第三章靜電能(參考版)
2025-08-04 13:09本頁面
【正文】 。于是得： ??( c o s ) s in .pWL p E p E? ????? ???? ? ? ? ???????互注意 電偶極子的位置并未挪動，故 E被當(dāng)作 “ 常數(shù) ”從微分號下提出。為此 ，設(shè)電偶極子作一角位移 ，如前頁圖 (b)所示。 ■ 在偶極子平移過程中，由于 E 的方向 隨空間變化， 也會發(fā)生相應(yīng)變化，一般會有 。另外， 電荷分布不變 ，即 p的 大小也應(yīng)保持不變 。 [解 ]式（ ）給出了電偶極子在外場中的 靜電能 ： c o s ,W p E ?? ? ? ? ?互 pE電偶極子在外電場中的平移和旋轉(zhuǎn) 設(shè) 電偶極子作一 平移 ，由 A點移到 B點（右圖(a)）。)( ACCUWe222211 1 1( ) 02eW Q ACC?? ? ? ? ?[例 ]平行板電容器極板面積為 S, 極板間距為 d, 插入介電常數(shù)為 ?、密度為 ?的液體介質(zhì)中， 維持電容器的電壓 U不變 ，求液面在電容器中上升的高度 h。外力作功等于系統(tǒng)靜電能的增加。外力作正功 , 系統(tǒng)靜電能卻減少。 （ 1） U不變時 ， 靜電力： 外力作功 ： ??????2() 2e Ux W U CxxF21222 01 1 2()139。 [解 ]電容器的 靜電能 : 22112 2 2eCUW Q U QC? ? ?若 K斷開 ， Q不變 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?2 2 22( ) [ ( )]2 2 2exW Q Q C U Cx x C C x xF若 K閉合 ， U不變 ? ? ?? ? ?? ? ?22( ) [ ( ) ]22e UQx W C U U Cx x xF將 c=?0S/x代入， 兩式的計算結(jié)果相同 ，負號表示負極板對正極板的引力： 2202 xSVFx??? Q + QxSV_ _+K[例 ] 平行板電容器極板面積為 S, 極板間距為 d, 其間充滿介電常數(shù)為 ?的介質(zhì)，求將介質(zhì)從極板間完全取出時外力所作的功： (1) U不變； (2) Q 不變。 同理可推得 靜電力矩公式 ? 只要將位移 ? r換成角位移 ??， 靜電力做功： ?A=L? 原因很簡單 ，對任何給定的帶電系統(tǒng)，其中某個帶電導(dǎo)體所受的靜電力是由 當(dāng)時系統(tǒng)的電荷分布狀態(tài) 通過 庫侖定律唯一決定 的，它與系統(tǒng)狀態(tài)以后的變化無關(guān)。 ?? 2?■ 比較上兩式， 得 外接電源作功 是 靜電能變化 的兩倍 ： () ■ 代入式 （ ）右邊，并將該式左邊的 代之以 得： eW?()eUW? () 它表示當(dāng)維持各導(dǎo)體的電勢不變時， 靜電力作功等于系統(tǒng)靜電能的增加 。 () （ 1） 孤立系統(tǒng) ，帶電體的電量不變 ? 位移 ?r只改變各導(dǎo)體的電勢，使系統(tǒng)的靜電能發(fā)生變化， ? 由能量守恒： 即 靜電力所作的功 等于 系統(tǒng)靜電能的減少 ， ∴ （ ? We)Q = ?A 于是有 （ ? We)Q= (Fx ?x +Fy?y +Fz?z ) ■ 由數(shù)學(xué)知： (下標(biāo) Q— 電量不變） QeQex WxWF )(F)( ???????? 或() () ? ?e QAW??????（ 2） 接電源 ，帶電體的電勢不變 ? 系統(tǒng)不是孤立的， 外界 （電源）通過給系統(tǒng)的導(dǎo)體提供電荷而 作功 ?A’， 由 能量守恒定律 知 系統(tǒng)靜電能的變化 為： ? We= ?A+ ?A’ () ? 電源使各導(dǎo)體的電勢 Ui 保持恒定，設(shè)當(dāng)導(dǎo)體位移 ?r 時，各導(dǎo)體的 電量會 在電源的作用下變化 ?Qi , 則 電源對系統(tǒng)作功 為： iNii QUA ?? ???139。 利用靜電能求靜電力 ? 利用靜電能可求得靜電場中的靜電力 . ? N個帶電導(dǎo)體組成的帶電系統(tǒng)，設(shè)想某一個導(dǎo)體在其他導(dǎo)體的作用下，受到靜電力 F , 位移 ?r , 則 靜電力 F 所作的功 為： ?A=F這部分因電滯現(xiàn)象而消耗的能量，稱為 電滯損耗 。 當(dāng)從某點 A出發(fā) 沿著電滯回線循環(huán)一周 回到 A點時，電源對單位體積 鐵電體所作的功可由式（ ）求得： 201()2.a d a d E E d PE d P???? ? ??? ? ?? () 0 式中 右邊 沿電滯回線的閉路積分正好 等于 電滯回線所圍的 “ 面積 ” 。鐵電體的 P 和 E 的關(guān)系不僅是 非線性 的，而且是 非單值 的，一定的 E 所對應(yīng)的 P 值 依賴于極化過程 。 當(dāng) 存在介質(zhì)損耗 時，極化功中只有 一部分 轉(zhuǎn)化為極化能，另一部分 則轉(zhuǎn)化為熱量。 ■ 對非線性有損耗介質(zhì) ，式（ ）與（ ）不再成立， 顯然不會得到上述簡單結(jié)果 。 ■ 對線性無損耗介質(zhì) ，可將極化規(guī)律寫成如下一般形式： jiijjjiji EP ???? ?? ?? ,310 () 特別對 各向同性介質(zhì) 有： 1 1 2 2 3 3 ,e? ? ? ?? ? ? 1 2 1 3 2 3 0.? ? ?? ? ?由式（ ）可證： ? ??? ?? ??? ???????313131031310 )(j jjjiijiji jjiij ddEPEdEdEEd EPPE ????于是有 ( ) 2 ,d d d d? ? ? ? ? ? ?P E E P P E E P或 1 .2dd ??? ? ?????E P P E () 上式表明， 極化功 全部轉(zhuǎn)換為 介質(zhì)的極化能 。因此，如下關(guān)系式成立： ,d A u d q? ? () 0, enu El q S D S?? ? ?代入式（ ）得： ( ) .nd A E d D S l d V? ? ? ?ED() 于是 對單位體積 的電介質(zhì)， 電源所作的元功為 ： .dAd a dV
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