近代概率論基礎(chǔ)第一章概率空間(參考版)
2025-05-03 12:10本頁面
【正文】 解 令 A——點數(shù)之和為奇數(shù) 法一， 36個 ? ?1 2 , 2 1 , , 5 6 , 6 5A ? ??? 18個 ? ? 18 136 2PA ??法二，所有可能結(jié)果 (奇 ,奇 )， (奇 ,偶 )， (偶 ,奇 )， (偶 ,偶 ) A={(奇 ,偶 )， (偶 ,奇 )} ∴ 說明樣本空間的選取可以不同，但必須保證等可能。 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 4 證明 ? ? ? ? ? ? ? ?1P A B P A B P A P B? ? ? ?證 ? ? ? ?P A B P A B??? ? ? ? ? ?1 P A P B P A B? ? ? ?? ? ? ? 1P A P B? ? ?例 5 ? ? ? ?0 . 6 , 0 . 3P A B P B??，求 ? ?P A B解 ? ?A B A B B?? ? ?? ?B A B?? ? ? ? ? ?P A B P A B P B? ? ?? A B ? ?P A B ? ?1 P A B??機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 6 ? ? ? ?0 . 5 , 0 . 2P A P A B??，求 ? ?P AB解 ? ?P A B ?0 . 5 0 . 2 0 . 3? ? ?? ?P A B ?? 從定義出發(fā)求概率是不切實際的，下節(jié)將針對 特殊類型的概率求事件的概率。求 )( BAP解： )()()( ABAPBAPBAP ???? )()( ABPAP ??)()()()( ABPBPAPBAP ?????)()( ????? ABPAP。 ( , )? FA（ 2） 事件 的概率不能任意給定 ，即在事件域中，各事件的概率有一定的關(guān)系，給定概率必須滿足這些關(guān)系。 F ??()m?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 從上面的例子可以看到下面兩點： （ 1） 選定了 之后，對于事件概率的給定還有相當(dāng)大的靈活性 。 ? 事件域 仍取為 F( , )?? ?? 樣本空間 為 中的博雷爾點集，具有正的有限的 勒貝格測度 。 A ()() ()mAPA m? ?( , , )P? F于是得到 幾何概型的概率空間 。 1 , 1 , 2 , ,ip i nn??（ 4） 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 9 離散概率空間 12{ , },???? 樣本空間為 可列集 取非負(fù)實數(shù)列 {}np使 1np????再按（ 4）式定義概率 ，則 是一概率空間，稱為離散概率空間。 F ? 事件域 取為 取 n個非負(fù)實數(shù) 12, , , ,np p p使 12 p p? ? ? ?最后，對 的每一個子集 ，令 ? A()iiAP A p? ?? ? 易證此 P是一個概率測度，從而 是一個 概率空間。它是描述 Bernoulli試驗的概率空間。 ? FPF P?例 7 Bernoulli概率空間 { , , , }AA? ? ?F取 ，其中 為 的非空真子集。 這樣，由推論 1可知： 1()niPA???1iiPA????? ????即 1l im ( )nin iP A P A??? ????????? ?l i m .inPA???機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、概率空間的實際例子 ( , , )P? F 在科爾莫戈羅夫得的概率論公理化結(jié)構(gòu)中，稱三元總體 為概率空間，其中 為樣本空間， 為事件域， 為概率， 它們都認(rèn)為是給定的，并以此為出發(fā)點討論種種問題 。 證明 11 l im ( ) 1nin iP A P A??? ???? ? ?????l im ( ) ( l im )nnnnP A P A? ? ? ??因而 設(shè) nA 175。 ()* ? ?11.niin P A因?qū)?，有????機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 推論 1 概率是下連續(xù)的。11l imniiniiP A P A???????? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ?????( 2 )1l imniniPA?? ?????????.nS 173。 .nS 173。 ? ?1l im nin iP S P S??? ????????222。= == = 229。 故 且 11 1l im ( )n n i in n iS S S S165。提示： 101( ), ,nn i iiS S S S== = ?229。 F{}nS機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理 若 為 上滿足 的 非負(fù)集合函數(shù) ，則它具有可列可加性的 充要條件 為： P F ( ) 1P ??（ ii） 它是下連續(xù)的。 , 1 , 2 ,nSn??F 1nnSS?? nS Fl im ( ) ( l im )nnnnP S P S? ? ? ??定義 2： F對于 上的集合函數(shù) ，若它對 中任何一個單調(diào)不減的集序列 均有： F{}nS()P?成立，則我們稱 它是下連續(xù)的 。 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè) A={所取的 n 個數(shù)的乘積能被 10整除 }， B={所取的n 個數(shù)中至少有一個是偶數(shù) }， C={所取的 n 個數(shù)中至少有一個為 5}，則 ,A B C A B C??故 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 [ ( ) ( ) ( ) ]P A P A P B C P B P C P B C? ? ? ? ? ? ? ?5 8 4 5 8 4( ) 1 ( ) 1 .9 9 9 9
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