【正文】 有了換向器之后，通電線圈便可連續(xù) 不停地朝一個(gè)方向旋轉(zhuǎn)。由于當(dāng)線圈轉(zhuǎn) 到其右旋法線與磁場(chǎng)方向一致的時(shí)候 不再受到力矩，這時(shí)若要使它繼續(xù)受 到力矩，必須將其中電流的方向反過 來，為此在線圈的兩端上接有換向器。 直流電動(dòng)機(jī)是根據(jù)上述通電線圈在磁場(chǎng)中受到力矩作用的原理制成的 。在第六章中我們還將對(duì)這種相似作進(jìn)一步的討論。 的大小只與 和 的乘積有關(guān)， 是描述電偶極子本身性質(zhì)的特征 量； 的大小則只與 和 的乘積有關(guān)，是描述載流線圈本身性質(zhì)的特征量。第一章 的公式： 把 換為 ， 換為 ,正好就 是式 ()。對(duì)比一下圖 441a和 b便可看出，線圈的磁矩 與電偶極子的偶極矩 在同樣取向下受到力 ()L IS n B??ISnm m ISn?L m B??m nBmm BB2??? L mB?0??? 或 0?? ???m ISn? p ql? 載流線圈的磁矩 矩的情形相同。 從上面描述的載流線圈在磁場(chǎng)中所受力矩的特點(diǎn)很容易看出，它和一個(gè)電偶極子是 很相似的。當(dāng) 與 的夾角 時(shí) ,力矩的數(shù)值最大 (即力矩 )； 當(dāng) 時(shí)，力矩都為 0。不難 證明這力矩仍是式 ()，即 。 同學(xué)們可以證明，對(duì)于線圈平面與磁場(chǎng)垂直的情況，整個(gè)線圈所受合力和合力矩都 為 0。由 圖 440看出 所以 兩者數(shù)值相等但方向相反，因此它們的合力為 0，但有一力矩 其中 ， 各為 與 到轉(zhuǎn)軸 的距離，而 是圖中陰影部分的面積。 oo?n B( 2)sina ? LS ab?s i n s i n s i n22B C D AaaL F F I a b B? ? ?? ? ? ? ?s inL ISB ??L()L IS n B?? 載流線圈的磁矩 式 ()或 ()雖是從矩形線圈的特例推導(dǎo)出來的 ， 其實(shí)它適用于任意形狀的平 面線圈。若磁場(chǎng)不均勻，則 除了力矩之外，載流線圈還會(huì)受到一個(gè)不為 0的合力。力偶矩兩力的力臂都 是 ，力矩的方向是一致的，因而力偶矩 的大小為 即 () 式中 代表矩形線圈的面積。如果線圈是剛性的話， 這一對(duì)力不產(chǎn)生任何效果。設(shè)線圈 ABCD的右旋法線矢量 與磁感應(yīng)強(qiáng)度 的夾角為 ，圖 439為它的投影圖。 首先我們考慮矩形線圈的情形。 矢量 的指向規(guī)定如下：如圖 ()所示 ,將右手四指彎屈 ,用以 代表線圈中電流的回繞方向，伸直的姆指即代表線圈平面的法線 矢量 的取向。 ”這正是國際計(jì)量委員會(huì)頒 發(fā)的正式文件中的定義，它與我們?cè)?。 a 1I 2I2dl2dl011 2 IB a???0 1 21 2 2 2 1 22 IId F I d l B d la? ???0 1 22 1 12 IIdF dla? ??0 0 1 21 2 2 1 1 221242IId F d F I Ifd l d l a a????? ? ? ? 平行無限長直導(dǎo)線的相互作用 如果兩導(dǎo)線中的電流相等： ，則 或 取 米， 牛頓 /米，則 安培。根據(jù)式 ()，導(dǎo)線２的一段 受到的力 的大小為 反過來，導(dǎo)線２產(chǎn)生的磁場(chǎng)作用在導(dǎo)線１一段 上力的大小為 因此，在單位長度上作用力的大小是 () 請(qǐng)同學(xué)們驗(yàn)證一下，當(dāng)兩導(dǎo)線中的電流沿同方向時(shí)，則其間磁相互作用是吸引力，電流 沿反方向時(shí)，是排斥力 (參看 167。下面介紹一些比較重要的例子。 這個(gè)力有時(shí)叫做安培力 ,式 ()有人叫它安培公式。 2里詳細(xì)討論過了。 0B? ()?0B nI??Ln作業(yè)： p385 7 安培力 在 167。 細(xì)螺繞環(huán)與無限長的螺線管一樣，它產(chǎn)生一個(gè) 的磁場(chǎng)，并把磁場(chǎng)全部限制在自己的內(nèi)部。 根據(jù)對(duì)稱性可以看出，在忽略了密繞環(huán)的螺距后，外部 rR? P II??I B r02 IB r??? ()?rR?BR IN? ? 02L B d l R B NI??? ? ??LR L N00()2NB I n IR?????2Nn R?? 安培環(huán)路定理應(yīng)用舉例 空間如果存在磁場(chǎng)的話，其方向必沿與螺繞環(huán)共軸的圓周的切線方向。 【 解 】 根據(jù)對(duì)稱性可知，在與環(huán)共軸的圓周上磁感應(yīng)強(qiáng) 度的大小相等，方向沿圓周切線方向。設(shè)螺繞環(huán)很細(xì)，環(huán)的平均半 徑為 ，總匝數(shù)為 ，通過的電流強(qiáng)度為 ?？梢钥闯觯趯?dǎo)線表面的地方數(shù)值最大。 dB dB?? LP B L? ? ? ? ? ?0( c o s 0 ) 2L L LB d l B d l B d l rB?? ? ? ?? ? ?? ? 02LB dl rB I?? ?? ? ??I? LPrR?LL2r? 2 2 2I j r Ir R?? ??2j I R??0 22 rIB R??? rR?B r 安培環(huán)路定理應(yīng)用舉例 當(dāng) (即 點(diǎn)在導(dǎo)線外部 )時(shí) , ,于是 ( ) 上式表明，從導(dǎo)線外部看來，磁場(chǎng)分布與全部電流 集中在軸線上無異， 與 成反比。 當(dāng) (即 點(diǎn)在導(dǎo)線內(nèi)部 )時(shí) ,導(dǎo)線中電流只有一部分 通過環(huán)路 ,因?yàn)閷?dǎo)線中的電流密度為 ,環(huán)路 包圍 的面積為 ,所以通過 的電流 。由于整個(gè)導(dǎo)線的截面可以這樣 成對(duì)地分割為許多對(duì)對(duì)稱的面元，因此可以斷言，通過整個(gè) 橫截面的總電流在 點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度 沿著 的切線方 向。設(shè) 和 分別是 和 為截面的無 限長電流在 點(diǎn)產(chǎn)生的元磁場(chǎng)。以 為中心、 為半 徑作一圓形安培環(huán)路 ，在 上 的大小處處相同。 【 解 】 根據(jù)軸對(duì)稱性，磁感應(yīng)強(qiáng)度 的大小只與場(chǎng)點(diǎn)到軸線的垂直距離 有關(guān)。 正如高斯定理可以幫助我們計(jì)算某些具有一定對(duì)稱性的帶電體的電場(chǎng)分布一樣，安 培環(huán)路定理也可以幫助我們計(jì)算某些具有一定對(duì)稱性的載流導(dǎo)線的磁場(chǎng)分布，下面我們 就舉幾個(gè)這方面的例子。 Bdl?LPB dl?? ? ??L?L 0???? ?0LB dl???4????L L? PS? 1P S?1 2?? ?? P L S?2P S?2 2??? 21 4??? ? ? ? ? ? 2P1PL L?B0B dl I???? 安培環(huán)路定理應(yīng)用舉例 最后我們?cè)購?qiáng)調(diào)一下安培環(huán)路定理表達(dá)式中各物理量的含義。于是在此 、 相互套連的情況下 至此我們對(duì)一個(gè)載流回路證明了安培環(huán)路定理。從而 。這是因?yàn)楫?dāng) 點(diǎn)無 限靠近 的 “ 正面 ” 時(shí) (見圖 432中的位置 ), 對(duì)它所張 的立體角 。式 ()表明 , 正比于立體角的這個(gè)差值。如前所述 ,這與載流回路不動(dòng) , 場(chǎng)點(diǎn)沿 平移是等價(jià)的。 )綜上所述 ,我們有 () 或因 故 由于 是任意的 ,從而 () 即磁場(chǎng)正比于載流線圈對(duì)場(chǎng)點(diǎn)所張立體角 的梯度。因 、 和帶狀面組成閉合曲面，它對(duì)于外邊的 點(diǎn)所張 的總立體角 。當(dāng) 平移時(shí)， 隨之 改變。 是 在垂直于矢徑方向的投影面積，從而 代 表 對(duì)場(chǎng)點(diǎn) 所張的立體角 ，沿 的積分則代表整 個(gè)載流回路作位移 時(shí)掃過的帶狀面對(duì) 點(diǎn)所張的立 體角 。如圖 331，場(chǎng)點(diǎn) 沿 的移動(dòng)與場(chǎng)源 (載流回路 )沿 的移動(dòng)等價(jià)。推廣到 含多個(gè)載流回路的情形，只需運(yùn)用疊加原理。今后為了敘述方便 ,我們把式 () B dl 0, cos 1???? 0B dl B dl? ? ? ?0B dl???? ? ? ?0 LLB d l I??? ??內(nèi)0?L0I? 0I? ILL122I I I??? 安培環(huán)路定理的表述和證明 中的閉合積分回路 稱為 “ 安培環(huán)路 ” 。今后為了敘述方便，我們把式 () 中的閉合積分回路 稱為 “ 安培環(huán)路 ” 。如果電流 不穿過 回路 ,則它對(duì)上式右端無貢獻(xiàn)。 安培環(huán)路定理 表述如下： 磁感應(yīng)強(qiáng)度沿任何閉合環(huán)路 的線積分 ,等于穿過這環(huán)路所 有電流強(qiáng)度的代數(shù)和的 倍 。 安培環(huán)路定理的表述和證明 磁感應(yīng)線是套連在閉合載流回路上的閉合線。磁場(chǎng) 中矢量勢(shì)的概念與靜電場(chǎng)中電位 (或電勢(shì) )的概念是相當(dāng)?shù)?,不過矢量勢(shì)是矢量 ,電位是標(biāo) 量。反之，當(dāng)我們看到沿某一直線上磁感應(yīng)強(qiáng)度數(shù)值不變時(shí)，就可以 斷定在該直線附近的磁感應(yīng)管的截面必定均勻，從而可知，在此直線附近的磁力線也是 平行于軸的直線。由此可見， 當(dāng)磁感應(yīng)管的截面不均勻時(shí)，我們就可以斷定 ,磁感應(yīng)管膨大的地方，必定磁場(chǎng)較弱；磁 感應(yīng)管收縮的地方必定磁場(chǎng)較強(qiáng)。 S 2dS Idl? dl r 1? 2? 1dS 2dS S1 2???12*001 1 122*002 2 222s in s inc o s44s in s inc o s44BBI d l I d ld d S d SrrI d l I d ld d S d Srr??????????????? ? ? ? ????? ? ? ???1cos 0? ? 2 2??? 2cos 0? ? *1 1 1c o sdS dS ??*2 2 2c o sdS dS ??**12dS dS?12BBdd? ? ? ? 12 0BBdd? ? ? ?S 1dS 2dSB dBdS B? Bd? 磁場(chǎng)的 “ 高斯定理 ” 任意載流回路產(chǎn)生的磁感應(yīng)管 ,一般來說截面是不均勻的。 根據(jù)磁場(chǎng)的疊加原理，任意載流回路產(chǎn)生的總磁場(chǎng) 是各電流元產(chǎn)生的元磁場(chǎng) 的 矢量和 ,從而通過某一面元 的總磁通 將是各式各樣電流元產(chǎn)生元磁通 的代數(shù)和。 顯然 ,對(duì)應(yīng)于 上每個(gè)磁感應(yīng)線穿入的面元 ,都有一個(gè)相應(yīng)的面元 ,磁感應(yīng)線從 該處穿出 ,兩處磁通量的代數(shù)和為 0。此外 , ,它們是 2兩處磁感應(yīng)管正截面的面積。在穿入處取一 面元 ，通過其邊緣各點(diǎn)的磁感應(yīng)線圍成一環(huán)狀磁感 Idl dlSS1dS0 2s in4 Id ldB r? ???SS 磁場(chǎng)的 “ 高斯定理 ” 應(yīng)管，此管在 面上的另一處截出另一面元 ，管內(nèi)磁感應(yīng)線由此穿出 ,電流元 產(chǎn) 生的磁場(chǎng)通過兩面元的磁感應(yīng)通量分別為 式中 是 與矢徑 間的夾角 , 、 分別是 和 (即曲面 的外法線 )與 磁感應(yīng)線 切線間的夾角。顯然，每根 圓形的閉合磁感應(yīng)線或者不與 相交，或者穿過兩次 , 一次穿入 ,一次穿出。為此 ,我們先證明 , 式 ()對(duì)單個(gè)電流元成立。我們姑且把這個(gè)結(jié)論叫做磁場(chǎng)的“高斯定理”。 現(xiàn)在我們來看磁感應(yīng)通量所服從的物理規(guī)律。這樣 , 磁感應(yīng)強(qiáng)度 就是通過單位垂直截面積的磁感應(yīng)線數(shù)目，即磁感應(yīng)線的數(shù)密度。所以在 MKSA單位制中，磁感