【正文】 d、你認(rèn)為自己買彩票會(huì)賺錢嗎？ 過(guò)度自信使人低估了風(fēng)險(xiǎn)。 如 總次數(shù) 100 正面 55 總次數(shù) 10000 正面 5050 硬幣連在 10個(gè)正面，下一次是什么？ 打牌手風(fēng)很順，該繼續(xù)還是停止？ 連生幾個(gè)女孩，想生男孩，該繼續(xù)生嗎？ (3)對(duì)概率的錯(cuò)誤估計(jì) a、你認(rèn)為自己買彩票會(huì)中獎(jiǎng)嗎？ b、你害怕 SARS嗎？ 對(duì)可怕后果的擔(dān)憂使人過(guò)高估計(jì)概率。 關(guān)于概率的一些解釋。 而問(wèn)事件 B：點(diǎn)落在 0與 。 0 1 若問(wèn)事件 A:點(diǎn)落在 。 年份 新生兒總數(shù) 男嬰兒數(shù) 女嬰兒數(shù) 男嬰頻率 女嬰兒概率 1977 3670 1883 1787 1978 4250 2177 2073 1979 4055 2138 1917 1980 5844 2955 2889 1981 6344 3271 3073 1982 7231 3722 3509 6年總計(jì) 31394 16146 15248 可以認(rèn)為生男孩的概率近似值為 這種概率只能通過(guò)統(tǒng)計(jì)得出。且 n越大，擺動(dòng)幅 度越小。 概率是事件本身固有的，試驗(yàn)只是幫助我們了解它。 關(guān)于擲硬幣，前人做過(guò)試驗(yàn)。 不可能事件的頻率一定為 0。 如硬幣真的是均勻的嗎？ 隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生不確定， 但在大量重復(fù)試驗(yàn)中，它的發(fā)生卻具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。 解： 在五局三勝賽制中，甲獲勝的概率為 P5(3)+P5(4)+P5(5) 3 3 2 4 4 555C 0 6 0 4 C 0 6 0 4 0 6. . . . .? ? ?= 在三局兩勝賽制中，甲獲勝的概率為 P3(2)+P3(3) 2 2 33C 0 6 0 4 0 6. . .?? = 甲應(yīng)選擇五局三勝制。 甲方在第三局結(jié)束賭博獲得勝利的概率為 231PB2()??? ????14?甲方在第四局結(jié)束賭博獲勝的概率為 1421 1 1P B C2 2 2()??? ? ? ?????14?甲方在第五局結(jié)束賭博獲勝的概率為 21531 1 1P B C2 2 2()?????????????316?故甲方最終獲勝的概率為 P(B3+B4+B5) =P(B3)+P(B4)+P(B5) 1116?賭注應(yīng)按 11： 5的比例分配。 甲最終獲勝的概率為 P4(2)+P4(3)+P4(4) 2 2 3 423441 1 1 1 1CC2 2 2 2 2? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1116?516乙 勝 的 概 率 為 ， 賭 注 應(yīng) 按 11 ： 5 的 比 例 分 配 。應(yīng)按照比賽雙方最終獲勝的可能性分賭注。 解： 設(shè)在一次試驗(yàn)中 A出現(xiàn)的概率為 p 則 A至少出現(xiàn)一次的概率為 4 444k1P k 1 P 0 1 1 p 0 5 9( ) ( ) ( ) .?? ? ? ? ? ??故 (1p)4= 1p= p= A至多出現(xiàn)一次的概率為： P4(0)+P4(1) 4 1 341 p C p 1 p( ) ( )? ? ? ?= 4 1 340 8 C 0 2 0 8. . .? ? ? ?例 10 (分賭注問(wèn)題 )甲、乙各下注 a元，以猜硬幣方式 賭博，五局三勝，勝者獲得全部賭注。 解： 設(shè) A表示至少有 6人治愈。 解： 設(shè)所求事件的概率為 P(B),事件 B由下列 m個(gè)互 不相容的事件組成： B1=(廢， … ，廢，正， … ，正 ) B2=(廢， … ，廢，正，廢，正， … ，正 ) Bm=(正， … ，正，廢， … ，廢 ) P(B1)=P(B2)=…=P(B m)=pk(1p)nk knmC ,?而 故mk k n ki 1 ni1P B P B m P B C P 1 P( ) ( ) ( ) ( ) ??? ? ? ??一般地，有如下的定理： 解： 設(shè) B表示至少有兩件一級(jí)品 1010k2P B P k( ) ( )?? ? ＝ 1P10(0)P10(1) 1 0 1 9101 0 4 C 0 6 0 4. . .? ? ? ? ?0 998.?nk k n knn1Ap p nk P ( k )P k C p q k 0 1 nq 1 p?????定 理 貝 努 里 定 理 設(shè) 一 次 試 驗(yàn) 中 事 件 發(fā) 生 的 概 率為 ， ( 0 1 ) , 則 重 貝 努 里 試 驗(yàn) 中 ， 事 件 A 恰 好 發(fā) 生次 的 概 率 為其 中()( ) , ( , , .. ., )例 7 一條自動(dòng)生產(chǎn)線上產(chǎn)品的一級(jí)品率為 ，現(xiàn) 在檢查了 10件，求至少有兩件一級(jí)品的概率。 這樣的 n次重復(fù)試驗(yàn)稱為 n重貝努里試驗(yàn)。 在同樣條件下重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型稱為獨(dú)立試驗(yàn)序 列概型。 解： 用 Ai表示有 i個(gè)人擊中目標(biāo)， i=0,1,2,3 用 B表示目標(biāo)被摧毀。 解： 令 A、 B、 C分別表示開(kāi)關(guān) a、 b、 c關(guān)閉， D表示燈亮 P(D)=P(AB+C)=P(AB)+P(C)P(ABC) =P(A)P(B)+P(C)P(A)P(B)P(C) = + = A B D ,?由 于 ABD=AB P A B DP A B DPD()( | )()?P A BPD()()?0 5 0 50 6 2 5...?? = a b c 例 5 甲、乙、丙三人獨(dú)立射擊一個(gè)目標(biāo)，命中率分別為 ， ， ，若只有一人擊中，目標(biāo)被摧毀的概率是 ，若二人擊中，則目標(biāo)被摧毀的概率是 ，若三人 都擊中，目標(biāo)一定被摧毀。 則 A、 B、 C相互獨(dú)立，且 P(A)= P(B)= P(C)= P A B C()?? P A B C()? 1 P A B C()?? 1 P A P B P C( ) ( ) ( )??1 0 9 0 8 0 8 5. . .? ? ? ? 0 388.?P A B B C A C()??P A B P B C P A C 2 P A B C( ) ( ) ( ) ( )? ? ? ?0 1 0 2 0 2 0 1 5 0 1 0 1 5 2 0 1 0 2 0 1 5. . . . . . . . .? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 059.?例 4 圖中開(kāi)關(guān) a、 b、 c開(kāi)或關(guān) 的概率都是 ，且各開(kāi)關(guān)是 否關(guān)閉相互獨(dú)立。求在這段時(shí)間內(nèi)有機(jī)床需要工人照管的概 率以及機(jī)床因無(wú)人照管而停工的概率 。求： (1)若 250名士兵同時(shí)射擊，飛機(jī)被擊中的概率。 目標(biāo)被擊中，即至少有一人擊中，即 A+B A與 B獨(dú)立。求一次射擊中，目標(biāo)被 擊中的概率。 = P ( A ) P ( A ) P ( B )= P ( A ) ( 1 P ( B ) )由 (1) 可 知 ， A 與 B 獨(dú) 立 。 (2) 若 事 件 A 與 B 獨(dú) 立 ， 則 A 與 B ， A 與 B ， A 與 B 中 的每 一 對(duì) 事 件 都 相 互 獨(dú) 立 。 (1)事件 A與 B獨(dú)立的充分必要條件是 P(AB)=P(A)P(B) 證： 必要性 若 A與 B中有一個(gè)事件概率為零，結(jié)論成立。 P A P A B( ) ( | )?若 P A BPB()()?P A BPBPA()()()?則P B A( | )?關(guān)于獨(dú)立性有如下性質(zhì)： 定義 1 若事件發(fā)生的可能性不受事件 B發(fā)生與否的影響， 即 P(A|B)=P(A),則稱事件 A獨(dú)立于事件 B。P B P A BP B AP B P A B P B P A B? ?解 ：( ) ( | )( | )( ) ( | ) ( ) ( | )0 0 0 5 0 9 50 0 0 5 0 9 5 0 9 9 5 0 0 5... . . .??? ? ?0 087.?若有 10000人受檢，患病者僅 50人，其中驗(yàn)血陽(yáng)性約 而 9950健康人中，驗(yàn)血陽(yáng)性者為 9950 ＝ 167。 若 受 檢 人 群 中 僅 有 ％ 患 此 病 ，即 P(B)= 。 解： 分別用 A、 B、 C表示甲、乙、丙抽到難簽。甲、乙、丙 依次不放回的抽取。 則 A、 B、 C是完備事件組。 現(xiàn)任取一箱，再?gòu)闹腥稳∫磺?，? (1)此球是白球的概率 (2)若取出的是白球，求它取自 B箱的概率。 (1)該射手任取一支槍