反函數(shù)例題講解(參考版)
2025-03-27 23:28本頁面
【正文】 反函數(shù)例題講解例1．下列函數(shù)中，沒有反函數(shù)的是 ( ) (A) y = x2－1（x） (B) y = x3+1（x∈R） (C) （x∈R，x≠1） (D) 分析：一個函數(shù)是否具有反函數(shù)，完全由這個函數(shù)的性質(zhì)決定．判斷一個函數(shù)有沒有反函數(shù)的依據(jù)是反函數(shù)的概念．從代數(shù)角度入手，可試解以y表示x的式子；從幾何角度入手，可畫出原函數(shù)圖像，再作觀察、分析．作為選擇題還可用特例指出不存在反函數(shù)．本題應選（D）．因為若y = 4，則由 得 x = 3．由 得 x = －1．∴ （D）中函數(shù)沒有反函數(shù)．如果作出 的圖像（如圖），依圖更易判斷它沒有反函數(shù)．例2．求函數(shù) （－1≤x≤0）的反函數(shù)．解：由 ，得： ．∴ 1－x2 = (1－y)2， x2 = 1－(1－y)2 = 2y－y2 ．∵ －1≤x≤0，故 ．又 當 －1≤x≤0 時， 0≤1－x2≤1，∴ 0≤≤1，0≤1－≤1，即 0≤y≤1 ．∴ 所求的反函數(shù)為 （0≤x≤1）．由此可見，對于用解析式表示的函數(shù)，求其反函數(shù)的主要步驟是：① 把給出解析式中的自變量x當作未知數(shù)，因變量y當作系數(shù)，求出x = φ ( y )．② 求給出函數(shù)的值域，并作為所得函數(shù)的定義域；③ 依習慣，把自變量以x表示，因變量為y表示，改換x = φ ( y )為y = φ ( x )．例3．已知函數(shù) f ( x ) = x2 + 2x + 2（x－1），那么 f －1 (2 )的值為__________________．分析：依據(jù)f －1 (2 )這一符號的意義，本題可由f ( x )先求得f －1 ( x )，再求f －1 (2 )的值（略）．依據(jù)函數(shù)與反函數(shù)的聯(lián)系，設f －1 (2 ) = m，則有f ( m ) = 2．據(jù)此求f －1 (2 )的值會簡捷些．令 x2 + 2x + 2 = 2，則得：x2 + 2x = 0 ．∴ x = 0 或 x =－2 ．又x－1，于是舍去x = 0，得x =－2，即 f －1 (2
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