【正文】 i???zi??? ??z? ??1 1 i???t1 1 i? ?wte?? wt??zwe ???81 例 6 求把具有割痕 Re(z)=a, 0?Im(z)?h的上半 平面映射成上半平面的一個(gè)映射 . x O y (z) C(a+ih) B D a O u v (w) a?h a a+h B C D 82 x O y (z) C(a+ih) B D a O u v (w) a?h a a+h B C D O (z1) C B D ih ?h2 C O B D (z2) C O Bh2 D (z3) O (z4) C B D ?h +h z1=z?a z2=z12 z3=z2+h2 34 zz ?w=z4+a ahazw ???? 22)(83 [解 ] 不難看出 , 解決本題的關(guān)鍵顯然是要設(shè)法將垂直于 x軸的割痕的兩側(cè)和 x軸之間的夾角展平 . 由于映射 w=z2能將頂點(diǎn)在原點(diǎn)處的角度增大到兩倍 , 所以利用這個(gè)映射可以達(dá)到將割痕展平的目的 . 首先 , 把上半 z平面向左平移一個(gè)距離 a:z1=z?a. 第二 , 由映射 z2=z12, 得到具有割痕 h2?Re(z2)+?, Im(z2)=0的 z2平面 . 第三 , 把 z2平面向右作一距離為 h2的平移 : z3=z2+h2, 便得到去掉了正實(shí)軸的 z3平面 . 4 3 4, , .z z z?第 四 通 過(guò) 映 射 便 得 到 上 半 平 面84 22:()w z a h a? ? ? ?把 所 有 的 映 射 復(fù) 合 起 來(lái) 就 得 到 所 求 出 映 射44,:,.zaw z a w??最 后 把 平 面 向 右 作 一 距 離 為 的 平 移便 得 到 平 面 中 的 上 半 平 面。所以 , 由 w = e z所構(gòu)成的映射是 0y2?上的保形映射 . 設(shè) z =x+iy, w =? e i?, 則 w = e z =e x+iy =? e i? 推出 ?= e x ： z平面上垂直線 x映射成 w平面上圓周 ?； （ x?0?單位 圓周 ,x0 ?單位 圓內(nèi) ,x0 ?單位 圓外） ? = y： z平面上水平直線 y映射成 w平面上射線 ? 。映射的特點(diǎn)是 : 把以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域映射成以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域 , 但張角變成了原來(lái)的 n倍 . 73 O (z) ?0 O (w) n?0 w=zn (z) (w) O O n?2 上岸 下岸 w=zn 002)n? ? ? ???? ? ? ??000角 形 域 : 角 形 域 :n( 由 單 值 性 可 知00 ?? ? ?? ? ? ?2特 別 ， 沿 實(shí) 軸 剪 開 的 w 平 面 : 2 .n74 0 0 02: 0 0 ( )nn?? ? ? ? ?? ? ? ? ?nn n根 式 函 數(shù) z= w于 是 w=z 和 z= w 的 映 射 特 點(diǎn) 是 擴(kuò) 大 與 縮 小 角 形 域 。這 樣 就 把 映 射 成 平 面 上 的 正 實(shí) 軸00()2, 0 a r g ..ii z i z iw ie ez i z i????a?????? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ?根 據(jù) 保 角 性 所 給 的 月 牙 域 映 射 成 角 形 域由 此 得 所 求 的 映 射 為72 167。0 。 C139。 (III)當(dāng)二圓周交點(diǎn)中的一個(gè)映射成無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí) , 這 二圓周的弧所圍成的區(qū)域映射成角形區(qū)域 . 65 例 6 中心在 z =1 與 z ?? 1, 半徑為 2 的二圓弧所圍區(qū)域 , 在映射ziwzi???下映射成什么區(qū)域 ? x 1 ?i i ?1 C1 C2 y (z) O 66 [解 ] 所設(shè)的兩個(gè)圓弧的交點(diǎn)為 ?i與 i, 且相互正交 . 交點(diǎn) ?i映射成無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) , i映射成原點(diǎn) . 因此所給的區(qū)域經(jīng)映射后映射成以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形區(qū)域 , 張角等于 ?/2. .22)21()21(1212,121????????????iiiwzC 對(duì)應(yīng)點(diǎn)是與正實(shí)軸的交點(diǎn)取此點(diǎn)在第三象限的分角線 C139。(1/2)0的分式線性映射 . 2121 1 11114 2 2 22e , e e1 23 11 12 2i i izzzzwwz z? ? ??? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ??? ? ??? ???? ????? ???????[解 ] 由條件 w(1/2)=0知 , 所求的映射要將 z=1/2 映射成 |w|1的中心 . 所以由 (() 得 61 1 1 1a r g , 0 , a r g 0 ,2 2 212120. .1 212w w wzzwzz??? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ???故 由 于 為 正 實(shí) 數(shù) 從 而即 所 以 所 求 映 射 為例 5 求將 Im(z)0映射成 |w?2i|2且滿足條件 w(2i)=2i, arg w‘(2i)???/2的分式線性映射 . 2 2 2 1e e ( 2 ) 2 e ,2 2 2 4i i iz i w i z i wiz i z i i? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?[解 ] 容易看出 , 映射 ?=(w?2i)/2將 |w?2i|2映射成 |?|1. 但將 Im(z)0映射成 |?|1且滿足 ?(2i)=0的映射易知為 62 a r g ( 2 ) a r g( 2 e ) a r g( 4 ) . a r g ( 2 ) , 0.222 2 22( 1 ) .2 2 2iw i i w iw i z i zwiz i z i? ??????? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ???由 得于 是 所 求 映 射 為 或2i (z) O (?) 2i (w) izziw22)1(2????iziz22????w=2(i+?) 63 O (z) a b (w) O ?i (?) O π tba? ? ? w=e? π ()i zabawe ???O (s) ba s z a?? t is?例 5 求把帶形域 aRe(z)b映射成上半平面 Im(w)0 的一個(gè) 映射 . O (t) 64 現(xiàn)討論在 z平面內(nèi)兩個(gè)圓包圍的區(qū)域的映射情況 . 根據(jù)前面的討論可知 : (I)當(dāng)二圓周上沒(méi)有點(diǎn)映射成無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí) , 這二圓周 的弧所圍成的區(qū)域映射成二圓弧所圍成的區(qū)域 。|=1, 即 k39。其中58 由于 z平面上單位圓周上的點(diǎn)要映成 w平面上單位圓周上的點(diǎn) , 所以當(dāng) |z|=1,|w|=1. 將圓周 |z|=1上的點(diǎn)z=1代入上式 , 得 |,1||1|1||11|39。 48 z1 z2 z z3 w1 w2 w3 w1 w2 w3 w w 49 例 1 求將上半平面 Im(z)0映射成單位圓 |w|1的分式線性映射 . O 1 1 x y l O 1 1 u i v (z) (w) l50 [解法一 ] 在 x軸上任意取定三點(diǎn) :z1??1, z2=0, z3=1使它們對(duì)應(yīng)于 |w|=1上三點(diǎn) :w1=1, w2=i, w3??1, 則因z1?z2?z3跟 w1?w2?w3的繞向相同 , 由 ())式得所求的分式線性映射為 .11 01011111 ???????? ????? zziiww( 6 .3 .2 )1z i z iwiiz z i??? ? ???化簡(jiǎn)后即得 51 注意 : 如果選取其他