第02講簡易邏輯(參考版)
2025-07-02 15:33本頁面
【正文】 二、反證法：（一）知識歸納：1．用反證法證明命題的一般步驟如下：①反設(shè)：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；②歸謬：從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；③結(jié)論：由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確.2．反證法一般常用于有下述特點的命題的證明：①結(jié)論本身以否定形式出現(xiàn)；②結(jié)論是“至少”、“至多”、“唯一”、“都是”等形式；③結(jié)論涉及“存在或不存在”，“有限或無限”等形式；④結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體或更易于證明.（二）學(xué)習(xí)要點：1．用反證法證題的關(guān)鍵是“反設(shè)”，對一些特殊結(jié)論的反設(shè)見下表：原結(jié)論詞大于（）小于（）都是都不是至少n個至多n個反設(shè)詞不大于（≤）不小于（≥）不都是至少有一個是至多n－1個至少n+1個原結(jié)論詞有無窮多個存在唯一的對任意p，使…恒成立反設(shè)詞只有有限多個不存在或至少存在兩個至少有一個p，使…不成立2．反證法證題的難點是如何引出“矛盾”，用反證法證明命題“若p則q”時，引出矛盾的形式有下面三個方面：①由假設(shè)結(jié)論q不成立，經(jīng)過推理論證得到條件p不成立，即與原命題的條件矛盾，這種情況實際上是證明了命題的“逆否命題”正確；②由假設(shè)結(jié)論q不成立，經(jīng)過推理論證得到結(jié)論q成立，即由“非q為真”推出了“q為真”，形成了自相矛盾；③由假設(shè)結(jié)論q不成立，經(jīng)過推理論證得到一個恒假命題，即與某個“公理、定義、定理、性質(zhì)”矛盾，或與某個顯然的概念、結(jié)論矛盾.但在實際應(yīng)用時，究竟如何引出矛盾必須根據(jù)命題本身的數(shù)學(xué)內(nèi)容進行探索，有時很難事先估計如何引出矛盾或是否能用反證法證明成功，正是由于這些難點，所以在高考中反證法出現(xiàn)得較少.【例】用反證法證明下述命題：（Ⅰ）某班有49位學(xué)生，證明：至少有5位學(xué)生的生日在同一個月.[解析] “至少有5位”的反設(shè)是“至多只有4位”.[證明] 假設(shè)至多只有4位學(xué)生的生日在同一個月，即生日同在1，2，3，…12月的學(xué)生人數(shù)都不超過4人，∴該班學(xué)生總數(shù)m≤412=48人，與該班有49個學(xué)生的條件矛盾，∴假設(shè)不成立，∴至少有5位學(xué)生的生日在同一個月.（Ⅱ）設(shè)f(x)=x2+ax+b,①求證：|f(1)|、| f(2)|、| f(3)|
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