13-齊次方程(參考版)
2024-08-05 14:00本頁面
【正文】 ? ? ?齊次方程判斷方法： （ ） 具體說來，過程如下： ,xyu ?作變量代換 ,xuy ?即代入原式 ,dxduxudxdy ???),( ugdxduxu ??.)( x uugdxdu ??即可分離變量的方程 ,0)( 時當(dāng) ?? uug,ln)( 1 xCuug du ???得,)( uCex ??即 ??? ）（ uugduu)()(?,代入將 xyu ? ,)( xyCex ??得通解,0u?當(dāng) ,0)(00 ?? uug使,0 是新方程的解則 uu ?,代回原方程 .0 xuy ?得齊次方程的解例 4 求解方程 )0(2 ??? xyxydxdyx解 : 方程變形為 )0(2 ??? xxyxydxdy這是齊次方程 , 代入得令 xyu ?uu ?? 2 即 udxdux 2?將變量分離后得 xdxudu ?2udxdux ?兩邊積分得 : cxu ??? )ln (即 為任意常數(shù)ccxcxu ,0)l n (,))( l n ( 2 ??????代入原來變量 ,得原方程的通解為 ,0)l n (,00)l n (,])[ l n ( 2????????????cxcxcxxyxdxudu ?2例 6 求下面初值問題的解 0)1(,)( 22 ???? yx d ydxyxy解 : 方程變形為 2)(1xyxydxdy ???這是齊次方程 , 代入方程得令 xyu ?21 udxdux ??將變量分離后得 xdxudu ?? 21兩邊積分得 : cxuu lnln1ln 2 ????整理后得 cxuu ??? 21變量還原得 cxxyxy ??? 2
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