ 0＜ ln（ 1+a） ＜ 1， ∴ 0＜ aln（ 1+a） ＜ a， ∴ f（ 1+a） =a+2﹣ aln（ 1+a） ＞ 2，此時 f（ 1+a） ＞ 0 成立， 綜上，﹣ 2＜ a＜ 時，不等式 f（ x） ＞ g（ x）對任意 x∈ [1， e]恒成立． 請考生在第 2 23 題中任選一題作答，如果多做，按所做的第一題計分 .[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 ] 22．已知曲線 C 的極坐標(biāo)方程為 ρ=4cosθ，以極點為原點，極軸為 x 軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)直線 l 的參數(shù)方程為 （ t 為參數(shù)）． （ 1）求曲線 C 的直角坐標(biāo)方程與直線 l 的普通方程； （ 2）設(shè)曲線 C 與直線 l 相交于 P， Q 兩點，以 PQ 為一條邊作曲線 C 的內(nèi)接矩形，求該矩形的面積． 【考點】 參數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標(biāo)方程． 【分析】 （ 1）對于曲線 C：由 ρ=4cosθ 可得 ρ2=4ρcosθ，坐標(biāo)化即可，對于 l，消去 t 整理可得；（ 2）由（ 1）可知圓和半徑，可得弦心距，進(jìn)而可得弦 長，可得面積． 【解答】 解：（ 1）對于曲線 C：由 ρ=4cosθ，得 ρ2=4ρcosθ， ∴ x2+y2=4x． 對于 l：由 （ t 為參數(shù)），消去 t 可得 ， 化為一般式可得 ； （ 2）由（ 1）可知 C 為圓，且圓心為（ 2， 0），半徑為 2， ∴ 弦心距 ， ∴ 弦長 ， ∴ 以 PQ 為邊的圓 C 的內(nèi)接矩形面積 [選修 45：不等式選講 ] 23．設(shè)實數(shù) x， y 滿足 x+ =1． （ 1）若 |7﹣ y|＜ 2x+3，求 x 的取值范圍； （ 2）若 x＞ 0， y＞ 0，求證： ≥ xy． 【考點】 不等式的證明；絕對值不等式的解法． 【分析】 （ 1）根據(jù)題 意，由 x+ =1，則 y=4﹣ 4x，則 |7﹣ y|＜ 2x+3，可得 |4x+3|＜ 2x+3，解可得 x 的范圍，即可得答案； （ 2）根據(jù)題意，由基本不等式可得 1=x+ ≥ 2 = ，即 ≤ 1，用作差法分析可得 ﹣ xy= （ 1﹣ ），結(jié)合 的范圍，可得 ﹣ xy≥ 0，即可得證明． 【解答】 解：（ 1）根據(jù)題意，若 x+ =1，則 4x+y=4，即 y=4﹣ 4x， 則由 |7﹣ y|＜ 2x+3，可得 |4x+3|＜ 2x+3， 即﹣（ 2x+3） ＜ 4x+3＜ 2x+3， 解可得﹣ 1＜ x＜ 0； （ 2）證明： x＞ 0， y＞ 0， 1=x+ ≥ 2 = ，即 ≤ 1， ﹣ xy= （ 1﹣ ）， 又由 0＜ ≤ 1，則 ﹣ xy= （ 1﹣ ） ≥ 0， 即 ≥ xy． 2017 年 3 月 30 日 。BD=2CE． （ 1）若 F 是 AD 的中點，求證： EF∥ 平面 ABC； （ 2）若 AD=DE，求 BE 與平面 ACE 所成角的正弦值． 【考點】 直線與平面所成的角；直線與平面平行的判定． 【分析】 （ 1）取 DB 中點 G，連結(jié) EG、 FG．證面 EGF∥ 平面 ABC，即可得 EF∥ 平面 ABC． （ 2）以點 D 為原點，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系 D﹣ xyz，則 A（ 0， 0， ）， E（ 0， ， 0）， B（ 2， 0， 0）， C（ ， ，
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