相似三角形基本知識(shí)點(diǎn)經(jīng)典例題(參考版)
2025-06-26 18:33本頁(yè)面
【正文】 學(xué)習(xí)參考。你必須努力，當(dāng)有一天驀然回首時(shí)，你的回憶里才會(huì)多一些色彩斑斕，少一些蒼白無(wú)力。4. 歲月是無(wú)情的，假如你丟給它的是一片空白，它還給你的也是一片空白。既糾結(jié)了自己，又打擾了別人。用一些事情，總會(huì)看清一些人。2. 若不是心寬似海，哪有人生風(fēng)平浪靜。 又∠APB+∠ABP=90176。 ∴∠D=90176。AB=2，AD=5，P是AD上一動(dòng)點(diǎn)(不與A、D重合)，PE⊥BP，P為垂足，PE交DC于點(diǎn)E， (1)設(shè)AP=x，DE=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍； (2)請(qǐng)你探索在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形ABED能否構(gòu)成矩形？如果能，求出AP的長(zhǎng)；如果不能，請(qǐng)說(shuō) 明理由. 解：(1)∵AB∥CD ，∴∠A+∠D=180176?！ ∮?∵ ∠AOB=∠DOC ∴△AOB∽△DOC ∴ ∵BO=50m，CO=10m，CD=17m ∴AB=85m 答：河寬為85m． 總結(jié)升華：方案2利用了“”型基本圖形，實(shí)際上測(cè)量河寬有很多方法，可以用“”型基本圖形，借助相似；也可用等腰三角形等等. 舉一反三 【變式1】如圖：小明欲測(cè)量一座古塔的高度，他站在該塔的影子上前后移動(dòng)，直到他本身影子的頂端正好與塔的影子的頂端重疊，此時(shí)他距離該塔18 m， m，他的影長(zhǎng)是2 m． (1)圖中△ABC與△ADE是否相似?為什么? (2)求古塔的高度． 解：(1)△ABC∽△ADE． ∵BC⊥AE，DE⊥AE ∴∠ACB=∠AED=90176。角方向走50m到O處立一標(biāo)桿，然后方向不變，繼續(xù)向前走10m到C處，在C處轉(zhuǎn)90176。. 由勾股定理，得. 在△ABC和△EDF中， ∴ ， ∴ △ABC∽△EDF(三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似). 總結(jié)升華： (1)本題易錯(cuò)為只看3，6，4， 似，應(yīng)看三角形的三邊是否對(duì)應(yīng)成比例，而不是兩邊. (2)本題也可以只求出AC的長(zhǎng)，利用兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，且?jiàn)A角相等，判定兩三角形相似. 4．如圖所示，點(diǎn)D在△ABC的邊AB上，滿(mǎn)足怎樣的條件時(shí)，△ACD與△ABC相似？試分別加以列舉. 思路點(diǎn)撥：此題屬于探索問(wèn)題，由相似三角形的識(shí)別方法可知，△ACD與△ABC已有公共角∠A，要使此兩個(gè)三角形相似，可根據(jù)相似三角形的識(shí)別方法尋找一個(gè)條件即可. 解：當(dāng)滿(mǎn)足以下三個(gè)條件之一時(shí)，△ACD∽△ABC. 條件一：∠1=∠B. 條件二：∠2=∠ACB. 條件三：，即. 總結(jié)升華：，用分析法，可先假設(shè)△ACD∽△ABC，：.不符合條件“最小化”原則，因?yàn)闂l件三能使問(wèn)題成立，所以出現(xiàn)條件四是錯(cuò)誤的. 舉一反三 【變式1】已知：如圖正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，且BP=3PC，Q是CD的中點(diǎn)． 求證：△ADQ∽△QCP． 思路點(diǎn)撥：因△ADQ與△QCP是直角三角形，雖有相等的直角，但不知AQ與PQ是否垂直，所以不能用兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等判定．而四邊形ABCD是正方形，Q是CD中點(diǎn)，而B(niǎo)P=3PC，所以可用對(duì)應(yīng)邊成比例夾角相等的方法來(lái)判定．具體證明過(guò)程如下： 證明：在正方形ABCD中，∵Q是CD的中點(diǎn)，∴=2 ∵=3，∴=4 又∵BC=2DQ，∴=2 在△ADQ和△QCP中，=，∠C=∠D=90176。DF=3，EF=4，則△ABC和△EDF相似嗎？為什么？ 思路點(diǎn)撥：已知△ABC和△EDF都是直角三角形，且已知兩邊長(zhǎng)，所以可利用勾股定理分別求出第三邊AC和DE，再看三邊是否對(duì)應(yīng)成比例. 解：在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90176。角組成的三角形，.類(lèi)型二、相似三角形的判定 2．如圖所示，已知中，E為AB延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，AB=3BE，DE與BC相交于F，請(qǐng)找出圖中各對(duì)相似三角形，并求出相應(yīng)的相似比. 思路點(diǎn)撥：由可知AB∥CD，AD∥BC，再根據(jù)平行線(xiàn)找相似三角形. 解：∵ 四邊形ABCD是平行四邊形， ∴ AB∥CD，AD∥BC， ∴ △BEF∽△CDF，△BEF∽△AED. ∴ △BEF∽△CDF∽△AED. ∴ 當(dāng)△BEF∽△CDF時(shí)，相似比；當(dāng)△BEF∽△AED時(shí)，相似比； 當(dāng)△CDF∽△AED時(shí)，相似比. 總結(jié)升華：本題中△BEF、△CDF、△AED都相似，還需注意兩個(gè)三角形的先后次序，若次序顛倒，則相似比成為原來(lái)的倒數(shù). 3．已知在Rt△ABC中，∠C=90176。、45176。知識(shí)點(diǎn)12 相似多邊形的性質(zhì)(1)相似多邊形周長(zhǎng)比，對(duì)應(yīng)對(duì)角線(xiàn)的比都等于相似比．(2)相似多邊形中對(duì)應(yīng)三角形相似，相似比等于相似多邊形的相似比．(3)相似多邊形面積比等于相似比的平方．注意：相似多邊形問(wèn)題往往要轉(zhuǎn)化成相似三角形問(wèn)題去解決，因此，熟練掌握相似三角形知識(shí)是基礎(chǔ)和關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)13 位似圖形有關(guān)的概念與性質(zhì)及作法1. 如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線(xiàn)都交于一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形. 2. 這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱(chēng)為位似比. 注： （1） 位似圖形是相似圖形的特例，位似圖形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線(xiàn)相交于一點(diǎn). （2） 位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形. （3） 位似圖形的對(duì)應(yīng)邊互相平行或共線(xiàn).
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