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正文內(nèi)容

[工學]圖論及其應(yīng)用第1章(參考版)

2025-01-22 11:15本頁面
  

【正文】 ? ? 123/363/2 ??nThank you! 。 2/2 ? ?3/2n? ?3/2n 2/2 由定理 21, n=6 時, 。 2/24/2定理 21 設(shè) A={x1, x2,…, xn}為任意一個直徑為 1的平面點集,則 A中距離大于 的點對的最大數(shù)目為 。這是可以實現(xiàn)的。其中 x1, x2和 x3處于一個邊長為 1的正三角形的頂點上; x4, x5和 x6也位于一個正三角形的頂點上。n定理。 4/32/32/3 2/3 2/22/2 下面的定理回答了 12已是最大數(shù)目。因 。 x1 x6 1/2 1/4 x2 A 0 x5 x3 x4 圖 1 容易計算該點集的直徑為 1,線段 x1 A的長 , Ax5的長為 3/4( x1A, Ax5如圖所示),從而可計算出 x1與 x5的距離為 。 2/1 先觀察 n = 6時平面點集的分布的兩種特殊情況。 先前的問題可轉(zhuǎn)化為計算在直徑為 g 的點集 {x1, x2,…, xn}中最多有多少點對,其距離大于 h。為建立此問題的數(shù)學模型,先引入平面點集的直徑這一概念。問:在任意的兩個人之間均能保持聯(lián)系的條件下,若發(fā)生意外,平均傷亡人數(shù)最低的可能值為多少? Tur225。 問題: 一個小組 n個人在一個平原地區(qū)執(zhí)行一項排雷任務(wù)。n)若 G 是簡單圖,并且不包含 Kl+1,則邊數(shù) m(G)≤m(Tl,n)。它確定了有 n個頂點而不包含 Km+1為其子圖的簡單圖所能具有的最大邊數(shù)。 證明 由代數(shù)學知, l個正整數(shù) n1 ,n2 ,…, nl 的函數(shù) ,在約束條件 下達到極大值的充要條件是對任何1≤i j≤l,有 |ninj| ≤ 1. ijijf n n???nnli i???1 故若取 nj = k (j = r+1,r+2,… ,l),而 ni = k +1 ( i= 1,2,… ,r) 使得 |V1| = |V2| = … = | Vr| = ni= k + 1, |Vr+1| = |Vr+2 | = … = |Vr| = nl = k,此時 n階 l部圖 G的邊數(shù)必極大,而這時的G≌ Tl,n。 定理 17 n階完全偶圖 的邊數(shù) m = n1n2 ,且有 ??????? 42nm21,nnK符號 表示不大于實數(shù) x 的最大整數(shù); ??x??x 表示不小于實數(shù) x的最小整數(shù) 證明 m = n1n2 是顯然的。因為任何一條以 v為起點的路交替地經(jīng)過 V1和 V2 的點,可知一個點 u∈ V2 當且僅當 d (v, u)是奇數(shù)。 證明 設(shè)連通偶圖 G 的 2部劃分為 V1∪ V2 =V 。 |V1| = |V2| = … = | Vl | 的完全 l 幾乎等部圖稱為 完全 l 等部圖 。 ll nnnnnn KKKK ???? ?? 2121 ,??li in1 ???? lji jinn1定義 3 如果在一個 n個點的完全 l 部圖 G中, n = kl + r 0≤rl |V1| = |V2| = … = | Vr| = k + 1。 定義 2 如果在一個 l 部圖 G中, |Vi|=ni,任何兩點 u∈ Vi ,v ∈ Vj , i≠j , i,j =1,2,…, l 均鄰接,則稱 G為完全 l 部圖。 極圖 定義 1 若簡單圖 G的點集 V有一個劃分 V= , Vi∩Vj =φ i≠j ?li iV1?且所有 Vi非空, Vi內(nèi)的點均不相鄰,則稱 G是一個 l 部圖。不妨設(shè)λ =ρn。 定理 14 設(shè) m為 圖 G 的邊數(shù), A(G) 的譜為 Spec A(G) = ??????ssmmm ??2121 ???則 mmsiii 212 ????證明 因 A(G)的各特征值的平方組成矩陣 [A(G) ]2的特征值組,即 λi2 是 [A(G) ]2 的特征值且重數(shù)相同,故由代數(shù)理論知 等于 [A(G) ]2的 跡 ( [A(G) ]2的對角線元素的和)。 其重數(shù)依次記為 1,2,1。 解 C4的鄰接矩陣 ?????????????0101101001011010A于是 |λI4 A | = =λ2(λ2)(λ+2) ????????????????????????101110011101 定理 13 設(shè) G為 n 階連通圖,則鄰接矩陣 A(G)的不同特征值數(shù)目 s 滿足不等式 d(G)+1≤ s ≤n 證明 右邊的不等式顯然成立。 若方程( 2)有 s 個相異的根 λ 1,λ 2,… λ s,其重數(shù)依次記為 m1, m2,… , ms(有 m1+m2+… +ms = n),稱 Spec A = ??????ssmmm ??2121 ???為 A 的譜。 λ稱為方陣 A的特征值,如果存在數(shù)域 C 中一個非零列向量 X,使得 AX=λX ( 1) 則 X 稱為 A的屬于 λ的一個特征向量。設(shè) A = (aij) 是一個 n 階方陣,其中 aij∈ C(復(fù)數(shù)集合)。 用圖 G的點數(shù)和直徑可以給出鄰接代數(shù) Λ(G)的維數(shù)的界。 二 . 關(guān)聯(lián)矩陣 定義 1 無環(huán)圖 G的關(guān)聯(lián)矩陣 B(G) = [ bij] (簡記為 B)是一個 n m 矩陣,當點 vi 與邊 ej 關(guān)聯(lián)時 bij =1,否則 bij =0。 A3 的元素 aii(3) 是含 vi 的三角形的數(shù)目的兩倍。 這表明命題對 n+1成立。 今設(shè)命題對 n 成立,由 An+1=AAn,故 ??? ? pknkjiknij aaa1)()1(( *) 于是對所有的 k求和即( *)式右邊 表示了由 vi 到 vj 的長度為 n+1的通道 數(shù)目。 ? ?nija證明 n = 0時, A0 = In (n階單位矩陣 ),從任一點到自身有一條長度為零的通道,任何不同的兩點間沒有長度為零的通道,從而命題對 n = 0時成立。 ( 3) 若 A1和 A2是對應(yīng)于同一個 G的兩種不同的標定的鄰接矩陣,則 A1和 A2 是相似的。 注 : 若 aij 取為連接 vi與 vj 的邊的數(shù)目 , 則稱 A為推廣的鄰接矩陣 例e5v2v3v1e1e3e2e4v4鄰接矩陣 A = 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 2 0 0 2 0 1 0 0 1 1 推廣的 鄰接矩陣 A’ = 說明 : (1) 鄰接矩陣是一個對稱方陣。 圖的代數(shù)表示及特征 一 . 鄰接矩陣 定義: 設(shè) n 階標定圖 G = (V,E), V = {v1,v2,…, vn}, 則 G 的鄰接矩陣是一個 n n 矩陣 A(G) = [ aij] (簡記為 A),其中若 vi鄰接 vj,則 aij =1。 于是問題轉(zhuǎn)化為在該圖中求 (8,0,0)到 (4,4,0)的一條最短路 (求最短路的算法在有向圖中仍適用 )。則 1 2 3 1 2 38 , 8 , 5 , x x x x x? ? ? ? ? ?容易算出 (x1,x2,x3) 的組合形式共 24種?,F(xiàn)要將酒平分,求最少的操作次數(shù)。 ( c) 取小圓點中標號 最小者得 u1; u0 7 4 2 1 5 5 8 1 3 2 ∞ 4 ∞ 7 u1 ( d) 對與 u1相鄰的小圓點, 用 l (u1) + w (u1v) = 2+1 = 3 更新標號 4; 2+5=7 更新兩個 ∞; u0 7 4 2 1 5 5 8 1 3 2 7 3 7 7 u1 ( e) 取小圓點中標號 最小者得 u2。 例 3 求圖 G 中 u0 到其它點的距離。 終止后, u0 到 v 的距離由 l(v) 的終值給出。 并用 ui+1記達到最小值的某點。 二 . 最短路問題 問題: 給定簡單權(quán)圖 G = (V, E), 并設(shè) G 有 n個頂點,求 G中點 u0到其它各點的距離。賦 權(quán)圖中點 u 到 v 的距離仍定義為點 u 到 v 的最短路的長,仍記為 d(u,v)。子圖 H的各邊權(quán)之和稱為子圖 H 的權(quán),記為 W(H)。 最短路及其算法 一 . 賦權(quán)圖 定義 若圖 G的每一條邊 e 都附有一個
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