初等數(shù)論中的幾個(gè)重要定理(競(jìng)賽必備)(參考版)
2025-06-21 07:03本頁(yè)面
【正文】 注：此題的論證表現(xiàn)了中國(guó)剩余定理最為基本的作用：將一個(gè)關(guān)于任意正整數(shù)的問(wèn)題，化為為素?cái)?shù)冪的問(wèn)題，而后者往往是比較好處理的。 ②有解。一般情形下，設(shè)是的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分解，上面已經(jīng)證明，對(duì)每個(gè)存在整數(shù)使得且，而由中國(guó)剩余定理，同余式實(shí)際上，能夠證明，存在使證明：存在整數(shù)使得，且。即在的標(biāo)準(zhǔn)分解中恰好出現(xiàn)一次，故都不是冪數(shù)。證明：取個(gè)互不相同的素?cái)?shù)，考慮同余組因?yàn)轱@然是兩兩互素的，故由中國(guó)剩余定理知，上述同余組有正整數(shù)解。例7．證明：對(duì)于任意給定的正整數(shù)，均有連續(xù)個(gè)正整數(shù)，其中每一個(gè)都不是冪數(shù)。注：（1）本題的解法體現(xiàn)了中國(guó)剩余定理的一個(gè)基本功效，它常常能將“找連續(xù)個(gè)正整數(shù)具有某種性質(zhì)”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“找個(gè)兩兩互素的數(shù)具有某種性質(zhì)”，而后者往往是比較容易解決的。 ①因?yàn)轱@然是兩兩互素的，故由中國(guó)剩余定理知，上述同余組有正整數(shù)解。證明：由于素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)，故我們可以取個(gè)互不相同的素?cái)?shù)，而考慮同余組5 c，因?yàn)椋瑒t，又，矛盾！從而3|.若 5 3 2 若2 如果是整數(shù)，求證：可以被30整除。證明：令，則；所以含有因式由Fetmat小定理，知13|7|又13，7，5，3，2兩兩互素，所以2730=能整除。所以是整數(shù)。證明：令，
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