【正文】 (1)單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差 pzzzkzGzzzGzzEze1)](1[lim11)(1)1(lim)()1(lim)(111??????????????式中 稱為靜態(tài)位置誤差系數(shù)。 與線性連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差分析類似引出離散系統(tǒng)型別的概念，由于 的關系，原線性連續(xù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) G(s)在 s=0處極點的個數(shù) v作為劃分系統(tǒng)型別的標準，可推廣為將離散系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù) G(z)在 z=1處極點的數(shù)目 v作為離散系統(tǒng)的型別 ,稱 v=0,1,2,….. 的系統(tǒng)為 0型、 I型、 II型離散系統(tǒng)。( t)求取外，還可以應用 Z變換的終值定理來計算。 下面僅介紹穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)的計算。 圖 824 例 818離散系統(tǒng) 第 8章 采樣控制系統(tǒng) ? ?))(1()1()1()1()(1)(SSk12TezztTeTezTTekZzzG????????????????0)()()( 2?????? kzkzzD0)1 0 3 ()5 2 6 (6 3 )( 2??????kwkkwwD由勞斯判據(jù) KC= W域： 0)0 1 1 () 8 (1 9 )( 2??????kwkkwwD第 8章 采樣控制系統(tǒng) 由勞斯判據(jù) KC= )(1)()(zGzGz???])1([)]1()1([)]1()1[(2 TTTTTTTTeTeeKzeTeKzTeezTeK???????????????????????且由 ，可求得 C(z)表達式 1)( ?? zzzR 取 K=1， T=, 1, 2, 4s，可由 C(z)求 Z反變換得到c(kT)，見圖 825 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 圖 825 不同 T時的響應 返回 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 167。 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 采樣周期與開環(huán)增益對穩(wěn)定性的影響 例 818 設有零階保持器的離散系統(tǒng)如圖 824所示，試求： （ 1）當采樣周期 T分別為 1(s)， (s)時，系統(tǒng)的臨界開環(huán)增益 Kc。 解 由于 n=4, 2n－ 3=5, 故朱利陣列有 5行 5列。 |q0||q2| 只有當上述諸條件均滿足時，離散系統(tǒng)才是穩(wěn)定的， 否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。從第三行起，陣列中各元的定義如下： kknnk aaaab ?? 0kknnk bbbbc 110 ????kknnk ccccd 220 ????03300 ppppq ?12301 ppppq ?21302 ppppq ?k=0,1,…, n－ 1 k=0,1,…, n－ 2 k=0,1,…, n－ 3 …………… 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 朱利穩(wěn)定判據(jù) 特征方程 D(z)=0的根，全部位于 z平面上單位圓內(nèi)的充分必要條件是 D(1)0， D(－ 1) 0， 當 n為偶數(shù)時； D(－ 1)0， 當 n為奇數(shù)時； 以及下列 (n－ 1)個約束條件成立 |a0| an， |b0||bn－ 1|， |c0||－ 2| |d0||dn－ 3|， 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 朱利穩(wěn)定判據(jù) 朱利判據(jù)是直接在 Z域內(nèi)應用的穩(wěn)定判據(jù)，類似于連續(xù)系統(tǒng)中的赫爾維茨判據(jù)，朱利判據(jù)是根據(jù)離散系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程 D(z)=1+GH(z)=0的系數(shù)，判別其根是否位于 Z平面上的單位圓內(nèi)，從而判斷該離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 例 816 設閉環(huán)離散系統(tǒng)如圖 823所示，其中采樣周期 T=(s)，試求系統(tǒng)穩(wěn)定時 k的變化范圍。因此經(jīng)過雙線性變換后，可以使用勞斯判據(jù)了。這種新的坐標變換，稱為雙線性變換，又稱為 W變換。但是，對于線性采樣系統(tǒng)，直接應用勞斯判據(jù)是不行的，因為勞斯判據(jù)只能判別特征方程的根是否在復變量 s平面虛軸的左半部。其中比較常用的代數(shù)判據(jù)就是勞斯判據(jù)。 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 應當指出，如同分析連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性一樣，用解特征方程根的方法來判別高階采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性是很不方便的。 其特征方程為 01 ??? ）（）（ zGHzD 顯然，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根 λ λ … λn即是閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點。 s平面的左、右半平面在 z平面上的映像為單位圓的內(nèi)、外部區(qū)域。 當 s位于 S平面虛軸的左邊時， σ為負數(shù)， 小于 1。后者是 Z平面上的一個向量，其模等于 1，與頻率 ω無關；其相角為 ωT，隨頻率 ω而改變。對線性離散系統(tǒng)進行了 Z變換以后，對系統(tǒng)的分析要采用 Z平面，因此需要弄清這兩個復平面的相互關系。 采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定條件 在線性連續(xù)系統(tǒng)中，判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性是根據(jù)特征方程的根在 s平面的位置。 對于采樣開關在閉環(huán)系統(tǒng)中具有各種配置的閉環(huán)離散系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖，及其輸出采樣信號 Z變換函數(shù) Y(z)可參見表 81。 圖 818 閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)： )(1)()()()(zHGzGzRzYz????閉環(huán)誤差脈沖傳遞函數(shù)： )(11)()()(zHGzRzEze ????與連續(xù)系統(tǒng)類似，令 或 的分母多項式為零，便可得到離散系統(tǒng)的特征方程： )(z? )(ze?0)(1)( ??? zGHzD需要指出，離散閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)不能從 和 求 Z變換得來，即 )(s?)(se?)]([)( sZz ??? )]([)( sZz ee ???第 8章 采樣控制系統(tǒng) 通過與上面類似的方法可以導出采樣器為不同配置形式的其它閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)。圖818是比較常見的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。 圖 817：帶 有零階保持器的開環(huán)系統(tǒng) 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 根據(jù)實數(shù)位移定理及采樣拉氏變換性質(zhì)，可得 )(])()([)( * sXs sGes sGsY psTp ???)(])([)(])([)( 1 zXs sGZzzXs sGZzY pp ???于是，有零階保持器時，開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù) ])([)1()( )()( 1 ssGZzzX zYzG p????第 8章 采樣控制系統(tǒng) 例 813 設離散系統(tǒng)為具有零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)， )()( assasGp ?? 解： 因為 )11(11)()(22 assasassassG p??????求系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù) G(z)。但環(huán)節(jié)之間存在采樣開關與否時的脈沖傳遞函數(shù)不相等。無采樣開關分隔的兩個線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時，其脈沖傳遞函數(shù)等于這兩個環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之積的 Z變換。 圖 816：環(huán)節(jié)串聯(lián)的結(jié)構(gòu) 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣器時的脈沖傳遞函數(shù) ）（）（ ）（）（ zGGzX zYzG 21??串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣器時的脈沖傳遞函數(shù) ）（）（）（ ）（）（ zGzGzX zYzG 21?? 上式表明，被采樣開關分隔的兩個線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時，其脈沖傳遞函數(shù)等于這兩環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)之積。 )()()(zXzYzG ?第 8章 采樣控制系統(tǒng) 例 812:若描述采樣系統(tǒng)的差分方程為 )()1(5)()1()2( kxkxkykyky ???????試求其脈沖傳遞函數(shù)。這一過程比較復雜，通?？筛鶕?jù) z變換表，直接從 G(s)得到 G(z)，而不必逐步推導。 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 于是 y(t)的 z變換為 ?????0)()(kkzkTyzY????? ?? 210 )2()()0( zTyzTyzy??????????21)]0()2()()()2()0([)]0()()()0([)0()0(zgTxTgTxTgxzgTxTgxgx])2()()0()[0( 21 ????? ?? zTgzTggx])2()()0()[( 321 ????? ??? ztgzTgzgTx?????? ?? ])()0()[2( 32 zTgzgTx第 8章 采樣控制系統(tǒng) ???????????????????????])()0([)2(])2()()0([)(])2()()0()[0(1221121zTggzTxzTgzTggzTxzTgzTggx? ????????????????????0 02121)()(])2()()0(][)2()()0([k kkk zkTxzkTgzTxzTxxzTgzTgg ??)()( zXzG?第 8章 采樣控制系統(tǒng) 2)脈沖傳遞函數(shù)的求法 連續(xù)系統(tǒng)或元件的脈沖傳遞函數(shù) G(z)，可以通過其傳遞函數(shù) G(s)來求取。在 T≤t2T時間內(nèi)， y(t)=x(0)g(t)+x(T)g(t－ T) ，將 t=T代入上式得y(T)=x(0)g(T)+x(T)g(0)。 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 在 0≤tT時間內(nèi)，實際起作用的只有 t=0時刻加入的那一個脈沖，其余各個脈沖尚未加入。 再研究一系列脈沖依次到 G(s)上的情況。習慣上將脈沖響應函數(shù)用 g(t)表示，即 g(t)= L－ 1[G(s)]。 現(xiàn)在分析一個孤立的單位脈沖函數(shù) δ (t) 加在線性對象 G(s)上的情況。 ）（）（）（zXzYzG ?應該指出，多數(shù)實際采樣系統(tǒng)的輸出信號是連續(xù)信號，如圖 815所示，在這種情況下，可以在輸出端虛設一個采樣開關，并設它與輸入采樣開關以相同的采樣周期 T同步工作。脈沖傳遞函數(shù)是離散系統(tǒng)的一個重要概念，是分析離散系統(tǒng)的有力工具。 解： 根據(jù)初始條件及遞推關系，得 y(0)=0 y(1)=1 y(2)=x(2)+5y(1)6y(0)=6 y(3)=x(3)+5y(2)6y(1)=25 y(4)=x(4)+5y(3)6y(2)=90 …… y(10)=x(10)+5y(9)6y(8)=86526 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 例 811 用 Z變換法解二階差分方程 02132 ????? ）（）（）（ kykyky 100 ?? ）（，）（ Tyy解： 對 0)(2)0(3)(3)1()0()( 2 ?????? zYzyzzYzyyzzYzyyzyzYzz )]0(3)1([)0()()23( 22 ?????代入初始條件，得， 2123)()()23(22??????????zzzzzzzzYzzYzz第 8章 采樣控制系統(tǒng) kkky )2()1()(,????得?????????? ）（）（）（）（）（ TtTtTtTtty 4103522* ????圖 814 例 811的解 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 脈沖傳遞函數(shù)（ z傳遞函數(shù)） 在線性連續(xù)系統(tǒng)中，我們把初始條件為零的條件下系統(tǒng) (或環(huán)節(jié) )輸出信號的拉氏變換與輸入信號的拉氏變拉之比，定義為傳遞函數(shù)，并用它來描述系統(tǒng) (或環(huán)節(jié) )的特性。 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 例 810 已知差分方程 y(k)=x(k)+5y(k－ 1)－ 6y(k－ 2) 輸入序列 x(k)=1，初始條件為 y(0)=0,y(1)=1，試用迭代法求出輸出序列 y(k)， k =0， 1， 2， Z變換法的實質(zhì)是利用 z變換的實數(shù)位移定理，將差分方程化為以 z為變量的代數(shù)方程，然后進行 z反變換，求出各采樣時刻的響應。迭代法非常簡單。這種關系可以用下列階后向差分方程描述： ）（）（）（）（）（）（）（mkxmbkxbkxbnkynakyakyaky???????????????1102211第 8章 采樣控制系統(tǒng) 上式可表示為 ?????????nimjjkxjbikyiaky1 0）（）（）（ 式中 a和