三角函數(shù)大題專(zhuān)項(xiàng)(含答案)(參考版)
2025-08-08 03:01本頁(yè)面
【正文】 ．19．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且+＝．（Ⅰ）證明：sinAsinB＝sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2＝bc，求tanB．【解答】（Ⅰ）證明：在△ABC中，∵+＝，∴由正弦定理得：，∴＝，∵sin（A+B）＝sinC．∴整理可得：sinAsinB＝sinC，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理可得cosA＝．sinA＝，＝+＝＝1，＝，tanB＝4．20．在△ABC中，AC＝6，cosB＝，C＝．（1）求AB的長(zhǎng)；（2）求cos（A﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB＝，B∈（0，π），∴sinB＝，∵，∴AB＝＝5；（2）cosA═﹣cos（π﹣A）＝﹣cos（C+B）＝sinBsinC﹣cosBcosC＝﹣．∵A為三角形的內(nèi)角，∴sinA＝，∴cos（A﹣）＝cosA+sinA＝．21．已知函數(shù)f（x）＝4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．（1）求f（x）的定義域與最小正周期；（2）討論f（x）在區(qū)間[﹣，]上的單調(diào)性．【解答】解：（1）∵f（x）＝4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．∴x≠kπ+，即函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠kπ+，k∈Z}，則f（x）＝4tanxcosx?（cosx+sinx）﹣＝4sinx（cosx+sinx）﹣＝2sinxcosx+2sin2x﹣＝sin2x+（1﹣cos2x）﹣＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），則函數(shù)的周期T＝；（2）由2kπ﹣＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，得kπ﹣＜x＜kπ+，k∈Z，即函數(shù)的增區(qū)間為（kπ﹣，kπ+），k∈Z，當(dāng)k＝0時(shí)，增區(qū)間為（﹣，），k∈Z，∵x∈[﹣，]，∴此時(shí)x∈（﹣，]，由2kπ+＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，得kπ+＜x＜kπ+，k∈Z，即函數(shù)的減區(qū)間為（kπ+，kπ+），k∈Z，當(dāng)k＝﹣1時(shí)，減區(qū)間為（﹣，﹣），k∈Z，∵x∈[﹣，]，∴此時(shí)x∈[﹣，﹣），即在區(qū)間[﹣，]上，函數(shù)的減區(qū)間為∈[﹣，﹣），增區(qū)間為（﹣，]．22．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c＝，△ABC的面積為，求△ABC的周長(zhǎng)．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）＝sinC，整理得：2cosCsin（A+B）＝sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））＝sinC2cosCsinC＝sinC∴cosC＝，∴C＝；（Ⅱ）由余弦定理得7＝a2+b2﹣2ab?，∴（a+b）2﹣3ab＝7，∵S＝absinC＝ab＝，∴ab＝6，∴（a+b）2﹣18＝7，∴a+b＝5，∴△ABC的周長(zhǎng)為5+．18。∴A＝90176。c＝a，由正弦定理可得sinC＝sinA＝＝，（2）a＝7，則c＝3，∴C＜A，∵sin2C+cos2C＝1，又由（1）可得cosC＝，∴sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝+＝，∴S△ABC＝acsinB＝73＝6．14．已知函數(shù)f（x）＝2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期為π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．【解答】解：f（x）＝2sinωxcosωx+cos2ωx，＝sin2ωx+cos2ωx，＝，由于函數(shù)的最小正周期為π，則：T＝，解得：ω＝1．（2）由（1）得：函數(shù)f（x）＝，令（k∈Z），解得：（k∈Z），所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[]（k∈Z）．15．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知
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