4角動量守恒定律與剛體轉(zhuǎn)動(參考版)
2024-08-27 01:03本頁面
【正文】 直棒起擺角速度 勻質(zhì)直棒與單擺小球的質(zhì)量相等 兩者共面共轉(zhuǎn)軸 水平靜止釋放 靜懸 彈碰 忽略摩擦 聯(lián)立解得 對擺球、直棒系統(tǒng) 小球下擺階段 從水平擺到彈碰即將開始， 由動能定理得 其中 球、棒相碰 瞬間 在鉛垂位臵，系統(tǒng)受合外 力矩為零 ，角動量守恒。 初態(tài)角動量 末態(tài)角動量 得 兩輪嚙合后 一起作慣性轉(zhuǎn)動的角速度 wAB 守恒例題二 以彈、棒為系統(tǒng) 擊入階段 子彈擊入木棒瞬間 ， 系統(tǒng)在 鉛直位臵，受合 外力矩為零 ，角動量守恒。 收臂 大 小 用外力矩啟動轉(zhuǎn)盤后撤除外力矩 張臂 大 小 花樣滑冰中常見的例子 角動量守恒的另一類現(xiàn)象 變小則 變大， 乘積 保持不變 ， 變大則 變小。 回轉(zhuǎn)儀定向原理 萬向支架 受合外力矩為零 回轉(zhuǎn)體質(zhì)量呈軸對稱分布； 軸摩擦及空氣阻力很小。 勻直細(xì)桿一端為軸水平靜止釋放 轉(zhuǎn)動定律例題二 T1 T2 a （以后各例同） R m 1 m 2 m 輪軸無摩擦輕繩不伸長輪繩不打滑 T2 T1 G1 G2 T2 T1 a a b T1 – m1 g = m1a m2 g – T2 = m2a ( T2 – T1 ) R = Ib a = Rb I = m R 2 2 轉(zhuǎn)動 平動 線 角 聯(lián)立解得 a = m1 m1+ m2+ g m2 m 2 1 g T1 = m1 ( g + a ) T2 = m2 ( g – a ) m1 g m2 g 如果考慮有轉(zhuǎn)動摩擦力矩 Mr ,則 轉(zhuǎn)動式為 ( T2 – T1 ) R – Mr= Ib 再聯(lián)立求解。 在定軸轉(zhuǎn)動中，可先設(shè)一個正軸向（或繞向），若分力矩與此向相同則為正，反之為復(fù)。 轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算 M b = I 將剛體轉(zhuǎn)動定律 與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動定律 F = a m 對比 轉(zhuǎn)動慣量 是剛體轉(zhuǎn)動慣性的量度 I I ∑ 與剛體的質(zhì)量、形狀、大小及質(zhì)量對轉(zhuǎn)軸的分布情況有關(guān) 質(zhì)量連續(xù)分布的剛體用積分求 I 為體積元 處的密度 I I 的單位為 分立質(zhì)點(diǎn)的算例 可視為分立質(zhì)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的剛體 轉(zhuǎn)軸 若連接兩小球（視為質(zhì)點(diǎn)）的輕細(xì)硬桿的質(zhì)量可以忽略，則 ∑ 轉(zhuǎn)軸 ∑ 直棒算例 質(zhì)量連續(xù)分布的剛體 勻直細(xì)桿對中垂軸的 勻直細(xì)桿對端垂軸的 質(zhì)心 新軸 質(zhì)心軸 平行移軸定理 對 新軸 的轉(zhuǎn)動慣量 對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量 新軸 對心軸的平移量 例如： 時(shí) 代入可得 端 圓盤算例 勻質(zhì)薄圓盤對心垂軸的 取半徑為 微寬為 的窄環(huán)帶的質(zhì)量為質(zhì)元 球體算例 勻質(zhì)實(shí)心球?qū)π妮S的 可看成是許多半徑不同的共軸薄圓盤的轉(zhuǎn)動慣量 的迭加 距 為 、半徑為 、微厚為 的薄圓盤的轉(zhuǎn)動慣量為 其中 常用結(jié)果 L R m m 勻質(zhì)薄圓盤 勻質(zhì)細(xì)直棒 轉(zhuǎn)軸通過中心垂直盤面 2 2 I = m R 1 2 3 I = m L 1 轉(zhuǎn)軸通過端點(diǎn)與棒垂直 其它典型 勻質(zhì)矩形薄板 轉(zhuǎn)軸通過中心垂直板面 I = (a + b ) 2 2 m 12 勻質(zhì)細(xì)圓環(huán) 轉(zhuǎn)軸通過中心垂直環(huán)面 I = m R 2 勻質(zhì)細(xì)圓環(huán) 轉(zhuǎn)軸沿著環(huán)的直徑 2 I = 2 m R 勻質(zhì)厚圓筒 轉(zhuǎn)軸沿幾何軸 I = (R1 + R2 ) 2 2 m 2 勻質(zhì)圓柱體 轉(zhuǎn)軸通過中心垂直于幾何軸 m I = R + 2 2 m 12 4 L 勻質(zhì)薄球殼 轉(zhuǎn)軸通過球心 2 I = 2 m R 3 轉(zhuǎn)動定律例題一 合外力矩 應(yīng)由各分力矩進(jìn)行合成 。 t 其切向 投影式為 i j F i sin + i f sin q i t = a i = r i b t n F i O r i f i i j q i 瞬時(shí) 角速度 角加速度 瞬時(shí) 等式兩邊乘以 r i 并對所有質(zhì)元及其所受力矩求和 = 內(nèi)力矩成對抵消 = 0 + r i i f sin q i ∑ i F i j sin ∑ r i 合外力矩 M b r i ∑ 得 M b r i ∑ = 轉(zhuǎn)動慣量 某質(zhì)元 f i 受內(nèi)力 受外力 F i F i + f = a i i 其法向 n 分量均通過轉(zhuǎn)軸， 不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動力矩。 一般運(yùn)動 復(fù)雜的運(yùn)動與平動的混合。
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