微分幾何課后習(xí)題解答(參考版)
2025-03-28 01:54本頁(yè)面
【正文】 。當(dāng)曲面(S)上沒(méi)有拋物點(diǎn)時(shí)，LNM0,則。28．證明如果曲面上沒(méi)有拋物點(diǎn)，則它上面的點(diǎn)和球面上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的。證 曲面在雙曲點(diǎn)P處，有兩條漸近線過(guò)點(diǎn)P，沿漸近線有=，且II=0，于是有d=d=0的充要條件為d// d，即（C）是的曲率線。d=0，又d⊥，所以正交，即d+=常數(shù)，這等價(jià)于d(證做參數(shù)變換，v=,則在新參數(shù)下，為等溫網(wǎng)。證25．若曲面的第一基本形式表示為的形式，則稱這個(gè)曲面的坐標(biāo)曲線為等溫網(wǎng)。 0,所以LN , asin},求圓環(huán)面上的橢圓點(diǎn)、雙曲點(diǎn)、拋物點(diǎn)。24. 在xoz 平面上去圓周y = 0,并令其繞軸旋轉(zhuǎn)的圓環(huán)面,參數(shù)方程為 ={(b+acos)cos則所以曲面上存在兩族漸近線。所以高斯曲率所以漸近網(wǎng)為正交網(wǎng)。 證法二：漸近線方程為所以，所以23. 證明如果曲面的平均曲率為零,則漸近線構(gòu)成正交網(wǎng).證法一： 如果曲面的平均曲率為零, 由上題曲面上的點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)或平點(diǎn).若為平點(diǎn),則任意方向?yàn)闈u近方向,任一曲線為漸近曲線,必存在正交的漸近曲線網(wǎng).若為雙曲點(diǎn), , 漸近方向滿足=1,即=/4,= /4, 兩漸近線的夾角為,即漸近曲線網(wǎng)構(gòu)成正交網(wǎng). 由H==0有==0或=0 .若==0,則沿任意方向,=0 ,即對(duì)于任意的du:dv , ,所以有L=M=N=0,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為平點(diǎn).若=0,則K=0 ,即LNM0,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為雙曲點(diǎn).證法二：取曲率網(wǎng)為坐標(biāo)網(wǎng)，則F = M = 0 ,因?yàn)闃O小曲面有H = 0 ， 所以LG + EN = 0 ,因E 0 ,G 0 ,所以LN 0 。 由第3題或第16題可知.21. 求雙曲面z=axy在點(diǎn)x=y=0的平均曲率和高斯曲率.證 在點(diǎn)x=y=0 ,E=1, F=0, G=1, L=0, M=a, N=0,H=,即漸進(jìn)方向?yàn)?=+=2,則主曲率之比為常數(shù).證 由、任給一方向及與其正交的方向+，則這兩方向的法曲率分別為，在（0，0）點(diǎn),E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,N=2a .所以4a+4=0 ，兩主曲率分別為 , N = 0,代入主曲率公式（EG）（LG2FM+EN）+ LN= 0 得=。16．求正螺面的主曲率。證 曲線的密切平面與曲面的切平面成定角，即曲線的副法向量和曲面的法向量成定角，由上題結(jié)論知正確。15．如果一曲面的曲率線的密切平面與切平面成定角，則它是平面曲線。=0 ，則因，有‖，‖‖（）‖所以d‖，由伏雷內(nèi)公式知d‖（）而L是曲率線，所以沿L有d‖，所以有=0,從而曲線為平面曲線；若不垂直于， 則有?=常數(shù),求微商得因?yàn)長(zhǎng)是曲率線，所以沿L有‖，所以，所以，即則因‖=0 .若=0, 則L是平面曲線；若 ,設(shè) L上每一點(diǎn)處的副法線和曲面在該點(diǎn)的法向量成定角,求證L是一平面曲線.證法一：因 L是曲率線,所以沿L有,又沿L 有?=常數(shù),求微商得
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