離散數(shù)學(xué)第2章(參考版)
2025-08-08 10:08本頁面
【正文】 所以 a， b?A?(B?C)，所以 (A?B)?(A?C)?A?(B?C) 定理 如果所有 Ai(i=1,2,…, n)都是有限集合， 則 |A1 A2 … An|=|A1| 定理 ：對任意三個集合 A、 B、 C，有 (1)A?(B?C)=(A?B)?(A?C) (2)A?(B?C)=(A?B)?(A?C) (3)(A?B)?C=(A?C)?(B?C) (4)(A?B)?C=(A?C)?(B?C) 由以上兩條有： A?(B?C)?(A?B)?(A?C) 證明兩個集合相等，可以證明它們互相包含。 笛卡爾積運(yùn)算不滿足交換律，當(dāng) A??， B??， A?B時 A?B?B?A。 解： A?B={?， 1， ?， 2， ?， 3， ?， 1， ?， 2， ?， 3} B?A={1， ?， 1， ?， 2， ?， 2， ?， 3， ?， 3， ?} A?A={?， ?， ?， ?， ?， ?， ?， ?} B?B={1， 1， 1， 2， 1， 3， 2， 1， 2， 2， 2， 3， 3， 1， 3， 2， 3， 3} (A?B)?(B?A)=? 若 A、 B均是有限集， |A|=m， |B|=n，則 |A?B|=m?n。記作 A?B。 ? 序偶 x,y其元素可以分別屬于不同的集合，因此任給兩個集合 A和 B，我們可以定義一種序偶的集合。 x1， x2， …， xn1 ， xn，通常簡記為：x1， x2， …， xn1， xn，其中 xi稱作它的第 i坐標(biāo)， i=1， 2， …， n。 一、有序 n元組 有序３元組： 是一個序偶，其第一元素本身也是一個序偶，表示為 x， y， z或 x， y， z。 例 1， 3和 3， 1表示平面上兩個不同的點(diǎn)，這與集合不同， {1， 3}和 {3， 1}是兩個相等的集合。 一、有序 n元組 例：平面直角坐標(biāo)系中的一個點(diǎn)的坐標(biāo)就構(gòu)成為一個有序序偶，我們可用 x， y表示。 例： 設(shè) A={ 2}， B={1}， C={2} 例 3 已知 A∩B=A∩C，是否必須 B=C？ 解： 例： 設(shè) A={1}， B={ 2}， C={ 3} 否。 ∵ A?B =A?C， ∴ A?(A?B) =A?(A?C) (A?A)?B ∴ = (A?A) ?C ∴ ? ?B = ? ?C ∴ B= C。 ? 定理 (1) =A B， (2) A B=B A， (3) A A=U。 U － A x∈ ～ A ? x∈ A (Absolute Complement). 三、集合的補(bǔ) 性質(zhì) (Relative Complement) ~(~A) 1)雙重否定律 =A ~U 2) =? ~? 3) =U A∪ ~A 4)排中律 =U A∩～ A 5)矛盾律 =? 三、集合的補(bǔ) 性質(zhì) (Relative Complement) (1)~(A∪ B) 6)德摩根律 = ~A∩~B (2)~(A∩B) = ~A∪ ~B ~(A∪ B) ={x | x∈ U ∧ ﹁ (x∈ A∪ B )} ={x | x∈ U ﹁ (x∈ A ∧ ∨ ={x | x∈ U ﹁ (x∈ A) ∧ ∧ ﹁ ( x∈ B )} ={x | (x∈ U ﹁ (x∈ A)) ∧ ∧ ﹁ ( x∈ B ))} (x∈ U ∧ = ~A ~B ∩ x∈ B )} 證 : (1) ~ A ∩ ( ) ~ B ( ) 三、集合的補(bǔ) 定理 ： (Relative Complement) 2) 利用 (3)的結(jié)論。 ={x | x∈ A ∧ ﹁ ( x∈ B)} B A BA?三、集合的補(bǔ) 絕對補(bǔ)集 全集 U 和集合 A的差集 稱為 A的 絕對補(bǔ) 記為 U － A ～ A = 即 (Relative Complement) 或 A的余集 或 A的補(bǔ)集 。 三、集合的補(bǔ) 定義 文氏圖 任意兩個集合 A和 B， 由屬于 A 但不屬于 B 組成的集合， 稱為 B 對于 A的 補(bǔ)集 記為 A－ B。 1) A∪ (B∩C) ={ x | x∈ A ? x∈ C ={ x | ∨ ? x∈ A ∨ x∈ C =(A∪ B) (A∪ C) ∩ ={ x | x∈ A ∨ x∈ B} ∩ x∈ A ∨ x∈ C} { x | 分配律 分配律 證： x∈ B ∨ ( )} x∈ A 二、集合的并 ∩和 ∪ 的關(guān)系 (Union) 定理 對任意集合 A、 B有 : 1) A∪ (A∩B)=A 2) A∩(A∪ B)=A 證一： 1) A∪ (A∩B) ={ x | x∈ A ? ={ x | x∈ A} =A 吸收律 吸收律 命題邏輯中的吸收律 二、集合的并 ∩和 ∪ 的關(guān)系 吸收律 (Union) 定理 對任意集合 A、 B有 :
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