【正文】 返回 引理 x是不相容方程組 Ax=b的最小 二乘解的充要條件為 Ax=AGb. 定理 不相容方程組 Ax=b的最小二乘解的 通解 ( ) , .nx G b E A A u u C?? ? ? ? ?:, A x b x A b A x b?? ? ?定理 不相容方程 是的最佳逼進解 返回 1 2 3 41 2 3 41 2 3 4:2 4 32 2 02 2 3? , 。 定義 二 . 相容方程的最小范數(shù)解 定義 1 設方程組 Ax=b有解時，將所有的解中 范數(shù)最小的解稱為最小范數(shù)解。)1( HH UDVA ?? ?。H H H HA A A A A A A A A A? ? ???( ) ( ) ( ) ( ) .H H H HA A A A A A A A A A? ? ???返回 一 、 最 大 秩 分 解 法6 A+的計算方法 1引理。H H H HA A A A A A A A? ? ? ? ? ???4定 理 mnAC ??設 ，則有( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 。HR A R A? ?() ()( 5 ) , 。T T H HA A A A? ? ? ???( 3 ) ( ) ( ) 。)1( 11 PQBABP AQ ?? ?? 時，當?shù)膹V義逆矩陣的是時當 AGBP A Q ,)2( 2?.2 PQBG ??充要條件是返回 5 M P廣義逆矩陣 A+ 1定義,A G A A G A G G??mn nmA C G C? ???設 ，如果有 ，使得.MPG A G A ?? ?廣義逆則稱 是 的 矩陣，記為( ) , ( )HHA G A G G A G A??1定理11( ) ( )H H H HG D D D B B B???.A M P A ??就是 的 廣義逆矩陣設 是 A的最大秩分解則 ,mnA C A B D???2定理 .mnA C A???設 ，則 是唯一的返回 3定理 mnAC ??設 ，則有( 1 ) ( ) 。)()( nEAAnAr a n ki ?? ?的充要條件是2推論 則設 ,nmCA ??.)()( mEAAmAr a n kii ?? ?的充要條件是}1{)( APPA ??1引理 都是設 nnmmnm CQCPCA ??? ??? ,則可逆矩陣 ,返回 2引理 滿足，則存在設 21122211 , XXAAA ?????????使得,0,0 112122221211 ?? AXAAXA}1{22211211 AAXXA ???????????返回 3 自反廣義逆矩陣 1定義., 的自反廣義逆矩陣為則稱同時成立 AG使得如果有設 , mnnm CGCA ?? ??GG AGAAG A ?? ,記 返回 }.{}2,1{ 的集合的所有自反廣義逆矩陣AA ?2定義2定理 的廣義逆均為設 nmmn CACYX ?? ??,.的自反廣義逆矩陣是 A則矩陣 ,XA YZ ?1定理 .逆矩陣任何矩陣都有自反廣義返回 3定理要條件是的自反廣義逆矩陣的充A)()( ?? Ar a n kAr a n k是則的廣義逆矩陣是 ???? AAACA nm ,m n n mA C X C????設 ， ，則下列任意兩個.等式成立都可推得第三個等式成立( 1 ) ( ) ( ) 。0{)()1( ?ANA 左可逆的充要條件是.)()2( mCARA ?右可逆的充要條件是返回 初等變換求左 (右 )逆矩陣 : ?????????*0)()1(GEEAP nm?????????????????*0)2(GEQEA mn返回 2定理PBABAAG )( 11211 ?? ??則是左可逆矩陣設 ,nmCA ??階可是滿足初等變換對應的矩陣 nAAAPAP 121 ,?????????行為任意矩陣其中的左逆矩陣是 ., )( nmnCBA ???.逆方矩陣返回 3定理???????? ????DDAAAQG 21111則是右可逆矩陣設 ,nmCA ??? ? 階是滿足初等變換對應的矩陣 mAAAA 121 ,?列為任意矩陣其中的右逆矩陣是 ., )( mmnCDA ???.可逆方矩陣返回 4定理)1(0)( 1 ?? ? bAAE Lm的左逆是是左可逆矩陣設 AACA Lnm 1, ???.)(,)1(bAAAxbAxHH?? 有唯一解則方程組式成立若有解的充要條件是則方程組矩陣 bAx ?,返回 5定理bAx R 1??對任何則是右可逆矩陣設 bAxCA nm ?? ? ,則方程組的解可表示為若都有解 ,0. ?? bCb m., 1 的一個右逆矩陣是其中 AA R?返回 2 廣義逆矩陣 ?A1定義., ?? AGAG 記為的廣義逆矩陣為則稱))(( ARbbAG b ???, mnnm CGCA ?? ?? 如果存在矩陣設使得1定理使其滿足充要條件是存在 ,mnCG ??存在廣義逆矩陣的則設 ACA nm ,??AA G A ?1推論 的一個廣義是且設 ACACA mnnm ??? ?? ,)()( Ar a n kAr a n k ??則逆矩陣 ,返回 },|{}1{ mnCGAAG AGA ?????定義則有2定理 的任一廣義逆矩陣，是且設 AACA nm ??? ,},|{}1{ mnCUAUAAAUAGGA ???? ??????{ | ( ) ( ) ,}nmnmG G A E A A V W E A AV W C? ? ??? ? ? ? ? ???返回 HHTT AAAAi )()(,)()()( ???? ??3定理 則設 , CCA nm ?? ? ?且都是冪等矩陣與 ,)( AAAAii ??)()()( AAr a n kAAr a n kAr a n k ?? ?????? ??? 其中的廣義逆矩陣為 ,)( AAiii???????? 0001 ???的廣義逆矩陣；是則且階可逆矩陣是階可逆矩陣是設BSATSA TBnTmSiv11,)(????)。iimiiimiiiffmffmffii??????????10() kkkf A a P J P???? ? 10kkkP a J P???????????返回 1010kkkkkskaJPPaJ??????????????????11)()(???????????? PJfJfPs?返回 2例 .s i n,00001000000000AA 求設??????????????????:解 標準形化為 J o r d a n)1A????????????0010,321 JJJ ??iJs i n)2 計算33210s i n00c o s!110s i ns i n,0s i n,0s i n JJJJ ????????????返回 三、矩陣函數(shù)的一些性質 性質 1： ., BAABBA eeeeeBAAB ???? 則如果性質 2： BABABABAABs i ns i nc o sc o s)c o s ()1(,???? 則如果BABABA s i nc o sc o ss i n)s i n ()2( ???????????????????0000100000000000s i n A返回 第六章 廣義逆矩陣 返回 1 矩陣的單邊逆 1定義., 1?? LAGAG 記為的左逆矩陣為則稱nEGA ?使得如果有設 , mnnm CGCA ?? ??mEAG ?如果., 1?? RAGAG 記為的右逆矩陣為則稱返回 1定理。,2,1,1)( ?? ?????.,1)( 絕對收斂則稱矩陣級數(shù)都絕對收斂 ???kkA絕對收斂的充要條件中在 ????1)(,kknn AC4定理.||||1