【正文】 。你必須努力，當(dāng)有一天驀然回首時(shí)，你的回憶里才會(huì)多一些色彩斑斕，少一些蒼白無力。4. 歲月是無情的，假如你丟給它的是一片空白，它還給你的也是一片空白。既糾結(jié)了自己，又打擾了別人。用一些事情，總會(huì)看清一些人。2. 若不是心寬似海，哪有人生風(fēng)平浪靜。. .. . ..學(xué)習(xí)參考另一方面，當(dāng) 4??時(shí)，對(duì)一切的正整數(shù) n都有 4nR?事實(shí)上，對(duì)任意的正整數(shù) k，有2121258(4)()1nkkb???? 0(16)()4kk?? 588()kk????當(dāng) n為偶數(shù)時(shí)，設(shè) *2()nmN??則 123421()()mRbbb????K 8 當(dāng) n為奇數(shù)時(shí)，設(shè) *()nN則 12342321()())mmRbbb??????K . 88m???對(duì)一切的正整數(shù) n，都有 nR?綜上所述，正實(shí)數(shù) ?的最小值為 4………………………….14分29.（2022 福建）(本小題滿分)2 分）等比數(shù)列 {}na中，已知 142,6a? （I）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若 35,分別為等差數(shù)列 {}nb的第 3項(xiàng)和第 5項(xiàng)，試求數(shù)列 {}nb的通項(xiàng)公式及前 n項(xiàng)和 nS。本小題主要考查數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)、考查化歸思想、分類整合思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力。（I）求數(shù)列 nb的通項(xiàng)公式；（II）記 *21()cN???，設(shè)數(shù)列 ??nc的前 項(xiàng)和為 nT，求證：對(duì)任意正整數(shù) n都有 32T?；（III）設(shè)數(shù)列 ??n的前 項(xiàng)和為 nR。本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力，推理論證能力及綜合分析和解決問題的能力的能力，滿分 14分。（III）若數(shù)列 na 是 B?數(shù)列，則存在正數(shù) 12.，對(duì)任意的 ,nN??有 a????2nbbM?注意到 ??? 1na????同理： 21nbM 記 2K?，則有 22Kb??1111nnnnnnaaba?????1nb kb????因此 112122(.)nnKM??? + 1bak故數(shù)列 ??na是 B數(shù)列 27.（2022 天津） （本小題滿分 14分）已知等差數(shù)列{ n}的公差為 d（d ?0） ，等比數(shù)列{ nb}的公比為 q（q1） 。命題 2：若數(shù)列 n是 B數(shù)列，則數(shù)列 nx是 B數(shù)列此命題為真命題. .. . ..學(xué)習(xí)參考事實(shí)上，因?yàn)閿?shù)列 ??nS是 B數(shù)列，所以存在正數(shù) M，對(duì)任意的 1,n?有 ???? 即 。（2）命題 1：若數(shù)列 ??nx是 B數(shù)列，則數(shù)列 ??nS是 B數(shù)列 次命題為假命題。判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；（3） 若數(shù)列 ??,nab都是 ?數(shù)列，證明：數(shù)列 ??nab也是 B?數(shù)列。即 25690d??24,0,()21nddan?????又 代 入 得 a① （2）令 2121, ,n nnbcccac??????? ?則 有兩式 相減得111 11,(), 2,2()n nnabbab???????????由 得 即 當(dāng) 時(shí) ， 又 當(dāng) =時(shí) ，于是 341132nnnS ?? ?= 23412??? 4=122()6,6nnnS? ?????即26.(2022湖南)（本小題滿分 13分）對(duì)于數(shù)列 ??nu若存在常數(shù) M＞0,對(duì)任意的 nN??，恒有 u???? . .. . ..學(xué)習(xí)參考則稱數(shù)列 ??nu為 B數(shù)列（1） 首項(xiàng)為 1，公比為 (1)q?的等比數(shù)列是否為 B數(shù)列？請(qǐng)說明理由。證明：由（I）知14()5(4)1????n nnb 21212520226408888.(4)()64()?? ?????????? kkkkkkb∴當(dāng) n為偶數(shù)時(shí)，設(shè) nmN??? ∴ 123421()()()8mRbbbn?????當(dāng) n為奇數(shù)時(shí)，設(shè) ?∴ 12342321()()()()48mmmn????????∴對(duì)于一切的正整數(shù) n，都有 nRk? ∴不存在正整數(shù) k，使得 ?成立。 證（1）由 1n+1244n5132382xxx????及 得 ，. .. . ..學(xué)習(xí)參考由 246x?猜想：數(shù)列 ??2nx是遞減數(shù)列下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng) n=1時(shí)，已證命題成立 （2）假設(shè)當(dāng) n=k時(shí)命題成立，即 22kx??易知 20kx?，那么 23124212323(1)()kkkkkkxx?????????? = 2212230(1))()()kkkk????即 2(1)2()kkx???也就是說，當(dāng) n=k+1時(shí)命題也成立，結(jié)合（1）和（2）知，命題成立（2）當(dāng) n=1時(shí)， 216nxx???，結(jié)論成立當(dāng) n?時(shí)，易知 1110,2nnnnx?????????11115()()(2n nnnxx????????111()nnnnxx???? 2n11122n25556nx????（ ） （ ）（ ） 24.（2022 四川） （本小題滿分 14分）設(shè)數(shù)列 ??na的前 項(xiàng)和為 nS，對(duì)任意的正整數(shù) n，都有 51naS??成立，記 *4()1nnabN????。所以 *naN??。（1）證 121,a當(dāng) ?時(shí)， 1 11,()222nn nnnabab?? ?????所以 ??是以 1為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列。事實(shí)上，因?yàn)閿?shù)列 {}S是 B數(shù)列，所以存在正數(shù) M，對(duì)任意的 *nN?，有 1121|||||nnSS?????? , 即 2|||xx? .于是 121nnxxx????112nn?????,. .. . ..學(xué)習(xí)參考所以數(shù)列 {}nx是 B數(shù)列。命題 2：若數(shù)列 n是 B數(shù)列，則數(shù)列 {}nx不是 B數(shù)列。B組：③數(shù)列 {}n是 B數(shù)列, ④數(shù)列 S不是 B數(shù)列.請(qǐng)以其中一組中的一個(gè)論斷為條件，另一組中的一個(gè)論斷為結(jié)論組成一個(gè)命題.判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；(Ⅲ)若數(shù)列 {}na是 B數(shù)列，證明：數(shù)列 2{}na也是 B數(shù)列。20.（2022 湖南） （本小題滿分 13分）對(duì)于數(shù)列 {}nu,若存在常數(shù) M＞0,對(duì)任意的 *nN?，恒有 1121nnuuM?????, . .. . ..學(xué)習(xí)參考則稱數(shù)列 {}nu為 B?數(shù)列.（Ⅰ）首項(xiàng)為 1，公比為 2的等比數(shù)列是否為 B數(shù)列？請(qǐng)說明理由。具有讓考生和一線教師重視教材和基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法基本技能,重視兩綱的導(dǎo)向作用。 …………………………………8 分（III）由 54()1nnb???得 21221 22516156156()4()34()nnnnnnnnc???????????又12234,bc???， 當(dāng) n時(shí)， 1T?，當(dāng) ?時(shí)，. .. . ..學(xué)習(xí)參考2223 21[()]411465()53663931486nn nT ????????????? …………………………………14分19.（2022 全國卷Ⅱ） （本小題滿分 12分）設(shè)數(shù)列 {}na的前 項(xiàng)和為 ,nS 已知 1,a?142nSa?（I）設(shè) 12b???，證明數(shù)列 {}b是等比數(shù)列 （II）求數(shù)列 {}n的通項(xiàng)公式。 （I）求數(shù)列 n與數(shù)列 nb的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)數(shù)列 ??的前 項(xiàng)和為 R，是否存在正整數(shù) k，使得 4nRk?成立？若存在，找出一個(gè)正整數(shù) k；若不存在，請(qǐng)說明理由；（III）記 *21()nncbN???，設(shè)數(shù)列 ??nc的前 項(xiàng)和為 nT，求證：對(duì)任意正整數(shù) n都有 32T?；【解析】 （I）當(dāng) 時(shí)， 115,4????aSa 又 15,??nnaS. .. . ..學(xué)習(xí)參考115,4即 ???????nnaa∴數(shù)列 ??n是首項(xiàng)為 1，公比為 14q的等比數(shù)列，∴ ()4??nna， *()4)???nbN …………………………………3分（II）不存在正整數(shù) k，使得 nRk?成立。??????K 可猜想當(dāng) ??時(shí) ， 證明如下：證法 1：（1）當(dāng) n=3時(shí)，由上驗(yàn)算顯示成立。21。（Ⅰ）令 2b?，求證數(shù)列 ??b是等差數(shù)列，并求數(shù)列 ??na的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令 1nnc?， T與 521?的大小，并予以證明。（Ⅲ）若 *222 ,1)()(, NndTqqnn ???????）證 明 （【答案】 （1） 34?an（2） （3）略【解析】 （1）解：由題設(shè)， 15,)2()( 3111 ???? SaqdaqaS將代入解得 d，所以 ?n*N? （2）解：當(dāng) 3212321 ,3,da ?? 成等比數(shù)列，所以31S，即 )2qq??（）（ ，注意到 0?d，整理得 ??q（3）證明：由題設(shè)，可得 1??nb，則223212?nn aa? ①12???qqT? ②①②得， )(212342 ???nnaaS?①+②得， )( 212312 ??nn qqT? ③③式兩邊同乘以 q，得 )(( 21232 ????nn qaaTS?所以 212322 ())1)( dqdqSnnn ????（3）證明： nlklklk bababac n)(((2121 121 ???= 11 )))( ???nqdqdldblk?因?yàn)?0,1?，所以 12112 )()()( ????nqlkqlkldbc?若 nlk?，取 i=n，若 ?，取 i滿足 ilk?，且 jjl?， nji??1由（1） （2）及題設(shè)知， n??1，且. .. . ..學(xué)習(xí)參考12112 )()()( ??????nqlkqlkldbc? . ① 當(dāng) ilk?時(shí)， ?il，由 ?， 1,2,???iili ?即 1??q， ?),1()(2?qk 21)()(??iiii qk所以 11212 ???iiiidbc?因此 02??② 當(dāng) ilk?時(shí)，同理可得 ,121??dbc因此 02?c . 綜上， 21c?【考點(diǎn)定位】本小題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前 n項(xiàng)和等基本知識(shí)，考查運(yùn)算能力和推理論證能力和綜合分析解決問題的能力。 (2) 3,4nb?求數(shù)列｛ nb｝的前 n項(xiàng)和 T.解: (1) 由于 22cosicos3????,故312345632132 22()()()(()k kkSaaaak?????? ???8(9)2k???,. .. . ..學(xué)習(xí)