【正文】 9. 求三個連續(xù)的自然數(shù)，使它們從小到大依次被 15，17，19 整除（寫出其中最小的一組）.解：由題設(shè)，得同余方程組化為標(biāo)準(zhǔn)形式為用孫子定理解，M=321，M1=19，M2=17，令19 M1′≡1(mod 17)， 得M1′≡9(mod 17)，17 M2′≡1(mod 19)， 得M2′≡9(mod 19)， 所以同余方程組的解是x≡19(－8)9 + 17910 ≡ 162 (mod 321). 本題所求的三個連續(xù)的自然數(shù)是16215，16215+1，16215+2，即2430，2431，2432。損失了93人。損失了93人?；蚶奂釉嚦?。方法二：用孫子定理解。方法二：用孫子定理解，M=77，M1=11，M2= 7，令11 M1′≡1(mod 7)， 得M1′≡2(mod 7)， 7 M2′≡1(mod 11)，得M2′≡－3(mod 11)， 所以同余方程組的解是x≡1123 + 7(－3)5≡－39≡38 (mod 77).(2) 方法一：設(shè)x=7+24y, 代入第一個同余方程，得24y≡6－7 (mod 13)， 得y≡7 (mod 13) 所以同余方程組的解是x≡7+247≡175 (mod 312)。而這里，(21, 35)=7，由定理可知，只需a≡8≡1(mod 7).即x = 1+7t ( t為整數(shù) )，題設(shè)的同余方程組總有解。2. 下列同余方程是否有解？為什么？如果有解，有多少個解？（1）8x+5≡0（mod 23）；（2）15x+7≡0（mod 12）；（3）34x≡0（mod 51）；（4）30x≡18（mod 114）；（5）174x≡65（mod 1309）.：（1）3x≡2（mod 7）；（2）9x≡12（mod 15）；（3）15x≡9（mod 6）； （4）20x≡44（mod 72）；（5）40x191≡0（mod 6191）；（6）256x≡179（mod 337）.：（1）20x≡4（mod 30）； （2）64x≡83（mod 105）；（3）57x≡87（mod 105）； （4）4x≡11（mod 15）；（5）47x≡89（mod 111）； （6）10x≡22（mod 36）.： （1）6x≡22（mod 36）； （2）3x≡10（mod 29）； （3）258x≡131（mod 348）；（4）11x≡7（mod 13）； （5）3x≡2（mod 17）； （6）243x≡102（mod 551）.：（1）5x≡13（mod 43）； （2）9x≡4（mod 2401）；習(xí)題43(P154)第2題a取什么值時，下面的同余方程組有解？解：因為(18, 21)=3, 3|8－5，所以有解；(18, 35)=1, 所以總是有解。6，通過分析得 x=3，y=11或x=4，y=9.5. x=1，y=51或 x= 2，y= 11.6. 原方程變形為 y=2+ 4x 1，可求得 x= 2，3，5，代入可求 y.7. x2+ y2+ z2= n=7（mod 8），則 x，y，z必有一奇數(shù) .由 x2≡1（mod 8），有 y2+ z2=6（mod 8），即y，z同奇同偶，同奇不成立，同為偶時，由 y≡4（mod8）產(chǎn)生矛盾 .8. x2+ y2= p≡3（mod4），當(dāng) x，y≡0，177。2，177。4. 因為 z4= (x44y4)2 = x8－8x4y4+ 16y8= (x4+ 4y4)2－(2xy)4，即(2xy)4+ z4=(x4+4y4)2，就是說，如果x44y4= z2有正整數(shù)解，則u4+v4= w2有正整數(shù)解，與已證定理矛盾，故無正整數(shù)解 .：每個正整數(shù) n 都可以寫為n = x2+ y2 z2，這里 x，y，z都是整數(shù) . x2－dy2= 1，當(dāng) d = 0、d = －d －1 時的非負(fù)整數(shù)解 .：2x2+ y2+3z2=10t2無正整數(shù)解 .5. 適當(dāng)取正整數(shù) x，使 n x2= m 為一正奇數(shù)，設(shè) y = m + 12 ，因為 y2 m =m 1()22= z2，得 n x2= y2－ z2.6. 當(dāng) d= 0時，x=1，y為任意非負(fù)整數(shù)；當(dāng) d= 1時，x= 1，y=0和 x= 0，y= 1；當(dāng) d 1時，x= 1，y=0.7. ∵y2+ 3z2是偶數(shù)，∴y與 z必同奇同偶 .若 y 與 z同為奇數(shù)，則 2x2+ y2+3z2被 8除和 10t2被 8 除的余數(shù)不相等，故 y 與 z一定同為偶數(shù) .令 y= 2y1，z=2z1，代入原式得，x2+ 2y21+ 6z21= 5t，同樣，x 和 t同奇同偶，也同樣排除 x 和 t同奇，令 x= 2x1，t= 2t1，代入得，2x21+ y21+ 3z21= 10t21，由于 0 t1 t，矛盾，從而得證 .習(xí)題 331. 求不定方程 4x24xy3y2=21的正整數(shù)解 .2. 求不定方程 x2+ y2=170的正整數(shù)解 .3. 求不定方程 x218xy+35=0的正整數(shù)解 .4. 求 4x22xy12x+5y+11=0的正整數(shù)解 .5. 求 x2+ xy6=0的正整數(shù)解 .6. 求 y (x+3y)/(x+2) =1的正整數(shù)解 .7. 設(shè) n =7（mod 8），則 n 不能表示為 3個平方數(shù)的和 .1. 由4x2－4xy－3y2= 21，得（2x+ y）（2x－3y）= 21. 得 2x+ y= 21， 2x+ y=7， 即 x= 8， x= 3，2x 3y=1， 2x 3y= 3. y= 5， y= 1.2. 由 x2+ y2=170知，x，y同為奇數(shù)或同為偶數(shù).x，y為偶數(shù)，則 x2+ y2有因數(shù) 4，而 170無 4因數(shù)；x，y為奇數(shù)，設(shè)x =2k+1, y = 2h+1, 代入化簡得k (k+1)+h (h+1) = 42, 僅當(dāng)k = 0, h = 6或k = 0, h = 6時可求得：3. x218xy+ 35=0，得 18y= ，x是 35的約數(shù)，得 x= 1，y= 2，或x=35，y=2.4. 由原方程變?yōu)椋簓= 2x－1+ ，2x－5是 6的約數(shù)：177。原方程的通解為（2）輾轉(zhuǎn)相除得15=111＋4, 11=42＋3, 4=3+1 ∴ 1 = 4－3=4－(11－42)= 43－11=(15－111) 3－11=153 + 11(－4)， ∴ 因此原方程的一個解是 x0＝－47＝－28， y0＝37＝21。驗算可知。10. 設(shè)質(zhì)數(shù) p3，x∈Z，試證：6p | xp x.11. p是不等于 2和 5的質(zhì)數(shù)，k是自然數(shù)，證明：.解答：10. ∵質(zhì)數(shù) p 3，∴ （6，p）=1，xp x= x（xp1 1）≡ 0（mod p）. 又 p 1是偶數(shù)，∴x（xp11）≡ x（x2 1）…（mod p）. 于是，當(dāng) 2 | x或 2 | x 時，x（x2 1）≡ 0（mod 2）；當(dāng) 3 | x或 3 | x時，x（x21）≡ 0（mod 3）.故 x（xp1 1）≡ 0（mod 6）.從而6 | p（xp x）.11. . 由條件，（10，p）= 1，∴ 10p1≡ 1（mod p）.∴ （10p1）k≡ 1（mod p）. ∴ .12. 設(shè)（m，n）=1，證明：m+ n≡1（mod mn）.證：∵（m，n）= 1，∴n≡1（mod m ），而 m≡ 0（mod m ），∴ m+n≡ 1（mod m）. 對稱可得 m+n≡ 1（mod n）. ∴ m+n≡ 1（mod mn）.13. 已知 a =18，m =77，求使 ax≡1（mod m）成立的最小自然數(shù) x. x=30.,由定理，滿足要求的最小自然數(shù) x必為60 p，q是兩個大于 3的質(zhì)數(shù)，求證：p2≡ q2（mod 24）. p是大于 5的質(zhì)數(shù)，求證：p4≡1（mod 240）.解答：3. 24=38，（3，8）= 1. 由條件，( p，3 ) = ( q，3 ) = 1，由費爾馬小定理有 p2≡1（mod 3）， q2≡1（mod3）. ∴ p2 ≡ q2（mod 3）. 又 ∵ p，q 必為奇數(shù)，由習(xí)題21第9題的結(jié)論，有p2≡1（mod 8），q2≡1（mod8）.∴ p2 ≡ q2（mod 8）. ∴ p2 ≡ q2（mod 24）.4. 240 = 3516，由條件，( p，3 ) = ( p，5 ) = 1，∴ p4≡1（mod5），p4≡（p2）2≡1（mod3）. 又 p為奇質(zhì)數(shù)，從而 2 |（p2+ 1），8 |（p21），∴ 16 |（p41），即 p4≡1（mod 16）. 而（3，5）=（3，16）=（5，16）= 1. ∴ p4≡1（mod 240）.5. 已知 p是質(zhì)數(shù)，（a，p）=1，求證：（1）當(dāng) a 是奇數(shù)時，ap1+(p－1)a ≡ 0（mod p）；（2）當(dāng) a 是偶數(shù)時，ap1－(p－1)a ≡ 0（mod p）.6. 已知 p，q 是 兩 相 異 的 質(zhì) 數(shù)，且 ap1≡1（mod q），aq1≡1（mod p），求證：apq≡ a（mod pq）.解答：5.（1）由 p 是 質(zhì) 數(shù)，（a，p）= 1，a 為 奇 數(shù)，有 ap1≡ 1（mod p）.(p－1)a ≡－1（mod p），∴ ap1+ (p－1)a≡ 1－1≡ 0（mod p）. （2）由條件，ap1≡1（mod p）, (p－1)a≡1（mod p），∴ap1