【正文】 415 簡述 Turbo碼的基本原理。 第 4 信 道 編 413 已知一個 (2， 1， 2)卷積碼編碼器的輸出與輸入關(guān)系為 ????????3212211SSSCSSC 當(dāng)接收序列為 1000100000時，試用維特比譯碼算法計算譯碼序列。 第 4 信 道 編 412 已知 (7， 4)循環(huán)碼的生成多項式 g(x)=x3+x2+1。 (2) 試畫出該卷積碼的樹狀圖 、 狀態(tài)圖和網(wǎng)格圖 。 第 4 信 道 編 411 已知編碼速率為 1/2的卷積碼的生成多項式為 g1(x)=1，g2(x)=1+x。 第 4 信 道 編 49 已知 (15， 5)循環(huán)碼的生成多項式為g(x)=x10+x8+x5+x4+x+1， (1) (2) 寫出信息碼為 m(x)=x4+x+1時的碼多項式。 第 4 信 道 編 47 已知 (15， 11)漢明碼的生成多項式為 g(x)=x4+x3+1， 試求其生成矩陣和監(jiān)督矩陣 。 （ 2） 寫出該（ n， k）碼的所有碼字。 (2) 寫出所有可能的碼組。 (1) 試求該碼的最小碼距 。 第 4 信 道 編 習(xí) 題 41 試問按錯碼的統(tǒng)計特性分類 ， 信道編碼有哪幾種 ? 42 什么是分組碼 ？ 試畫出其編碼器結(jié)構(gòu)圖 。 Turbo碼的譯碼算法主要有改進(jìn)的 BCJR（ 稱為 MAP算法 ） 、 LogMAP算法 、 MaxLogMAP算法和軟輸入軟輸出 （ SOVA） 算法等 。 第 4 信 道 編 Turbo碼的譯碼 Turbo碼采用 MAP算法 ， 在譯碼結(jié)構(gòu)上做了改進(jìn) ， 引入了反饋的概念 ， 取得了性能和復(fù)雜度之間的折衷 。 碼率越低 ， 其冗余度就越大 ， 為了獲得高于 1/3的碼率 ， 可使用截斷器周期性地刪除一些校驗位 。 Turbo碼中常用的交織器有分組交織器與隨機交織器兩大類 ， 其基本類型又可分為行列式分組交織 、 螺旋式分組交織 、 線性轉(zhuǎn)換式隨機交織和讀表式隨機交織等 。 交織長度越長 ， 相鄰反饋信號的相關(guān)性就越低 ， 從而就可以很好地實現(xiàn)迭代譯碼 。 通常在信道編碼中交織器的作用一般是對抗突發(fā)錯誤 。 在圖 432(a)中兩個 RSC編碼器相同 ， 由于輸入碼元為 bi， 輸出碼元為 bic1ic2i， 故此 Turbo碼編碼器的編碼速率為 1/3。 圖 432 是一種采用遞歸系統(tǒng)卷積碼的 Turbo編碼器結(jié)構(gòu) ， 它由一對 RSC編碼器和一個交織器組成 ， 輸入碼元為 bi， 輸出碼元為 bici， 由于輸出碼元中第一位是信息碼元 bi， 所以它是系統(tǒng)碼 。 第 4 信 道 編 3． 分量編碼器 分量編碼器既可以是卷積碼 ， 也可以是分組碼 ， 還可以是級聯(lián)碼 。 兩個分量編碼器通常是相同的 ， 但也可以不同 。 由于 Turbo碼是系統(tǒng)碼 ， 因此輸入信息位 （ 第一路 ） 不做任何處理 ， 經(jīng)延時后直接送給復(fù)接器；第二路經(jīng)延時 、 編碼器 1， 再經(jīng)截斷器處理后送至復(fù)接器；第三路先經(jīng)過交織器 、 編碼器 2， 再經(jīng)截斷器處理后送至復(fù)接器 。 第 4 信 道 編 2. Turbo碼的基本結(jié)構(gòu) Turbo碼作為一種特殊的級聯(lián)碼 ， 它在兩個并行級聯(lián)或串行級聯(lián)的編碼器之間增加了一個交織器 ， 如圖 431 所示 。 第 4 信 道 編 Turbo碼的編碼 1. Turbo碼概述 Turbo碼是是一種特殊的級聯(lián)碼 (或鏈接碼 )。 兩個二進(jìn)制(n1,k)和 (n2,k)分組編碼器都是系統(tǒng)和線性的 ， 它們既可以是相同的 ， 也可以是不同的 。 第 4 信 道 編 圖 429 串行級聯(lián)碼典型應(yīng)用實例 ( 2 55 , 2 23 ) RS 碼外編碼器 交織器( 2 , 1 , 7 ) 卷積碼內(nèi)編碼器 信道( 2 , 1 , 7 ) 卷積碼內(nèi)譯碼器 去交織器( 2 55 , 2 23 ) RS 碼外譯碼器第 4 信 道 編 3. 并行級聯(lián)碼 隨著對級聯(lián)碼研究的深入 ， 級聯(lián)碼已發(fā)展到多級級聯(lián)碼和并行級聯(lián)碼等 ， 圖 430給出了并行級聯(lián)分組碼的編碼器結(jié)構(gòu) ， 它由兩個 (n, k)分組碼編碼器和一個交織器組成 。 例如內(nèi)碼采用卷積碼來糾正隨機差錯 ， 外碼用 RS碼來糾正突發(fā)差錯 ， 圖 429給出了美國宇航局 NASA用于深空通信的級聯(lián)碼實例 。d2。 內(nèi)碼 (n1, k1)一般采用記憶長度較短的卷積碼 ， 外碼 (n2,k2)一般采用糾錯能力強的 RS碼 。 它是由兩個短碼 (內(nèi)碼和外碼 )的串接來構(gòu)成一個長碼 ， 即串行級聯(lián)碼 ， 如圖 428 所示 。1993年法國學(xué)者 , 被稱為Turbo碼 ， 這種碼可以在信噪比為 dB時 ， 誤碼率 （ BER） 達(dá)到 105。 實現(xiàn)香農(nóng)信道編碼定理的基本途徑是： 第 4 信 道 編 ① 采用隨機編 /譯碼方式； ② 編 /譯碼的碼長 n→∞ ； ③ 采用最佳的最大后驗概率譯碼 (MAP)準(zhǔn)則 。 第 4 信 道 編 圖 424 TCM編碼器原理框圖 選擇子集選擇子集中的信號卷積碼編碼器n1k2k1輸入信息段T C M 信號輸出第 4 信 道 編 Turbo碼 級聯(lián)碼 1. 級聯(lián)碼概述 香農(nóng)信道編碼定理 (又稱香農(nóng)第二編碼定理 )告訴我們 ， 在有噪聲信道中 ， 當(dāng)信息傳輸速率 Rb小于信道容量 C時 ， 總可以找到一種編碼 、 譯碼方法 ， 使譯碼的錯誤概率任意小 。 第 4 信 道 編 TCM碼的編譯碼 圖 424給出了 TCM編碼器的原理框圖 ， 它將 k比特輸入信息段分為 k k2兩段 ， 即 k=k1+k2。 如何才能同時節(jié)省功率和帶寬 ， 一直是人們追求的目標(biāo) 。 如糾錯編碼可以在不增加功率的條件下降低誤碼率 ， 但所付出的代價是占用帶寬的增加 ， 或者是帶寬利用率的降低 。 第 4 信 道 編 網(wǎng)格編碼調(diào)制（ TCM） TCM概述 在數(shù)字通信中 ， 調(diào)制解調(diào)和糾錯編碼是兩項主要的技術(shù) 。 其實現(xiàn)方法之一是：先將 L=M N個符號寫入一個隨機存取的存儲器 RAM， 然后再以偽隨機方式將其讀出 。 交織編碼的基本思想是： 通過對碼元序列進(jìn)行交織 (或交錯 )和去交織處理 ， 將一個有記憶的突發(fā)差錯信道改造成無記憶的隨機差錯信道 ， 然后用糾正隨機差錯的方法 (例如 BCH碼 、 卷積碼等 )來糾正錯誤 ， 如圖 419所示 。 前面介紹的 Fire碼能糾正一個有限長度的突發(fā)錯誤 ， 盡管 RS碼具有較強的糾正突發(fā)差錯的能力 ， 但對于幾十位以上的較長突發(fā)差錯也無能為力 。 即對接收信號進(jìn)行多電平判決或進(jìn)行多進(jìn)制維特比譯碼 。 1. 最佳譯碼與最大似然譯碼 第 4 信 道 編 2. 硬判決的維特比譯碼 。 通常把 N稱為約束長度 ， 把卷積碼記作 (n, k, m)， 它的編碼效率為 。 顯然 ， n個輸出碼元不僅與當(dāng)前的 k個輸入碼元有關(guān) ， 而且與前面的 m=(N－ 1)個信息段有關(guān) 。 編碼器主要由移位寄存器和模 2加法器組成 。 同時 ， 卷積碼的譯碼算法也有待于進(jìn)一步地研究和完善 。 一般來說 ， 在編碼器復(fù)雜性相同的情況下 ， 卷積碼的性能優(yōu)于分組碼 ， 因而 ， 卷積碼在數(shù)字通信中得到了廣泛的應(yīng)用 。 同時卷積碼在任何一個碼組中的監(jiān)督碼元都不僅與本組的 k個信息碼元有關(guān) ， 而且與前面 N－ 1段的信息碼元有關(guān) ， 相關(guān)的碼元數(shù)為 Nn個 。 在 (n, k)線性分組碼中 ， 本組 r=n－ k個監(jiān)督碼元僅與本組 k個信息有關(guān) ， 而各碼組之間是彼此無關(guān)的 ， 沒有利用碼組之間的相關(guān)性 。 在分組碼中 ， 為了達(dá)到一定的檢糾錯能力和編碼效率 (R=k/n)， 碼組的長度通常都比較大 。 其中 ， CRCITUT用于 HDLC、 SDLC、 7號信令 、 ISDN等 ， CRC16用于北美二進(jìn)制同步系統(tǒng) ，CRC32用于以太網(wǎng) 、 ATM AAL5等 。在接收端，若接收碼組中無錯誤，應(yīng)有接收碼組 B(x)等于發(fā)送碼組 C(x)，即B(x)=C(x)=xnkm(x)+R(x)=Q(x)g(x)，接收碼組 B(x)能被 g(x)整除；若接收碼組中有錯碼，則 B(x)必定不能被 g(x)整除。 k 個信息碼元 n － k 個校驗碼元一幀 (n 個碼元 )( 先發(fā) ) 高次 低次圖 49 循環(huán)冗余校驗碼 （ CRC）結(jié)構(gòu) 第 4 信 道 編 整個 n位幀 (或分組、信元等 )就是一個碼組 (C(x))，由 k位信息 (m(x))和 n－ k 個校驗位 (R(x))組成。 第 4 信 道 編 循環(huán)冗余校驗碼 循環(huán)冗余校驗碼 (CRC)是一種檢錯能力很強的 (n,k)循環(huán)碼，廣泛應(yīng)用于幀校驗。 RS的譯碼過程也與 BCH碼的大體相同 。 由式 (19)知 ， 其生成多項式為 g(x) =(x+α)(x+α2)(x+α3)(x+α4)(x+α5)(x+α6) =x6+α10x5+α14x4+α4x3+α6x2+α9x+α6 第 4 信 道 編 RS碼的編碼過程與 BCH碼的大體一樣 ， 同樣可以用帶反饋的移位寄存器來實現(xiàn) 。 （ ） 第 4 信 道 編 例如 ， 構(gòu)造一個能糾正三個錯誤符號 ， 碼長為 15， m=4的RS碼 ， 最小碼距為 d0=2t+1=2 3+1=7個符號 ， 監(jiān)督段有r=2t=2 3=6個符號 ， 信息段有 k=n－ r=15－ 6=9個符號 ， 即 (15，9)RS碼 。 對于一個長度為 n=2m－ 1符號的 RS碼 ， 每個符號都可以看成是有限域 GF(2m)中的一個元素 。2t個比特 。 (2) 信息段， k個符號或 mk個比特。m比特一組 ， 每組包括 k個符號 ， 每個符號由 m比特組成 。 它是一種多進(jìn)制 BCH碼 ， 具有很強的糾錯能力 ， 特別適合在衰落信道中糾正突發(fā)錯誤 。該碼的監(jiān)督位數(shù)為 r=n－ k=l+m () 例如 p(x)=x4+x+1，令 l=7， Fire碼的生成多項式為 g(x)=(x 4+x+1) 令 p(x)是一個 m次的既約多項式，且 l與 m互素， 則 Fire碼的生成多項式為 g(x)=p(x) BCH碼的碼長 n、 監(jiān)督位 r和糾錯能力 t之間的關(guān)系如下： 對于任意整數(shù) m和 t≤m/2， 一定存在一個二進(jìn)制 BCH碼 ， 其碼長 n=2m－ 1， 監(jiān)督位數(shù) r=n－ k≤mt， 并能糾正所有不大于 t的隨機錯誤 。 本原 BCH碼是指在生成多項式 g(x)中 ， 含有最高次數(shù)為 m的一個本原多項式 ， 且碼長 n=2m－ 1。 例如當(dāng) n=3時 ， x2n1+1=x7+1， 此時最高次為 3的本原多項式為 x3+x2+1和 x3+x+1， 它們都能整除 x7+1， 但不能整除 x6+1， x5+1等 。 (3) F(x)除不盡 (xq+1)， q＜ p。 如果一個 n次多項式 F(x)滿足以下條件： (1) F(x)是既約多項式 (即不能分解因式的多項式 )。 BCH碼的重要性體現(xiàn)在： ① 它有嚴(yán)密的代數(shù)結(jié)構(gòu) ， 是目前研究得最透徹的一類碼； ② 它的生成多項式 g(x)與最小碼距 d0之間有密切的關(guān)系 ， 人們能根據(jù)所要求的糾錯能力 (對 d0的要求 )， 很容易地構(gòu)造出 BCH碼； ③ BCH編 /譯碼比較簡單 ， 易于實現(xiàn) ， 是線性分組中應(yīng)用最為普遍的一類碼 。 因此 ， 可以用余項 R(x)是否為零來判定碼組中是否有差錯 。 當(dāng)傳輸過程中沒有發(fā)生差錯時 ， 接收碼組與發(fā)送碼組相同 (C(x)=B(x))， 即接收碼組 B(x)必定能被 g(x)整除 ， 即 R(x)=0。 (2) 用 g(x)除以 xrm(x)， 得到商 Q(x)和余式 R(x)， 即 )()()()()(xgxRxQxgxmx r ??（ ） 循環(huán)碼的