【正文】 1 ＝ (4 ＋ 2 3 )( s ) ． 第 27講 ┃ 歸類示例 動 態(tài)幾何開放性數(shù)學問題是近幾年興起的一種新穎題型，一般是某一個點在某一個圖形上的運動，難度相對較大，對考生綜合分析問題的能力要求較高．主要形式有開放前提、開放結(jié)論兩大類．解答此類問題要注意全面、整體地把握題目的意思，尤其不能漏掉某些情況 . 。 c os 60 176。 si n6 0 176。 ，動點 P從 A點出發(fā)，以 1 cm/s的速度沿著 A→ B→ C→ D的方向不停移動，直到點 P到達點 D后才停止．已知△ PAD的面積 S (單位： cm2)與點 P移動的時間t(單位： s)的函數(shù)關(guān)系如圖②所示，則點 P從開始移動到停止移動一共用了 ________s(結(jié)果保留根號 )． 第 27講 ┃ 歸類示例 命題角度： 1. 常用輔助線； 2. 動態(tài)幾何問題； 3. 梯形與全等、相似、解直角三角形等知識的綜合運用． (4 ＋ 2 3 ) 第 27講 ┃ 歸類示例 圖 27－ 5 [解析 ] 根據(jù)圖②判斷出 AB、 BC的長度，過點 B作BE⊥AD 于點 E，然后求出梯形 ABCD的高 BE，再根據(jù) t＝ 2時△ PAD的面積求出 AD的長度，過點 C作 CF⊥AD 于點 F，然后求出 DF的長度，利用勾股定理求出 CD的長度，然后求出 AB、 BC、 CD的和，再求時間． 第 27講 ┃ 歸類示例 第 27講 ┃ 歸類示例 由圖 ② 可知， t 在 2 s 到 4 s 時， △PAD 的面積不發(fā)生變化， ∴ 在 AB 上運動的時間是 2 s ，在 BC 上運動的時間是 4 － 2 ＝2( s ) ． ∵ 動點 P 的運動速度是 1 cm /s ， ∴ AB ＝ 2 cm ， BC ＝ 2 cm. 過點 B 作 BE ⊥AD 于點 E ，過點 C 作 CF ⊥AD 于點 F ， 則四邊形 BC FE 是 矩形， ∴ BE ＝ CF ， BC ＝ EF ＝ 2 c m. ∵∠ A ＝ 60 176。 － ∠ A O B ) ， 又 ∵∠ D O E ＝ ∠ A O B ， ∴∠ 1 ＝ ∠ O E D ， ∴ DE ∥ A B . ∵ AD 、 BE 是等腰三角形兩腰所在的線段， ∴ AD 與 BE 不平行， ∴ 四邊形 A B E D 是梯形， 又由 ( 1 ) 知 △ A B D ≌△ B A E ， ∴ AD ＝ BE . ∴ 梯形 A B E D 是等腰梯形 ． ( 3 ) 由 ( 2 ) 可知： DE ∥ AB ， ∴△ DCE ∽△ ACB ， ∴△ D C E 的面積△ ACB 的面積＝??????DEAB2， 即2△ ACB 的面積＝??????DE3D E2＝19， ∴△ A C B 的面積＝ 18 . ∴ 四邊形 A B E D 的面積＝ △ A C B 的面積－ △ DCE 的面積＝ 18 － 2 ＝ 16 . 第 27講 ┃ 歸類示例 證明等腰梯形首先要滿足梯形的定義，再證明兩腰相等，或同一底上的兩角相等，或?qū)蔷€相等即可． ? 類型之四 梯形的綜合應用 例 4 [2022 茂名 ]如圖 27－ 4，在等腰△ ABC中，點 D、 E分別是兩腰 AC、 BC上的點，連接 AE、 BD相交于點 O， ∠ 1＝ ∠ 2. (1)求證： OD＝ OE； (2)求證：四邊形 ABED是等腰梯形； (3)若 AB＝ 3DE， △ DCE的面積為 2， 求四邊形 ABED的面積 ． 第 27講 ┃ 歸類示例 命題角度： 1. 定義法； 2. 從同一底上的兩個角的大小關(guān)系來判定梯形是等腰梯形； 3. 從兩條對角線的大小關(guān)系來判定梯形是等腰梯形． 圖 27－ 4 第 27講 ┃ 歸類示例 [解析 ] (1)證明△ ABD≌ △ BAE(ASA)． (2)由 (1)得 AD＝BE，再證 DE∥AB 即可． (3)△ DCE∽ △ ACB，利用相似三角形面積比等于相似比的平方求得． 解： (1)證明： ∵ △ ABC是等腰三角形， ∴ AC＝ BC， ∴∠ BAD＝ ∠ ABE， 又 ∵ AB＝ BA， ∠ 2＝ ∠ 1， ∴ △ ABD≌ △ BAE(ASA)， ∴ BD＝ ∵∠ 1＝ ∠ 2， ∴ OA＝ OB， ∴ BD－ OB＝ AE－ OA，即 OD＝ OE. 第 27講 ┃ 歸類示例 ( 2 ) 證明：由 ( 1 ) 知： OD ＝ OE ， ∴∠ O E D ＝ ∠ O D E ， ∴∠ O E D ＝12( 180 176。 濱州 ]我們知道 “ 連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線 ” ， “ 三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半 ” ．類似地，我們把連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線．如圖 27－ 1，在梯形 ABCD中， AD∥ BC，點 E， F分別是 AB， CD的中點，那么 EF就是梯形 ABCD的中位線．通過觀察、測量，猜想EF和 AD， BC有怎樣的位置和數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論． 圖 27－ 1 第 27講 ┃ 歸類示例 [解析 ] 連接 AF并延長交 BC的延長線于點 G，則△ ADF≌ △ GCF，可以證得 EF是△ ABG的中位線，利用三角形的中位線定理即可證得． 解：結(jié)論為： EF∥AD∥BC ， EF＝ (AD＋ BC)． 第 27講 ┃ 歸類示例 梯形問題通常通過添加輔助線將其轉(zhuǎn)化為三角形或特殊四邊形來解決 ． 常用添加輔助線的方法有：(1)平移一腰； (2)過同一底上的兩個頂點作高； (3)平移對角線； (4)延長兩腰 ． 第 27講 ┃ 歸類示例 ? 類型之二 等腰梯形的性質(zhì) 命題角度： 1. 等腰梯形兩腰的大小關(guān)系，兩底的位置關(guān)系； 2. 等腰梯形在同一底上的兩個角的大小關(guān)系； 3. 等腰梯形的對角線相等的關(guān)系． 第 27講 ┃ 歸類示例 例 2 [2022 . ∴ DE∥ BF. 第 26講 ┃ 回歸教材 2．如圖 26－ 8，四邊形 ABCD是邊長為 2的正方形，點 G是 BC延長線上一點，連接 AG，點 E、 F分別在 AG上，連接 BE、 DF， ∠ 1＝ ∠ 2， ∠ 3＝ ∠ 4. (1)證明： △ ABE≌ △ DA