【正文】 由于 而 y y2是齊次方 程 (3)的兩個線性無關(guān)的解，所以行列式（ 10）確實(shí)不等于零。將式 (9)代入式 (5)即得非齊次方程的通解。于是有 ? ? ? ?1 1 2 2y C x y C x y? ? ???再求導(dǎo)得 ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 2 1 1 2 2y C x y C x y C x y C x y?? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ?將 代入方程 (1)，并注意到 y y2是齊次方程 (3)的兩個特解，經(jīng)整理后得 y y y? ??、 、? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 2 7C x y C x y f x? ? ? ???(6)、 (7)兩式就是 C1(x)和 C2(x)應(yīng)滿足的條件，由此求得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 21 2 1 22112 , 8 y y y yy y y yy f x y f xC x C x? ? ? ???? ? ?下頁 上頁 結(jié)束 首頁 其中 及 f (x)都是已知函數(shù)。 由于式 (5)中有兩個待定函數(shù) C1(x)、 C2(x)，若將式(5)代入方程 (1)只能得到關(guān)于 C1(x)和 C2(x)的一個方程，不能求出兩個未知函數(shù)，為此我們需要補(bǔ)充另外條件，補(bǔ)充的原則是能較方便地確定函數(shù) C1(x)和 C2(x)。顯然 Y不可能滿足非齊次方程 (1)。由于方程左邊的系數(shù)和右邊自由項(xiàng)都是多項(xiàng)式，經(jīng)觀察（或待定系數(shù)法）得y*= *2 21Cy Y y C x xx? ? ? ? ?下頁 上頁 結(jié)束 首頁 觀察非齊次方程 (1)的特解 y*一般來說是比較困難的，因此就產(chǎn)生這樣的問題：在求得對應(yīng)齊次方程 (3)的通解Y=C1y1+C2y2的情況下，如何來求非齊次方程 (1)的通解呢？這個問題的解決將借助于常數(shù)變易法。 下頁 上頁 結(jié)束 首頁 例 4 求方程 的通解。 證 由于 Y是 (3)的通解，故有 ? ? ? ? 0Y p x Y q x Y?? ?? ? ?又由于 y*是 (1)的特解，故有 ? ? ? ? ? ?* * *y p x y q x y f x?? ?? ? ?下頁 上頁 結(jié)束 首頁 兩式相加，得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?* * *Y y p x Y y q x Y y f x?? ?? ? ? ? ? ?故 y=Y+y*是方程 (1)的解。由于 2 1 12 1 1 12y y v y vy y v y v y v? ? ????? ?? ? ? ??? ? ?下頁 上頁 結(jié)束 首頁 將它們代入方程，得 ? ? ? ? ? ?1 1 1 1 1 120y v y v y v p x y v y v q x y v?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 1 1 1 1 1y v y p x y v y p x y q x y v?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?因?yàn)?y1(x)是方程的解，故得待定函數(shù) v(x)滿足的方程為 ? ?1 1 120y v y p x y v?? ? ?? ? ?????這是一個可降階的二階微分方程。因此方程 的通解為 21yx?21 Cy C xx?? 從例 2來看，特解 y1=x是容易觀察到的，而另一個與它線性無關(guān)的特解 是不容易觀察到的。 2 0x y x y y?? ?? ? ? 解 與例 1相仿，它有特解 y1=x，但沒有 ekx形式的 特解。 例 1 求方程 的通解。例如 ex與 2ex是線性相關(guān)的，而 sin x與 cos x以及 ex與 ex都是線性無關(guān)的。則 y=C1y1+C2y2也是方程 (3)的解，這里 C C2是任意常數(shù)。 如果 y1是方程 (3)的一個解，則 Cy1也是方解 (3)的解 2176。 下頁 上頁 結(jié)束 首頁 二階線性齊次方程解的結(jié)構(gòu) 在討論非齊次方程 (1)的解的結(jié)構(gòu)之前，先弄清對應(yīng)齊次方程 ? ? ? ? ? ?0 3y p x y q x y?? ?? ? ?的解的結(jié)構(gòu)。 把關(guān)于二階線性方程解的結(jié)構(gòu)的理論推廣到 n階線性方程 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?12121 2n n nnny p x y p x yp x y p x y f x???? ? ? ? ? ? ?? ??下頁 上頁 結(jié)束 首頁 其中 p1(x)、 p2(x)、 … 、 pn(x)都是某區(qū)間 I上的連續(xù)函數(shù)。由題給出的初始條件為 00| , | 0tty h y?? ???由于當(dāng) y=R時， 所以 于是方程變?yōu)? 22ddy gt ??2,gRk M?2222ddy gRty??現(xiàn)在先求物體落到地面的速度 由 得到關(guān)于 v與 y的一階方程為 d .dyvt?d ,dy vt ?22ddv gRvyy??下頁 上頁 結(jié)束 首頁 分離變量后，積分得 2212 RvCy??由初始條件 得 故有 0 0 0| , | | 0 ,t t ty h v y? ? ??? ? ?212 ,gRCh??22 112v g Ryh????????因?yàn)?y隨時間 t增大而減小，所以 即 于是物體在任何時刻的速度為 d 0 , 0 .dy vt ??112v g Ryh? ? ?下頁 上頁 結(jié)束 首頁 令 y=R，得到物體落到地面時的速度為 ? ?2 g R h Rh??d 1 12dy v g Rt y h? ? ? ?下面再求物體落到地面所需的時間。 222ddy k m Mmty??或 222ddy kMty?? 解 取連接地球中心與該物體的直線為 y軸，方向垂直向上，地球的中心為坐標(biāo)原點(diǎn) R，物體的質(zhì)量為 m，它與地球中心的距離為 h。 解 設(shè)所求曲線為 y=y (x),由曲率公式，得 ? ? 32 21 1yyR?? ?? ? ?令 則 代入方程后，有 ? ? d, ,dpy p y y py? ????? ? 32 2d1 1d pppyR? ? ?或 ? ? 3 / 22d1 d1 pp yRp ???積分得 ? ?12111 yCRp? ? ? ??或 ? ? 2122111 yCpR???? ?? ?221221R y CpyC????下頁 上頁 結(jié)束 首頁 或 積分得 或 故所求曲線是以（ C2,C1）為中心、 R為半徑的圓族 ? ?? ?1221d dy C y xR y C? ????? ? ? ?22 12R y C x C? ? ? ? ? ?? ? ? ?22 221x C y C R? ? ? ?再由 得 ,yp?? ? ? 22 11ddR y Cyx y C???? ?下頁 上頁 結(jié)束 首頁 例 5 一個離地面很高的物體，受地球引力的作用，由靜止開始落向地面。 即 sinh xpa?由于 y39。設(shè) A點(diǎn)處的水平張力為常數(shù) H， M點(diǎn)處的切向張力的大小為 T，它與 x軸的夾角為 又由于繩索在重力作用下，弧段 所受的重力為 P=ρs，這里 為單位弧長的重力（由于繩索是均勻的，故 為常數(shù)）， s為 的長度 .? AMAM??下頁 上頁 結(jié)束 首頁 把作用于弧段 上的力沿垂直和水平兩方向上分解，并按靜力平衡條件，得 AMs i n c o sT s T H? ? ???兩式相除得 t a n sH?? ?若令 則由于 上式變?yōu)? 20, t a n , 1 d ,xHa y s y x?? ??? ? ? ??201 1dxy y xa?????兩邊對 x求導(dǎo)，得 y=y (x)滿足的二階分方程為 21 1yya?? ???下頁 上頁 結(jié)束 首頁 且滿足初始條件 0 0 0| , | 0 .xxy a y?? ??? 現(xiàn)在來求方程的解。因?yàn)槔K索是柔軟的，所以沒有彎曲的反抗力。設(shè) M (x, y)為繩索上的任有點(diǎn)，即 M為所求曲線 y=y (x)上的動點(diǎn)。令 故 原方程降為一階方程 4xp p x???, yp??yp?? ??它是以 x為自變量， p為未知函數(shù)的一階線性方程，其通解為 1 2Cpxx??再由方程 積分得原方程的通解為 1 2Cy p xx? ? ? ?212lny C x x C? ? ?下頁 上頁 結(jié)束 首頁 例 3 設(shè)有一質(zhì)量發(fā)布均勻而又柔軟的繩索，其兩端固定，求它自身重力作用下形狀。 ,y f x y f x y y f y y?? ?? ? ?? ?? ? ?下頁 上頁 結(jié)束 首頁 型的微分方程 ? ?y f x?? ?設(shè) 方程 變形為 ? ?, y p y f x? ???? ? ?ddp fxx ?積分得 ? ?1dp f x x C???即 ? ?1dy f x x C? ???再積分得原方程的通解為 ? ?12ddy x f x x C x C? ? ???通過 n次積分容易求得 n階方程 ? ? ? ?ny f x? 的通解為 ? ? ? ? ? ?1212 1 d 1 ! 2 !nnnnnCCy d x f x x x x C x Cnn???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????下頁 上頁 結(jié)束 首頁 例 1 求微分方程 滿足初始條件 s i n c o s y x x??? ??0 0 0 | 2 , | 1 , | 0x x xy y y? ? ?? ??? ? ?的特解。 用降階法來討論二階微分方程 ? ? ? ?, , 1y f x y y?? ??的三種特殊類型： ? ? ? ? ? ?。于是 dt時間內(nèi)從小孔流出的水的體積為 2,v k gh?2ddV x y??2d π 2dV k r g y t?令 dV的兩個表達(dá)式相等，便得到微分方程 式中負(fù)號表示水深 y隨時間 t的增加而減小。于是經(jīng)過一段時間 dt后水面將下降 dy,此時水池中水的體積減少了 dyy xRyxO22 2x y Ry??下頁 上頁 結(jié)束 首頁 它應(yīng)該等于在 dt這段時間內(nèi)從小孔流出的水的體積。 解 建立坐標(biāo)系如圖所示，原點(diǎn) O取在水池的最低點(diǎn)。在水池的底部有一個半徑為 r的小孔，水在重力作用下通過該小孔流出。根據(jù)光的反射定律，有 于是 ? ? , t a n .Y y y X x y ???? ? ? ?. O M N S M N? ? ?,O M A