復(fù)習(xí)推理與證明ppt課件(參考版)
2025-05-01 23:33本頁面
【正文】 12k＝12＋ ( k ＋ 1) ． 由 ① ， ② 知，對一切 n ∈ N*，不等式均成立 . 正 誤 題 題 辨 例已知數(shù)列 { an} 滿足 a1＝ 1 ， an ＋ 1＝－12an＋ 1 ，試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式． 錯(cuò)解 經(jīng)過計(jì)算可知： a1＝ 1 ， a2＝12， a3＝34， a4＝58，除第一個(gè)外，后三個(gè)很有規(guī)律，于是猜想 an＝????? 1 ， ? n ＝ 1 ? .2 n － 32n － 1， ? n ≥ 2 ， n ∈ N*? 點(diǎn)擊 容易驗(yàn)證，當(dāng) n ＝ 5 時(shí)， a5＝1116，就不適合 an＝2 n － 32n － 1( n ≥ 2 ， n ∈ N*) ，原因是由歸納推理所得的結(jié)論未必是可靠的．一般地，考查的個(gè)體越多，歸納的可靠性越大． 正解 正確的猜想如下： a1＝13 ( －12)0＋23， a2＝13 ( －12)1＋23， a3＝13 ( －12)2＋23， a4＝13 ( －12)3＋23， ? 猜想 an＝13 ( －12)n － 1＋23( n ∈ N*) ． 。 矛盾． 綜上所述，原結(jié)論成立． 點(diǎn)評 當(dāng)結(jié) 論為否定形式的命題時(shí)，常常借助于反證法進(jìn)行證明 . 變式遷移 6 求證：兩條相交直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)． 證明 假設(shè)結(jié)論不成立，即有兩種可能： 無交點(diǎn)；不只有一個(gè)交點(diǎn)． ① 若直線 a ， b 無交點(diǎn)，那么 a ∥ b 或 a ， b 是異面直線，與已知矛盾； ② 若直線 a ， b 不只有一個(gè)交點(diǎn)，則至少有兩個(gè)交點(diǎn) A 和 B ，這樣同時(shí)經(jīng)過點(diǎn) A ， B 就有兩條直線，這與 “ 經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線 ” 相矛盾． 綜上所述，兩條相交直線有且只有一個(gè)交點(diǎn) . 題型七 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 例 7 不等式1n ＋ 1＋1n ＋ 2＋1n ＋ 3＋ ? ＋13 n ＋ 1＞a24對一切正整數(shù) n都成立，求正整數(shù) a 的最大值，并證明你的結(jié)論． 分析 用數(shù)學(xué)歸納法證明．從 n ＝ k 到 n ＝ k ＋ 1 時(shí)，為利用假設(shè)需增加因式1k ＋ 1，對于除含有 n ＝ k 的因式外的其余的項(xiàng)需運(yùn)用不等式的性質(zhì)證明其大于零即可． 解析 當(dāng) n ＝ 1 時(shí)，11 ＋ 1＋11 ＋ 2＋13 1 ＋ 1＞a24， 即2624＞a24， ∴ a ＜ 26 ，而 a ∈ N*， ∴ 取 a ＝ 25. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1n ＋ 1＋1n ＋ 2＋ ? ＋13 n ＋ 1＞2524. ① n ＝ 1 時(shí)，已證． ② 假設(shè)當(dāng) n ＝ k 時(shí)，1k ＋ 1＋1k ＋ 2＋ ? ＋13 k ＋ 1＞2524，則當(dāng) n ＝ k ＋1 時(shí)，有 1? k ＋ 1 ? ＋ 1＋1? k ＋ 1 ? ＋ 2＋ ? ＋13 k ＋ 1＋13 k ＋ 2＋13 k ＋ 3＋13 ? k ＋ 1 ? ＋ 1 ＝ (1k ＋ 1＋1k ＋ 2＋ ? ＋13 k ＋ 1) ＋ (13 k ＋ 2＋13 k ＋ 3＋13 k ＋ 4－1k ＋ 1) ＞2524＋ [13 k ＋ 2＋13 k ＋ 4－23 ? k ＋ 1 ?] ． ∵ (13 k ＋ 2＋13 k ＋ 4) ＝6 ? k ＋ 1 ?9 k2＋ 18 k ＋ 8＞23 ? k ＋ 1 ?， ∴13 k ＋ 2＋13 k ＋ 4－23 ? k ＋ 1 ?＞ 0 ， ∴1? k ＋ 1 ? ＋ 1＋1? k ＋ 1 ? ＋ 2＋ ? ＋13 ? k ＋ 1 ? ＋ 1＞2524也成立． 由 ① 、 ② 可知，對一切 n ∈ N*，都有1n ＋ 1＋1n ＋ 2＋ ? ＋13 n ＋ 1＞2524， ∴ a 的最大值為 25. 點(diǎn)評 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，推導(dǎo) “ k ＋ 1 ” 亦成立時(shí)證明不等式的一切方法，如比較法、分析法、綜合法或放縮法等等，均被靈活地應(yīng)用 . 變式遷移 7 用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1 ＋n2≤ 1 ＋12＋13＋ ? ＋12n ≤12＋ n ( n ∈ N*) ． 證明 ① 當(dāng) n ＝ 1 時(shí)， 左式＝ 1 ＋12，右式＝12＋ 1 ， ∴32≤ 1 ＋12≤32，命題成立． ② 設(shè)當(dāng) n ＝ k 時(shí)不等式成立，則當(dāng) n ＝ k ＋ 1 時(shí)， 1 ＋12＋13＋ ? ＋12k ＋12k＋ 1＋12k＋ 2＋ ? ＋12k＋ 2k＞ 1 ＋k2＋ 2k 矛盾． ② 如果點(diǎn) D 在 △ ABC 之外， ( 如圖 ② 所示 ) ，根據(jù)假設(shè) ∠ A ， ∠ B ，∠ C ， ∠ D 都小于 9 0 176。c ＋ a2＞ abc .( 中間結(jié)果 ) 所以 lga ＋ b2＋ lgb ＋ c2＋ lgc ＋ a2＞ lg a ＋ lg b ＋ lg c . 題型六 反證法 例 6 已知平面上四點(diǎn)，沒有三點(diǎn)共線，求證：以每三點(diǎn)為
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