【正文】 同時，由各方法的原理分析我們可知，應用于兩步相移。 各濾波方法的對比(由之前的結(jié)果可知，該相移序列的相移量均勻分布在[0, 6] rad之間)，分別使用上述方法濾除干涉圖的背景項，并選取兩幅濾波后的干涉圖，使用RIP兩步相移算法對其進行恢復相位，計算時間（濾波和恢復相位的總時間）及其均方根誤差（AIA算法迭代計算所得的相位作為參考相位）如表51所示。這兩幅差分圖像幾乎不包含相移干涉圖的背景項。. 差分法如果將三幅任意相移量的相移干涉圖中的第一幅與第二、三幅相減，則可以濾除干涉圖中的背景項并得到兩幅差分圖像，以這兩幅差分圖像做為兩步相移算法中的濾除背景項的干涉圖，利用施密特正交歸一化方法從兩幅差分圖像中得到兩個正交信號，然后再通過一個反正切函數(shù)即可恢復待測相位。因為三角函數(shù)在整周期內(nèi)求和的值為0，于是可以求得干涉圖的背景項 使用相減的方式，便可以濾除干涉圖的背景項。一般來說，本文選擇濾波窗口大小是，在這個濾波窗口的取值范圍附近可以較高效率地濾除干涉圖的背景項。高斯低通濾波器是一種平滑濾波器，高斯高通濾波器是由高斯低通濾波器的差分構(gòu)成，被高斯低通濾波器衰減的頻率能通過高斯高通濾波器。. 高斯高通濾波法在數(shù)字圖像處理中，高斯高通濾波器的傳遞函數(shù)為 其中，u, v 代表頻域坐標，代表濾波窗口的大小。其中本文中使用的濾波方法是高斯高通濾波法，該方法比較簡便，是兩步相移算法中常用的濾波方法。因此，對背景項的濾除能力是提高待測相位精度的重要環(huán)節(jié)。(a)參考值(AIA)，(b)RIP算法恢復的相位，(c)IGS算法恢復的相位，(d)GS算法恢復的相位，(e)EVI算法恢復的相位，(f)CC算法恢復的相位。(a)參考值(AIA)，(b)RIP算法恢復的相位，(c)IGS算法恢復的相位，(d)GS算法恢復的相位，(e)EVI算法恢復的相位，(f)CC算法恢復的相位。由計算機模擬與實驗的結(jié)果可知，在兩步相移干涉測量中，RIP與IGS均適合應用于恢復相位與提取相移量。表42展示了四種兩步相移算法進行相位恢復的運算時間（不包括高斯高通濾波的運算時間）及其恢復的相位與參考值(AIA算法所得)之間的差值的均方根 (RMSE)。與模擬計算的過程相似，本文使用RIP和IGS算法對兩組實驗干涉圖進行恢復相位，同時也給出了GS、EVI和CC算法對兩組干涉圖進行計算所恢復的相位，各算法所得的結(jié)果分別如圖45(bf)、圖46(bf)所示。圖44實驗中采集到的干涉圖。圖43(a) 同軸相移干涉測量系統(tǒng)示意圖。實驗中的待測物體是螺旋相位板，廠家為RPC photonics., 型號為VPP1c，待測高度為 1536 nm。干涉圖由CCD采集記錄并傳輸?shù)接嬎銠C上。反射鏡M2 被固定在壓電陶瓷微位移器PZT上，用來實現(xiàn)參考光的相移。實驗中的光源為HeNe激光器， nm。表41 不同算法對模擬干涉圖進行相位恢復的運算時間和均方根誤差對比RIPIGSGS EVICCAIATIME (s)RMSE (rad) 實驗結(jié)果與討論為了進一步驗證RIP與IGS算法在實際應用中的可行性，將其應用到實驗中所采集到的干涉圖。由上述分析可知，RIP與IGS算法與其他兩步相移算法相比，在速度上有一定的優(yōu)勢，精度上也與其保持相當?shù)乃?。與此同時，本文將這幾種算法進行恢復相位的運算時間（不包括濾除背景項所用的時間）與其均方根誤差進行比較，如表41所示。圖42 不同算法對模擬干涉圖進行恢復相位的結(jié)果。以上幾種兩步相移算法均使用高斯高通濾波器對兩幅模擬干涉圖進行濾除背景項。并將其結(jié)果與預設(shè)相位值(REF)進行比較。圖41 模擬的兩幅相移干涉圖，(ab)之間的相移量為1rad。同時，在模擬干涉圖中加入了噪信比為5%的高斯加性噪聲。 不同兩步相移算法的比較與分析 計算機模擬為了驗證本文所改進的施密特正交化算法(IGS)與所提出的內(nèi)積之比算法(RIP)的有效性與精度，本文根據(jù)相移干涉圖的光強表達式模擬了兩幅干涉圖，像素大小為512512pixels，如圖41所示。首先利用高斯高通濾波器濾除兩幅相移干涉圖中的背景項，得到 其次計算濾波后的干涉圖的內(nèi)積，得到 若干涉圖中的條紋數(shù)量大于1，即干涉圖光強表達式中的三角函數(shù)周期數(shù)大于1。因此在此相移量提取算法的基礎(chǔ)上，本文提出了基于內(nèi)積之比的兩步相移恢復相位的算法(Ratio of Inner Products, 簡稱RIP)。在第二章中，本文提出了基于內(nèi)積之比的相移提取算法，該算法既可以計算多幅干涉圖之間的相移量，又可以用于計算兩幅干涉圖之間的相移量。在原GS算法的原理分析中可以看出：歸一化的過程需要的計算量與干涉圖的像素尺寸成正比關(guān)系，尺寸越大或像素點越多，所需要的計算量越大，計算越耗時。通過上述的GS算法與IGS算法的原理分析可以看出：IGS算法是在施密特正交化的基礎(chǔ)上先提取相移量，再恢復待測相位。該IGS算法是在原有的GS算法的原理基礎(chǔ)之上進行改進，因此依然使用了其限制條件：干涉圖中的條紋數(shù)量大于1，即干涉圖光強表達式中的三角函數(shù)周期數(shù)大于1。下面介紹該算法提取相移量的過程。 本文提出的兩步相移算法由上述分析可知，去除背景直流項的兩幅相移干涉圖可以表示為 且相移量與待測相位的關(guān)系為 在原GS算法的基礎(chǔ)之上，本文提出了一種改進的施密特正交化兩步相移算法(Improved GramSchmidt Orthonormalization,簡稱IGS)。假設(shè)在第一幅濾波后的干涉圖中找到了P個光強極大值像素點和V個光強極小值像素點，在干涉圖中對應的像素位置分別是p1，p2，…，pP 和v1，v2，…，vV。由公式(429)和(430)，可以得到 在第一幅濾波后的干涉圖中尋找干涉極值點，記為，在第二幅濾波后的干涉圖中相對應的像素點的所記錄光強記為。干涉極值法(Extreme Value of Interference, 簡稱EVI)是指在干涉圖中的尋找干涉的極大值點或極小值點，然后利用這些特殊像素點，確定相移干涉圖之間的相移量，進而根據(jù)公式(431)求解待測相位的方法。由上式可知，兩幅干涉圖之間的相移量可通過其相關(guān)系數(shù)來確定： 在兩步相移干涉測量中，干涉圖可以表示為 原文獻中作者分別記錄物光波和參考光波的光強，并用兩幅干涉圖的光強減去物光波和參考光波的光強，通過這個方法，濾除干涉圖的背景項，濾波后的干涉圖為 兩式相除后，得到 于是可得到待測相位與相移量之間的關(guān)系式 通過相關(guān)系數(shù)法，經(jīng)公式計算得出相移量后再代入上式，即可恢復出待測相位。協(xié)方差和標準差的定義分別為 其中、分別為X、Y的平均值。根據(jù)公式(43)(47)，可以得到 若干涉圖中的干涉條紋數(shù)大于1，則相移干涉圖的光強表達式中的三角函數(shù)周期數(shù)大于1，則以下近似條件成立 結(jié)合近似條件，將公式(411)簡化為 將向量進行歸一化，可得 由公式(410)和(415)可知，可通過一個反正切函數(shù)求解出待測相位 相關(guān)系數(shù)算法在數(shù)理統(tǒng)計學中，相關(guān)系數(shù)(Correlation Coefficient，簡稱CC)是反映n維向量變量X（x1, x2…,x n）,Y（y1, y2…, yn）之間相關(guān)關(guān)系的密切程度的統(tǒng)計指標，是研究變量之間線性相關(guān)程度的量。因此，利用施密特正交化將兩個干涉圖向量正交化，可以得到兩個正交信號，進而恢復出待測相位。濾除背景項的干涉圖可表示為 其中。當線性無關(guān)的向量組只有兩個向量時，施密特正交化的過程如下： 是歸一化后的向量，它們是相互正交的。相移干涉圖的背景項a(x,y)具有空間平滑、變化緩慢的特點，一般認為它是直流低頻信號，可以使用高斯高通濾波器將其濾除掉。兩步相移算法可以在相移量未知的情況下，僅從兩幅相移干涉圖恢復相位，速度快，精度也較高。表31 不同噪聲等級下的多步相移算法恢復相位的均方根誤差對比三步相移四步相移五步相移AIAPCARMSE（rad）無噪聲0005%噪聲10%噪聲15%噪聲20%噪聲表32 不同相移量偏移時，定步長算法的均方根誤差對比三步相移四步相移五步相移RMSE（rad）第四章 相移干涉測量中的兩步相移算法研究 兩步相移算法概述針對于多步相移干涉測量的特點，為了減少計算量，減少所采集的干涉圖的數(shù)目，降低環(huán)境振動、空氣流動等因素的影響，兩步相移干涉測量被提出并得到發(fā)展。以此類推， rad， rad， rad，在不同相移量偏移情況下，計算定步長算法恢復相位的均方根誤差，結(jié)果如表32所示。若相移量標定不準確，此時不能完全滿足三步、四步、五步算法對相移量定值的要求，定步長算法的將會出現(xiàn)較大誤差。從表31中可以看出，在無噪聲的情況下，定步長相移算法的誤差為0 rad. 但隨著噪聲的加大，定步長算法的均方根誤差變化比較大，而非定步長算法的精度變化較小。此時三步、四步、五步相移算法對相移量的定值要求可以得到充分的滿足。通過這兩組特征值和特征向量，可將協(xié)方差矩陣C對角化為對角矩陣D，相應的正交變換矩陣為U。A和F是NN的矩陣 因為矩陣A和F均為一個矩陣與其自身的轉(zhuǎn)置矩陣相乘得到，所以A和F的秩均為1，A和F均只有一個特征值和特征向量。下面介紹該算法恢復相位的原理。不同正交信號的權(quán)重形成不同的相移干涉圖。同上一節(jié)，本文將第n幅相移干涉圖的光強可表示為： 因為CCD等探測器采集到的每一幅干涉圖的光強都為一個二維向量組，為描述方便，本文將其重構(gòu)為一個一維的行向量組，重構(gòu)后的第n幅相移干涉圖可以表示為 每一幅重構(gòu)后的干涉圖光強是一個1K的行向量，K為每幅干涉圖的像素總數(shù)。 主成分分析算法在統(tǒng)計學中研究多變量的課題時，過多的變量個數(shù)會增加分析的復雜性，很多情況下，變量之間具有一定的相關(guān)性或攜帶信息重疊性，我們希望通過數(shù)學上的降維方法，建立盡可能少的新變量，并使得這些新變量兩兩不相關(guān)，且盡可能多地保持原有的信息。其收斂條件為 其中，j代表迭代次數(shù)，為一個預設(shè)的很小的值，如104，它代表了迭代算法對精度的要求。通過最小二乘誤差估計算法，可以解出公式(325)中的這些未知量。此時我們可以定義，相移干涉圖的理論值可以表示為 經(jīng)過第一步，待測相位的值為已知量。從公式(320)(322)可以解出未知量ak, bk, ck ，進而求出待測相位 第二步：逐幀迭代計算確定相移量的值在第二步中，我們假設(shè)背景項An,k與調(diào)制幅度Bn,k,在空域分布上不變，在時域分布上是變化的，其不再是與像素點有關(guān)的變量，而與干涉圖的幀數(shù)有關(guān)，是時域變化量。最小二乘誤差Sk 可以表示為 其中，為實驗中采集到的第n幅干涉圖第k個像素點的光強。第一步：逐像素點迭代計算確定待測相位的值在第一步中，我們假設(shè)背景項Ak與調(diào)制項Bk 在時域分布上沒有變化；在空域分布上，只與像素點的位置有關(guān)，即A1k=A2k=A3k=…=ANk, B1k=B2k=B3k=…=BNk,此時我們定義ak=An,k ,bk=Bn,k cos() 以及ck=Bn,k sin()，將公式(316)改寫為 如果為已知，N為干涉圖總數(shù)目，則有3K個未知量與NK個等式。同上一節(jié)，相移干涉測量中，第n幅相移干涉圖的光強可表示為： 為描述方便，本文將上式改寫為： 其中，k=1, 2,…, K, K為每幅干涉圖的像素總數(shù)。 改進迭代算法改進迭代算法(Advanced Iterative Algorithm，簡稱AIA)是基于最小二乘誤差估計的思想，首先設(shè)定一組相移量的值，假定相移量為已知，作為迭代運算相移量的初始值，通過對相移量和待測相位進行交替迭代運算，可以同時計算出待測相位與相移量。目前常用的非定步長相移算法主要有改進迭代算法和主成分分析算法。這三幅相移干涉圖的光強可以表示為： 聯(lián)立以上公式，可得 由上式可知，三步相移算法的待測相位求解公式為 四步相移算法在四步相移算法，需要采集四幅相移步進為π/2 rad的相移干涉圖，每幅圖的光強表達公式為 聯(lián)立以上公式，可得 由上式可知，四步相移算法的待測相位求解公式為 五步相移算法在五步相移算法中，需要采集五幅相移步進為π/2 rad的相移干涉圖，比四步相移算法多了一幅干涉圖，前四幅干涉圖與四步相移算法所需的四幅干涉圖相同，第五幅干涉圖的光強表達公式為： 聯(lián)立五個光強表達公式，可得 由上式可知，五步相移算法的待測相位求解公式為 非定步長相移算法對相移干涉圖之間的相移量沒有特定值的要求，對相移步進的要求也不高，但也需要采集多幅干涉圖才能進行計算。 三步相移算法在三步相移算法中，需要采集三幅相移干涉圖進行計算。典型的定步長相移算法有三步相移算法、四步相移算法以及五步相移算法。各類算法均有其各自的優(yōu)缺點，其中常用的是定步長算法與非定步長算法，下面分別對這兩類算法進行介紹，并對各類中的幾種典型算法進行原理分析。等步長相移算法并不需要知道相移量的確切值，僅要求相移步進相同，相對于定步長算法條件比較靈活。定步長相移算法要求使用到的N幅相移干涉圖之間的相移量是已知的，并且是某些定值（如π/π/3π/2