3-5切比雪夫不等式與大數(shù)定律(參考版)
2025-08-10 11:07本頁(yè)面
【正文】 備選 1 已知 P(A)= 。 , ( )PX E X即 滿(mǎn) 足 什 么 條 件 時(shí) ???三、大數(shù)定律（難點(diǎn)） 大數(shù)定律的概念 11 { } ( 1 , 2, .. .) , { } .() , nninPiXX n XEXnXX?????? ?設(shè) 為 一 隨 機(jī) 變 量 序 列 為 序 列 算 術(shù) 平 均 值 ,如 果 則 稱(chēng) 服 從 大 數(shù) 定 律說(shuō)明： , 0 ,( ) lim { ( ) } . 1P nX E X P X E X ?? ????? ?? ?? ?(1) 即 對(duì)11110 , lim { ( ) } 1 .nniiniiP X E Xnn???? ??? ? ? ? ???或 表 為 : 對(duì)()( 3 ) .PX E X???在 什 么 條大 數(shù) 定 律 即 ,研 究 件 下（ 2）即大量隨機(jī)變量的算術(shù)平均數(shù)是一個(gè)穩(wěn)定值，非隨機(jī)量 說(shuō)明： 切比雪夫大數(shù)定律（弱大數(shù)定理 1） 12211( 9 3 )1li m { } 1 , , .. .,1( ( ,0, li m { } 1nnninniiiiiX X XE X D X X XPX P XnPn??? ? ? ? ?設(shè) 隨 機(jī) 變 量 相 互 獨(dú) 立 , 且 數(shù) 學(xué) 期 望 和 方 差 相 同 .即 ) = , ) = , 令 則 對(duì) 于任 意 或比 條 件 弱? ? ? ????? ? ? ? ? ? ???121111( 1 ) , , . . . , , ( ) .nnPPn i iiiX X X X E XnnX????? ??????的 算 術(shù) 平 均 值 即( 2 ) , () . PXX X E X??? ? 為 總 體 均 值 的 一 數(shù) 理 統(tǒng) 計(jì) 用 估, 計(jì)致 無(wú) 偏 估 計(jì)(證明見(jiàn)下頁(yè) ) 由切比雪夫不等式，可得： 11: (() )niiEXX nE?? ?證11 ()niiEXn?? ? 1 * nn ????1(( )) 1niiDXnDX?? ? 211( ) ( )niiDXn?? ?2221 * nnn????{ ( ) }1 P X E X ????11{}niiPXn ???? ? ??2()1 DX???221 n????1n??????11: lim { } lim { } 1ninniP X P Xn? ? ? ?即 得? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??1 { } ( 1 , 2, .. .) { } ,2{ 0} 1 ( 2, 3, .. .) , { } .? ? ? ?? ? ? ?例 3 相 互 獨(dú) 立 ,證 明 服 從 大 數(shù) 定 律nnnnX n P X nnP X n Xn2 1 1: ( ) 0 * ( 1 ) * ( ) * 0nE X n nn n n? ? ? ? ? ?證 明{ ( ) }1P X E X ?? ? ?即2( ) ( )nnD X E X? 2 2 1 10 * ( 1 ) * * 2nnn n n? ? ? ? ?{} nX 滿(mǎn) 足
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