【正文】 。9. 抽取1000人的隨機(jī)樣本估計(jì)一個(gè)大的人口總體中擁有私人汽車的人的百分?jǐn)?shù)，樣本中有543人擁有私人汽車，（1）求樣本中擁有私人汽車的人的百分?jǐn)?shù)的SE；（2）求總體中擁有私人汽車的人的百分?jǐn)?shù)的95%的置信區(qū)間。解 由于樣本大小相對(duì)于總體容量來(lái)說(shuō)很小，因此可使用有放回抽樣的公式。解 由于未知，故的雙側(cè)置信區(qū)間為其中，代入數(shù)據(jù)得， ,即為。解 由于已知，故的的雙側(cè)置信區(qū)間為代入數(shù)據(jù)得，即為。設(shè)罐頭質(zhì)量服從正態(tài)分布并假設(shè)甲生產(chǎn)線與乙生產(chǎn)線互不影響。解 由于未知，故的雙側(cè)置信區(qū)間為，代入數(shù)據(jù)得，即為。解 由于已知，故的單側(cè)置信下限為，的單側(cè)置信上限為，代入數(shù)據(jù)得。4. 已知某煉鐵廠的鐵水含碳量（1%）正常情況下服從正態(tài)分布，且標(biāo)準(zhǔn)差。解 由于未知，故的雙側(cè)置信區(qū)間為，代入數(shù)據(jù)得，即為。，即為。為了合理的確定對(duì)該商品的進(jìn)貨量，需對(duì)和作估計(jì)，為此隨機(jī)抽取七個(gè)月，其銷售量分別為：64，57，49，81，76，70，59。，即為。當(dāng)，查表得，當(dāng)，查表得。1. 某車間生產(chǎn)滾珠，從長(zhǎng)期實(shí)踐中知道，滾珠直徑X服從正態(tài)分布，從某天生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取6個(gè)，量得直徑如下（單位：mm）：,。證明 易見(jiàn)又 ，由第九章公式（9），故 。又 可見(jiàn)，所以二個(gè)估計(jì)量中更有效。11. 設(shè)為總體的樣本，證明都是總體均值的無(wú)偏估計(jì)，并進(jìn)一步判斷哪一個(gè)估計(jì)有效。10. 試證第8題中的最大似然估計(jì)是的無(wú)偏估計(jì)。解 似然函數(shù) ，對(duì)數(shù)似然函數(shù)為得的最大似然估計(jì)量為。由樣本觀測(cè)值可算得。7. 已知某路口車輛經(jīng)過(guò)的時(shí)間間隔服從指數(shù)分布，其中未知，現(xiàn)在觀測(cè)到六個(gè)時(shí)間間隔數(shù)據(jù)（單位：s）：,4,8,，試求該路口車輛經(jīng)過(guò)的平均時(shí)間間隔的矩估計(jì)值與最大似然估計(jì)值。6. 設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本，總體X服從參數(shù)為的幾何分布，即，其中未知，求的最大似然估計(jì)。5. 設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本，X的密度函數(shù)為 其中未知，求的矩估計(jì)和最大似然估計(jì)。4. 設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本，X的密度函數(shù)為 其中未知，求的矩估計(jì)。3. 設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本，其中X服從區(qū)間的均勻分布，其中未知，求的矩估計(jì)。解 ，故的矩估計(jì)量。可以看出的矩估計(jì)量與最大似然估計(jì)量是相同的。（2），令，故的矩估計(jì)量。另，X的分布律為，故似然函數(shù)為對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：令 解得的最大似然估計(jì)量。習(xí)題十解答1. 設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本，在下列情形下，試求總體參數(shù)的矩估計(jì)與最大似然估計(jì)：（1），其中未知，；（2），其中未知。 解（1）引入新變量： 1，第個(gè)樣本居民年收入超過(guò)1萬(wàn) 0，第個(gè)樣本居民年收入沒(méi)超過(guò)1萬(wàn)其中易見(jiàn)：又因，故可以近似看成有放回抽樣，相互獨(dú)立。 解 （1） （2）（3），其中 8. 某市有100000個(gè)年滿18歲的居民，他們中10%年收入超過(guò)1萬(wàn)，20%受過(guò)高等教育。又，與相互獨(dú)立，則即 即，自由度為3。 解（1）易見(jiàn)，即為二個(gè)獨(dú)立的服從的隨機(jī)變量平方和，服從分布，即；自由度為2。 6. 設(shè)是獨(dú)立且服從相同分布的隨機(jī)變量，且每一個(gè)都服從。證明：（1）獨(dú)立同分布于，由分布的定義，即。，所以。 4. 設(shè)，求常數(shù)，使。 3. 查表求。因?yàn)楹椭胁缓傮w中的唯一未知參數(shù)，而和中含有未知參數(shù)。 解 2. 設(shè)是來(lái)自上的均勻分布的樣本，未知（1）寫(xiě)出樣本的聯(lián)合密度函數(shù)；（2）指出下列樣本函數(shù)中哪些是統(tǒng)計(jì)量，哪些不是？為什么？（3）設(shè)樣本的一組觀察是：,1,1,1,寫(xiě)出樣本均值、樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差。解 設(shè)死亡人數(shù)為，保險(xiǎn)公司虧本當(dāng)且僅當(dāng)，即。%，參加保險(xiǎn)的人在1年的第一天交付保險(xiǎn)費(fèi)10元，死亡時(shí)家屬可以從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元。 解 18. 設(shè)隨機(jī)變量X和Y的數(shù)學(xué)期望分別為2和2，方差分別為1和4，根據(jù)切比雪夫不等式估計(jì)的值。這里，、依次表示的分布密度。解：（1） （2） 15. 設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，求。y10 1 x解 先畫(huà)出區(qū)域的圖G 0 其他 0 其他 13. 設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，且，求。11. 設(shè)服從在A上的均勻分布，其中A為x軸、y軸及直線所圍成的區(qū)域，求（1）；（2）；（3）的值。解 關(guān)于X與Y的邊緣分布律分別為：X01Y01PrPr10. 設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，它們的密度函數(shù)分別為 求。解 （1） （2）故8. 設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 0 求、。解 （1） （2）注：求解（1）時(shí)利用被積函數(shù)是奇函數(shù)的性質(zhì)，求解（2）時(shí)化簡(jiǎn)為可以看成為是服從參數(shù)為1的指數(shù)分布隨機(jī)變量的二階原點(diǎn)矩。問(wèn)應(yīng)組織多少貨源，才能使平均收益最大？解 設(shè)隨機(jī)變量Y表示平均收益（單位：萬(wàn)元），進(jìn)貨量為噸Y= 則要使得平均收益最大，所以得 （噸）5. 一臺(tái)設(shè)備由三大部件構(gòu)成，假設(shè)各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立，以X表示同時(shí)需要調(diào)整的部件數(shù)，試求X的數(shù)學(xué)期望和方差。解 所以 故 4. 國(guó)際市場(chǎng)每年對(duì)我國(guó)某種出口商品的需求量X是一個(gè)隨機(jī)變量，它在[2000，4000]（單位：噸）上服從均勻分布。解 由隨機(jī)變量X的分布律，得X1012X+12101X21014P所以 另外，也可根據(jù)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)可得：，且已知，求的值。對(duì)積分變量作變換，得到于是 ，交換積分變量的次序得從而，的密度函數(shù)為，把與的地位對(duì)換，同樣可得到的密度函數(shù)的另一種形式。綜合有 的密度函數(shù) 13. 設(shè)的密度函數(shù)為，用函數(shù)表達(dá)隨機(jī)變量的密度函數(shù)。當(dāng)時(shí)，此時(shí)2 0 2 x y 2其中是區(qū)域限在中的那部分。解 （１）隨機(jī)變量可能取到的值為１，２，３中的一個(gè)，且綜合有１２３概率（２）隨機(jī)變量可能取到的值為１，２，３中的一個(gè)，且同理可求得綜合有１２３概率　　１２. 設(shè)二維隨機(jī)變量服從在Ｄ上的均勻分布，其中Ｄ為直線，所圍成的區(qū)域，求的分布函數(shù)及密度函數(shù)。直觀的解釋是的與的取值并不相同，這是因?yàn)榕c并不一定同時(shí)取同一值，因而導(dǎo)致它們的分布也不同。　　從而證實(shí)：即使Ｘ、Ｙ服從同樣的分布，與的分布并不一定相同，直觀地解釋這一結(jié)論。因此所求分布律為Y101概率09. 設(shè)二維隨機(jī)變量的分布律X\Y１２３１２００３０求以下隨機(jī)變量的分布律：（１）；（２）；（３）；（４）。8. 設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間上服從均勻分布，隨機(jī)變量 試求隨機(jī)變量函數(shù)Y的分布律。解 的反函數(shù)，因此所求的Y的密度函數(shù)為 = 7. 設(shè)X服從，證明服從,其中為兩個(gè)常數(shù)且。須先求Y的分布函數(shù)。解 圓面積，由于X均勻取中的值，所以X的密度函數(shù) 且為單調(diào)增加函數(shù)，其反函數(shù)，Y的密度函數(shù)為 = 　　5. 設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，試求隨機(jī)變量的函數(shù)的密度函數(shù)。如果為單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，則也可利用性質(zhì)求得。即Y的分布律為Y01概率3. 設(shè)X的密度函數(shù)為 求以下隨機(jī)變量的密度函數(shù)：（1）；（2）；（3）。2. 設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)的泊松分布，記隨機(jī)變量 試求隨機(jī)變量Y的分布律。（1）；（2）；（3）。解 易知，因此時(shí)X的條件分布