【正文】 pk(1?p),(p≠1)，則 Sk＝______________． 6．若 (x?1)2+(y?1)2?1，則 13yx?? 的范圍是 ___________________． 7．邊長為 4 的正方形 ABCD 沿 BD 折成 60o 二面角，則 BC 中點(diǎn)與 A 的距離是 _________． 8．已知 |z1|?2， |z2|?3， |z1+z2|?4，則 12zz ?______________． 9．解方程 3log 2a x xx a? ， x＝ ________________． 10． (a0)， lim2 nnnn a a?? ? ＝ ______________． 二、解答題 (本大題共 120 分 ) 11．已知 |z|＝ 1，求 |z2+z+4|的最小值． 12 ． a1,a2,a3,…,an 是各不相同的自然數(shù)， a≥2，求證：1 2 31 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 2a a a ana a a a? ? ? ? ?． 13．已知 3sin cos 2????， cos si n 2????，求 tan cot??? 的值． 14．一矩形的一邊在 x 軸上，另兩個(gè)頂點(diǎn)在函數(shù) 21 xy x? ? (x0)的圖象上， 求此矩形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的幾何體的體積的最大值． 15．一圓錐的底面半徑為 12，高為 16，球 O1 內(nèi)切于圓錐，球O2 內(nèi)切于圓錐側(cè)面，與球 O1 外切， ? ，以次類推， (1) 求所有這些球的半徑 rn的通項(xiàng)公式； (2) 所 有 這 些 球 的 體 積 分 別 為 V1,V2,…,Vn,… ．求12lim ( )nn V V V?? ? ? ?． 16 ．已知數(shù)列 {an} 的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，1( 1 ) ( 1 1 ) ( 1 )na n n n n n n? ? ? ? ? ? ? ?，求 S2020． 17．定義閉集合 S，若 ,ab S? ，則 a b S?? ， a b S?? ． (1) 舉一例，真包含于 R 的無限閉集合． (2) 求證對任意兩個(gè)閉集合 S1,S2? R，存在 cR? ，但 12c S S??． 同濟(jì)大學(xué) 2020 年暨保送生考 試數(shù)學(xué)試題 一、填空題 1． f(x)是周期為 2 的函數(shù)，在區(qū)間 [?1,1]上， f(x)?|x|，則3(2 )2fm? ?___(m為整數(shù) )． 2 ． 函 數(shù) y?cos2x?2cosx,x ∈ [0,2?] 的 單 調(diào) 區(qū) 間 是__________________． 3．函數(shù) 222y x x??的值域是 __________________． 4． 5．函數(shù) y＝ f(x)， f(x+1)?f(x)稱為 f(x)在 x 處的一階差分，記作 △y，對于 △y 在 x 處的一階差分，稱為 f(x)在 x 處的二階差分 △2y，則y＝ f(x)＝ 3x ①求 1nA? 與 nA 的關(guān)系； ②求 limnn A?? 。 ,AB兩人輪流擲一個(gè)骰子，第一次由 A 先擲，若 A 擲到一點(diǎn)，下次仍由 A 擲：若 A 擲不到一點(diǎn)，下次換 B 擲，對 B 同樣適用規(guī)則。 數(shù)列 ??na 滿足 21 21nnaa? ??， 1Na ? 且 1 1Na? ? ，其中 ? ?2,3, 4,N ? ①求證： 1 1a? ； ②求證： ? ?1 2co s 2 Nka k Z????。 ②若有 2 sin116xxx? ? ? ，利用①的結(jié)論求1 1 1l im 1 s in 1 2 s in s in2n nnn????? ? ? ? ? ????? 若 ? ?x f x? ，稱 x 為 ??fx的不動(dòng)點(diǎn)， ? ? 2xafx xb?? ? ①若 ??fx有關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求 ,ab滿足的關(guān)系； ②畫出這兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)的草圖。 在一個(gè)環(huán)形地帶上順次有五所學(xué)校 A、 B、 C、 D、 E，它們各有1 1 14 臺機(jī)器，現(xiàn)要使機(jī)器平均分配，規(guī)定機(jī)器的運(yùn)輸必須在相鄰學(xué)校間進(jìn)行，為使總的運(yùn)輸臺數(shù)最少，則 A 應(yīng)給B_______________ 臺， B 應(yīng)給 C_______________ 臺 ， A 給 E_______________臺，總共運(yùn)輸 _______________臺。 若不等式 20 5 4x ax? ? ? ?只有唯一實(shí)數(shù)解，則 a? _______________。 ABC 三邊長 ,abc滿足 abc??， bn? ， ? ?*,a b c N? ，則不同的三角形有 _______________個(gè)。 92 112x x????????的展開式中 9x 的系數(shù)為 _______________。 一個(gè)圓內(nèi)接四邊形 ABCD，已知 AB＝ 4， BC＝ 8， CD＝ 9， DA＝7，則 cosA? _______________。 2 2 21 1 11 1 123 n? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?_______________。 若 2 2 2xx???，則 8x? _______________。 函數(shù) y ax b??? ?,ab Z? 的圖象與三條拋物線 2 3yx??、 2 67y x x? ? ? 、2 45y x x? ? ? 分別有 2， 1， 0 個(gè)交點(diǎn)，則 ? ?,ab? _______________。 證明方程： 3321xy??的任一組整數(shù)解 ? ?? ?,0x y y ? 都 有：13342xy y??。 已知： 0. 30 10 lg 2 0. 30 11??，要使數(shù)列 ? ?3 , 3 lg 2 , , 3 1 lg 2n? ? ?的前 n 項(xiàng)和最大，求 n 。 153 1xx???????中不含 x 的項(xiàng)為 _______________。 ABC 中， ? ? ? ?c os 2 c os 2A C B C? ? ?，則 ABC 為 _______________。 平面 12,??成 ? 角，一橢圓 1E ?? 在 2? 內(nèi)射影為一個(gè)圓，求橢圓長軸與短軸之比 _______________。 ,x y R? ， ? ?? ?222 2 2 2 1x x y y? ? ? ? ?，則 xy??_______________。+…+i40cos3645176。+icos135176。角的頂點(diǎn)開始，在一邊截取 9 厘米的線段，在另一邊截取 a 厘米的線段，求兩個(gè)端點(diǎn)間的距離 ”，其中 a 厘米在排版時(shí)比原稿上多 1．雖然如此，答案卻不必改動(dòng)，即題目與答案仍相符合，則排錯(cuò)的 a ＝________________． 10．任意擲三只骰子，所有的面朝上的概率相同，三個(gè)朝上的點(diǎn)數(shù)恰能排列成公差為 1 的等差數(shù)列的概率為 _________________． 二、選擇題（本題共 32 分，每小題 4 分） 11． a0， b0， 若 (a+1)(b+1)＝ 2，則 arctana+arctanb＝ ( ) A． 2? B． 3? C． 4? D． 6? 12．一個(gè)人向正東方向走 x 公里，他向左轉(zhuǎn) 150176。 na 為遞增數(shù)列， 1 1a? ， 2 4a? ，在 yx? 上對應(yīng)為 ? ?,n n nP a a ，以 1,nnOP OP?與曲線 1nnPP? 圍成面積為 nS ，若 ??nS 為 45q? 的 等比數(shù)列，求 1 ii S??? 和limnn a?? 。 xR?? ，求? ?? ?6 663331 21x x xxfxx x xx????? ? ? ????????? ? ?????的最小值。 擲 三 粒骰 子 ，三 個(gè) 朝上 點(diǎn)恰 成 等差 列 ? ?1d? 的概率為_______________。 ? ?4212xx?? 展開式中 7x 系數(shù)為 _______________。 有一盒大小相同的球，它們既可排成正方形，又可排成一個(gè)正三角形，且正三角形每邊上的球恰比每邊上正方形多 2 個(gè)小球，球數(shù)為 _______________。 2 sin sin cos? ? ???， 2si n si n cos? ? ?? ，求 cos2cos2??? _______________。 ? ? ? ? ? ?2 3 4 3 4 2 4 2 3l o g l o g l o g l o g l o g l o g l o g l o g l o g 0x y z? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?求x y z? ? ? _______________。 ③求棱柱的體積。 ①證明 :側(cè)面 11AABB 和 11AACC 都是菱形， 11BBCC 是矩形。②求 ??nb 中所有不同兩項(xiàng)的乘積之和。 已知橢圓 ? ?2 2 12xa y? ??與拋物線 2 12yx? 在第一象限內(nèi)有兩個(gè)公共點(diǎn) ,AB，線段 AB 的中點(diǎn) M 在拋物線 ? ?2 1 14yx??上，求 a 。 ，集合 C 含有三個(gè)元素，且其中至少有一個(gè) A 的元素，符合上述條件的集合 C 的個(gè)數(shù)是（ ） A． 55 B． 52 C． 34 D． 35 全面積為定值 2a? （其中 0a? ）的圓錐中，體積的最大值為（ ） A． 323 a? B． 3212 a? C． 316a? D． 336 a? 已知： sin sin a????， cos cos 1a??? ? ?，求 ? ?sin??? 及 ? ?cos ??? 。y f x a b? ? ? 設(shè)有四個(gè)命題： ①兩條直線無公共點(diǎn)，是這兩條直線為異面直線的充分而不必要條件； ②一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)無數(shù)條直線是這條直線垂直于這個(gè)平面的充要條件； ③空間一個(gè)角的兩邊分別垂直于另一個(gè)角的兩邊是這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)的充要條件。y f x a b? ? ? D． ? ?39。y f x a b? ? ? C ． ? ?39。y f x a b? ? ? B． ? ?39。 （結(jié)果用數(shù)值表示） 函數(shù) ? ? 3c o s c o s 2g x x x? ? ???? ? ?????的最小正周期是（ ） A． 2? B． ? C． 2 D． 1 設(shè)函數(shù) ? ?f x x? 的反函數(shù)為 ? ?1fx? ，則對于 ? ?0,1 內(nèi)的所有 x 值，一定成立的是（ ） A ． ? ? ? ?1f x f x?? B ． ? ? ? ?1f x f x?? C ． ? ? ? ?1f x f x?? D． ? ? ? ?1f x f x?? 138 除以 9 所得的余數(shù)是（ ） A． 6 B． 1? C． 8 D． 1 拋物線 ? ?2 41yx?? ? 的準(zhǔn)線方程為（ ） A． 1x? B． 2x? C． 3x? D． 4x? 由參數(shù)方程11xttytt? ?????? ???? 所表示的曲線是（ ） A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓 己知拋物線 2 52y x x? ? ? 與 2y ax bx c? ? ? 關(guān)于點(diǎn) ? ?3,2 對稱，則 abc??的值為（ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 作坐標(biāo)平移，使原坐標(biāo)下的點(diǎn) ? ?,0a ，在新坐標(biāo)下為 ? ?0,b ，則 ? ?y f x?在新坐標(biāo)下的方程為（ ） A． ? ?39。 正方體 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， 1BC 與截面 11BBDD 所 成 的 角 為_______________。 與 正 實(shí) 軸 夾 角 為 ? ?arcsin sin3 的 直 線 的 斜 率 記 為 k ，則arctank? _______________。 橢圓 34 2cos? ?? ? 的焦距是 _______________。 直線 2 7 8 0xy? ? ? 與 2 7 6 0xy? ? ? 間的距離是 _______________。 2020 復(fù)旦基地班數(shù)學(xué)試題 設(shè)函數(shù) xy xa? ? 的反函數(shù)是它自身，則常數(shù) a? _______________。 0 1f ? ，求函數(shù) ??fx的解析式。 若方程 3 27 0x x m? ? ?有 3 個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍。 已知 22u y x??， 2v xy? ， ①若點(diǎn) ? ?,xy 在單位圓上以 ? ?0,1 為起點(diǎn)按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)一圈，求點(diǎn)? ?,uv 的軌跡； ②若點(diǎn) ? ?,xy 在直線 y ax b??上運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn) ? ?,uv 在過點(diǎn) ? ?1,1 的直線上運(yùn)動(dòng)，求 a ， b 的值。 拋物線 ? ?2 0y x x??上，點(diǎn) A 坐標(biāo)為 1,03???????，拋物線在 P 點(diǎn)的切線與 y軸及直線 PA 夾角相等，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)。（取出的數(shù)不分先后