【正文】 記作： xn+1=g(x) h(x) 生成多項式 g(x)寫作： g(x) =Xnk+gnk1Xnk1+…+g1X+。 由上可知，是循環(huán)碼的 (nk)次碼序，所有循環(huán)碼字都由 g(x)生成。 綜上可得： C(x)=M(x) 顯然 g(x)是次數(shù)最低的碼多項式。 在上式中?。? M(x)=mk1Xk1+mk1Xk1+…+m1X+m0 M(x)是信息多項式，其信息位 mi為 “ 0”或 “ 1”，共有 k個信息位，所以 M(x)共有 2k種形式。循環(huán)碼是線性碼，由線性碼的性質得：這 k個碼字的線性組合也是一個碼字。 (n,k)循環(huán)碼共有 2k個碼字，從中取出一個前面 k1位都是 0的碼字，以 g(x)表示， g(x)的次數(shù)是 n1(k1)=nk。C(x)=1Xn+ 2Xn1+ …+ c1X2+ c0X 上式左邊是碼多項式，右邊是循環(huán)碼字移位一次，兩者相等。 一個 (n,k)循環(huán)碼字循環(huán)移位一次，是原來碼多項式乘以 X。 一、循環(huán)碼的基本概念和特點 (n,k)循環(huán)碼是線性分組碼，并且任一碼字的每次循環(huán)移位 (左移或右移 )得到的仍是一個碼字。用以表示碼組的多項式叫做碼多項式，記作 C(x)=1Xn1+ 2Xn2+ …+ c1X+ c0 兩個多項式的運算是其對應項系數(shù)的運算，即分離系數(shù)法的運算。 循環(huán)碼可用多項式來分析，多項式系數(shù)是 “ 0”或 “ 1”.多項式的系數(shù)是按照冪次排列的一組有序數(shù)組，一個信息組（碼組）也是一組有序數(shù)組。它有嚴格的代數(shù)結構，用代數(shù)方法可以找出許多編碼效率高、檢、糾錯能力強的循環(huán)碼來。 167。 也可以寫成 R=C+E 令 S=RHT，稱為伴隨式或校正子，則 S=RHT=(C+E)HT=EHT 由此可見，伴隨式 S與錯誤圖樣 E之間有確定的線性變換關系。非典型形式的矩陣經(jīng)過運算也可以化成典型形式的生成矩陣。 G為 k n階矩陣，各行也是線性無關的。 若把監(jiān)督方程補充為下列方程： ????????????????????????34603561456233445566cccccccccccccccccccc可改寫為矩陣形式 : 即 變換為 C=[c6 c5 c4 c3]可以寫成 H=[P Ir]形式的矩陣稱為典型監(jiān)督矩陣。 H為 r n階矩陣， H矩陣每行之間是彼此線性無關的。 序號 碼字 序號 碼字 信息元 監(jiān)督元 信息元 監(jiān)督元 0 0000 000 8 1000 111 1 0001 011 9 1001 100 2 0010 101 10 1010 010 3 0011 110 11 1011 001 4 0100 110 12 1100 001 5 0101 101 13 1101 010 6 0110 011 14 1110 100 7 0111 000 15 1111 111 462 監(jiān)督矩陣 H和生成矩陣 G 上述 (7,4)碼的 3個監(jiān)督方程式可以改寫為： 這組線性方程可用矩陣形式表示為： 并簡記為： HCT=0T 或 CHT=0 其中， CT是 C的轉置， 0T是 0=[000]的轉置， HT是 H的轉置。經(jīng)計算可得 (7,4)碼的全部碼字。 現(xiàn)以 (7,4)分組碼為例來說明線性分組碼的特點。或者說，可用線性方程組表述規(guī)律性的分組碼稱為線性分組碼。 小組 碼 字 信息元 校驗元 1 11101 1 2 10111 0 3 01101 1 4 11011 0 5 10101 1 校驗元 01001 0 167。傳送時可以按列傳送也右按行傳送。 110111011011101…10101 小組 碼 字 信息元 校驗元 1 11100 1 2 10111 0 3 01101 1 4 11011 0 5 10101 1 (方陣碼 ) 水平垂直一致校驗碼又稱方陣碼。傳送時以列傳輸：首先傳輸?shù)谝涣校賯魉偷诙?，最后傳送校驗元列。下表列出?3： 2定比碼的許用碼組： 十進制數(shù) 3： 2定比碼 十進制數(shù) 3： 2定比碼 0 01101 5 00111 1 01011 6 10101 2 11001 7 11100 3 10110 8 01110 4 11010 9 10011 水平一致校驗碼的如下表所示。也就是說，能發(fā)現(xiàn)所有的奇數(shù)個碼元的錯誤。 n中取 m碼，其許用碼組數(shù)可 由下式給出： !)!(!mmnnC mn ??定比碼比奇偶監(jiān)督更為嚴格。 簡單講，這種碼就是 “ 從 n中取 m” (mn)，這里 n為碼組長度，m為每個許用碼組中 “ 1”的數(shù)目，例如 “ 從 5中取 3”的定比碼，就是以 5位二進制數(shù)字組成一個碼組，這樣組成的碼組總共有25=32種。 2．定比碼 定比碼是使所編碼字中 “ 1”的數(shù)目保持一定，而在接收端檢查碼字中 “ 1”的數(shù)目是否為給定常數(shù)，借此來檢出錯碼。 即使發(fā)現(xiàn) “ 1”或 ” 0”有奇數(shù)個錯誤，也不能確定是 1個還是 3個或更多個奇數(shù)位錯誤，因此不能糾正錯誤。 不能檢測偶數(shù)個錯誤。 最小距離 d0=2不變，因此僅能檢出 1位錯碼，無糾錯能力。 奇數(shù)監(jiān)督碼或偶數(shù)監(jiān)督碼，還可統(tǒng)稱為奇偶監(jiān)督碼 (或稱奇偶校驗碼 )。 45 常用檢錯碼 若構成一個 (n,n1)碼，則有 k=n1個信息元為 1,2,…c1，r=1個監(jiān)督元為 c0，當偶數(shù)監(jiān)督時，它們之間的關系為： 1+2+3+…+c1=c0 (模 2) 保證所編出的每一個碼字中 “ 1”的數(shù)目是偶數(shù)，故稱這種 (n,n1)碼為偶數(shù)監(jiān)督碼。 簡便：實現(xiàn)編譯碼的設備和方法應力求簡便。 可靠：應該能檢測或糾正最可能出現(xiàn)的那些錯誤類型。 ????10)(niiccW 由于線性碼中任意兩個碼字之和為另一個碼字，故任意兩個碼字之間的最小距離必為另一碼字的最小重量，故線性碼的最小距離等于碼的最小重量。 一個碼字的 重量 就是該碼字中非零元素的數(shù)目，用 W表示，在二進制下就是 “ 1”的數(shù)目。 R的大小表示信道中信息元的利用率的大小，故又稱 R為傳信率。 一個碼字中信息元所占的比重稱為 編碼效率 。 最小距離越大， 2k個碼字之間的差別越大，某一個碼字因干擾而畸變成另一個碼字的可能性越小，即該 (n， k)碼的抗干擾性越強。 任何兩個碼字之間對應位取值不同的個數(shù)，稱為兩個碼字之間的 “ 漢明距離 ” ，簡稱 距離 ，用 d表示。 4． 4． 2 抗干擾編碼的基本原理 現(xiàn)用一種按重復規(guī)則編成的線性分組碼作為例子，進一步說明抗干擾編碼的基本原理及一些重要概念。 分組碼；卷積碼。 分類： 檢錯碼；糾錯碼。 由信息元變換為碼字的過程稱為抗干擾編碼。 采用其中 k個信息位組成 2k個組，稱為許用碼組，簡稱碼字。 表示信息的 k個碼元，稱這個 k個碼元為信息元， 按照一定規(guī)則附加的 r個不含有信息的碼元稱為監(jiān)督元，n=k+r個碼元組成的數(shù)字序列共有 2n種可能的組合。也就是使碼字的抗干擾能力強。要求： (1)編出的碼字能盡快地在噪聲信道上傳輸，即提高傳輸率。 信源譯碼器根據(jù)信源編碼規(guī)則，變 M′為原信源輸出 S的估值 S′，并送至用戶使用。 抗干擾譯碼器完成以下兩項任務： (1)設法檢查并糾正 R中的傳輸錯誤，產(chǎn)生真正發(fā)送碼子C的估值。 信道是包括調制器、實際通信線以及調解器在內(nèi)的廣義信道。抗干擾編碼的目的是提高信息序列 M的抗干擾能力，使之能應付信息中的干擾。故信源編碼又稱有效性編碼。序列中的每一位 “ 0”或 “ 1”稱為一位碼元。 S39。從通信觀點我們把它看成下圖所示的模型。遠動信號從發(fā)送端經(jīng)信道傳送到接收端，由于在信道中不可避免地存在著干擾和噪聲，這就有可能在接收時產(chǎn)生差錯。 167。 優(yōu)點：不需要糾錯、檢錯譯碼器，控制設備和檢錯設備都比較簡單。 4．信息反饋 (IRQ) 也就是信息重傳請求 IRQ (Information Repeat Request)，將接收到的數(shù)據(jù)原封不動地通過反饋信道送回到發(fā)送端。 HEC系統(tǒng)是在 ARQ系統(tǒng)中包含一個 FEC系統(tǒng)，發(fā)送端同時具有糾錯和檢錯能力的碼組，接收端收到碼組后，如果差錯在碼的糾錯能力以內(nèi)，則自動地進行糾正，如果信道的干擾很嚴重，錯誤超過了碼的糾錯能力，但尚能檢測出來，則經(jīng)反饋信道請求發(fā)送端重發(fā)該組數(shù)據(jù)。 缺點：必須有反饋信道，不能用于單向傳輸系統(tǒng)及同播系統(tǒng)，實現(xiàn)控制比較復雜，當信道干擾大時通信效率會大大降低，因而影響實時性。發(fā)送端發(fā)送檢錯碼，接收端檢查出差錯后，經(jīng)由反向信道要求發(fā)送端重發(fā)的一種差錯控制方式。 缺點：譯碼設備比較復雜，所用糾錯碼必須與信道的差錯統(tǒng)計特性相一致，為了糾正較多的錯誤要求附加的冗余碼元較多，可達 25％一 50％，因而傳輸效率較低，當信道中產(chǎn)生的錯誤超過碼的糾錯能力時，就有可能把錯誤的數(shù)據(jù)送給用戶 (即發(fā)生錯譯 )。接收端收到碼后，按預先規(guī)定的規(guī)則進行譯碼，首先判斷接收碼組中是否發(fā)生過錯誤，若有錯誤則確定錯誤的位置并把它糾正。在圖中深色方框表示在該端檢查出差錯。 為了發(fā)現(xiàn)在傳輸過程中出現(xiàn)的差錯并加以糾正，并從整體出發(fā)應該考慮如何控制出現(xiàn)的差錯，稱為差錯控制方式。 對隨機信道來說，差錯序列中 1的分布是隨機的，而對突發(fā)信道來說， 1的分布是密集的。 差錯序列和錯誤圖樣中的 0表示該位沒有發(fā)生錯誤， 1表示該位發(fā)生了錯誤。發(fā)生這種突發(fā)錯誤的信道稱為記憶信道或突發(fā)信道 發(fā)送序列： 00000000001111111111 接收序列： 01100100001010100111 差錯序列： 01100100000101011000 突發(fā)長度 b：該突發(fā)錯誤中第一個錯誤到最后一個錯誤的長度。 43 錯誤圖樣及差錯控制方式 數(shù)據(jù)在信道中傳輸時要受到各種干擾，但各種干擾所引起的錯誤都可歸納為以下兩種形式： 隨機錯誤： 數(shù)據(jù)序列中前后碼元之間是否發(fā)生錯誤彼此無關，產(chǎn)生這種錯誤的信道稱為無記憶信道或隨機信道，例如深空信道、衛(wèi)星信道等。 在一定傳輸速率下，降低誤碼率的方法可歸納為兩類 : 選擇適用的調制制度和調解方法； 采用抗干擾編碼。傳輸速率越高，即每秒內(nèi)傳送的二進制碼元越多，則每個碼元所占用的時間就越短，波形也越窄，能量亦越少，因而受到干擾后錯誤的可能性就越大，傳送信息的可靠性就越低。 傳輸錯誤率則可有以下三種表達方式： (1)誤碼率 (Pe)： (2)誤比特率 (Pb)： 傳輸 消息的 總碼 元 數(shù)錯誤 接收消息的 碼 元 數(shù)?eP傳輸 消息的 總 比特 數(shù)錯誤 接收消息的比特 數(shù)?bP對二進制信號而言，誤比特率和誤碼率是相同的。設信息速率為 Rb，則有下列數(shù)值關系： Rb=RNlog2N (bit/s) 對數(shù)字信號的傳輸要求，可以從數(shù)量和質量兩個方面提出要求。 一般一個 N進制碼元可用 log2N(整數(shù) )個二進制碼元表示。消息傳送速度可用碼元傳輸速度來表征。 信息傳輸速率又稱信息速率或傳信率，它被定義為每秒傳送的信息量，單位是 bit/s。 )(lo g 2 b i tPI ??)(121lo g 2 b i tI ??? 一個消息如果用一位 N進制符號表示，那么它的信息量就是： I=log2N (bit) 消息的信息量相當于被運送貨物的 “ 重量 ” ，傳送信息的多少就直觀地使用 “ 信息量 ” 去衡量。 如果一個消息有 2n個狀態(tài)，它就有 n比特的信息量，可用 n位二進制符號表示。 本節(jié)只討論各種事件都是等概率出現(xiàn)的情況。消息的信息量可按下式計算： 式中： P—事件發(fā)生的