高考金鑰匙數(shù)學(xué)解題技巧大揭秘專題十一數(shù)列的綜合應(yīng)用問題(參考版)
2025-06-11 00:31本頁(yè)面
【正文】 ＝2 011＋ana2 011＝2 011，故選A.]由于數(shù)列與函數(shù)的緊密聯(lián)系，近幾年高考在數(shù)列與函數(shù)的綜合處命題有加強(qiáng)的趨勢(shì)，?？疾橐院瘮?shù)為背景的數(shù)列問題，該類問題的知識(shí)綜合性比較強(qiáng)，能很好地考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力．需掌握與函數(shù)、函數(shù)性質(zhì)等相關(guān)方面的知識(shí)，難度較大． 【例2】已知函數(shù)f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7.(1)設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖象的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{an}，求證：{an}為等差數(shù)列；(2)設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖象的頂點(diǎn)到x軸的距離構(gòu)成數(shù)列{bn}，求{bn}的前n項(xiàng)和Sn.[審題視點(diǎn)] [聽課記錄][審題視點(diǎn)] (1)配方可求頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再用定義可證；(2)由bn＝|an|知分類求和．(1)證明 ∵f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7＝[x－(n＋1)]2＋3n－8，∴an＝3n－8，∴an＋1－an＝3(n＋1)－8－(3n－8)＝3，∴數(shù)列{an}為等差數(shù)列．(2)解 由題意知，bn＝|an|＝|3n－8|，∴當(dāng)1≤n≤2時(shí)，bn＝8－3n，Sn＝b1＋…＋bn＝＝＝.[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]當(dāng)n≥3時(shí)，bn＝3n－8，[來(lái)源:]Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝5＋2＋[1＋4＋…＋(3n－8)]＝7＋＝，∴Sn＝, 解決此類問題時(shí)要注意把握以下兩點(diǎn)：(1)正確審題，深摳函數(shù)的性質(zhì)與數(shù)列的定義；(2)明確等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)、求和公式的特征．【突破訓(xùn)練2】已知函數(shù)f(x)＝(x－1)2，數(shù)列{an}是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，點(diǎn)(an＋1，S2n－1)在函數(shù)f(x)的圖象上；數(shù)列{bn}滿足bn＝n－1.(1)求an；(2)若數(shù)列{}滿足＝，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和．解 (1)因?yàn)辄c(diǎn)(an＋1，S2n－1)在函數(shù)f(x)的圖象上，所以a＝S2n－1.令n＝1，n＝2，得即由①知a1＝0或a1＝1，∵a1≠0，∴a1＝②解得d＝－1或d＝2，又d＝－1時(shí)，a2＝0不合題意，∴d＝－1(舍去)，∴d＝＝2n－1.(2)由(1)得＝＝＝.令Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋，則Tn＝＋＋＋…＋＋，①Tn＝＋＋＋…＋＋，②①－②得，Tn＝＋＋＋＋…＋－＝1＋專題十一 數(shù)列的綜合應(yīng)用問題1．定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)，如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列{an}，{f(an)}仍是等比數(shù)列，則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”，現(xiàn)有定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函數(shù)：①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝；④f(x)＝ln|x|.[來(lái)源:學(xué)*科*網(wǎng)Z*X*X*K]其中屬于“保等比數(shù)列函數(shù)”的f(x)的序號(hào)為( )． A．①② B．③④ C．①③ D．②④答案： C [設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則{a}的公比為q2，{}的公比為，其余的數(shù)列不是等比數(shù)列．]2．設(shè)Sn是公差為d
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