桂林、百色、崇左五市高考數(shù)學理科模擬試卷含解析(參考版)
2025-01-17 18:04本頁面
【正文】 即有=1，又+=1，解方程組可得a=2，b=1，則橢圓C的標準方程為+y2=1；（2）證明：由橢圓方程可得A（﹣2，0），B（2，0），設直線l的方程為x=my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），將直線的方程代入橢圓方程x2+4y2=4，可得（4+m2）y2+2my﹣3=0，y1+y2=﹣，y1y2=﹣，直線AM：y=（x+2），BN：y=（x﹣2），聯(lián)立直線AM，BN方程，消去y，可得x==，由韋達定理可得， =，即2my1y2=3y1+3y2，可得x==4．即有直線AM和直線BN交點的橫坐標為定值4． 21．已知函數(shù)f（x）=x|x+a|﹣lnx．（1）當a=0時，討論函數(shù)f（x）的單調性；（2）若a＜0，討論函數(shù)f（x）的極值點．【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（1）當a=0時，f（x）=x2﹣lnx，函數(shù)的定義域為（0，+∞），求導數(shù)，斷導數(shù)的符號，即可判斷f（x）的單調性；（2）分類討論，利用極值的定義，即可討論函數(shù)f（x）的極值點．【解答】解：（1）當a=0時，f（x）=x2﹣lnx，函數(shù)的定義域為（0，+∞）．f′（x）=，令f′（x）＞0，可得x＞，f′（x）＞0，可得0＜x＜，∴函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間是（，+∞），單調減區(qū)間是（0，）；（2）當a＜0時，f（x）=．①x＞﹣a時，f′（x）==0，可得x1=，x2=＜﹣a（舍去）．若≤﹣a，即a≤﹣，f′（x）≥0，∴函數(shù)f（x）在（﹣a，+∞）上單調遞增；若＞﹣a，即﹣＜a＜0，則當x∈（﹣a，x1）時，f′（x）＜0，x∈（x1，+∞），f′（x）＞0，∴f（x）在∈（﹣a，x1）上單調遞減，在（x1，+∞）上單調遞增．②當0＜x＜﹣a時，f′（x）==0，得﹣4x2﹣2ax﹣1=0．記△=4a2﹣16．△≤0，即﹣2≤a＜0，f′（x）≤0，∴f（x）在（0，﹣a）上單調遞減；△＞0，即a＜﹣2，f′（x）=0可得x3=，x4=且0＜x3＜x4＜﹣a．x∈（0，x3）時，f′（x）＜0，x∈（x3，x4）時，f′（x）＞0，x∈（x4，﹣a），f′（x）＜0，∴f（x）在（0，x3）上單調遞減，在（x3，x4）上單調遞增，在（x4，﹣a）上單調遞減，綜上所述，a＜﹣2時，f（x）的極小值點為，極大值點為；﹣2≤a≤﹣時，f（x）無極值點；﹣＜a＜0時，f（x）的極小值點為． [選修41：幾何證明選講]22．已知點P是圓O外的一點，過P作圓O的切線PA，PB，切點為A，B，過P作一割線交圓O于點E，F(xiàn)，若2PA=PF，取PF的中點D，連接AD，并延長交圓于H．（1）求證：O，A，P，B四點共圓；（2）求證：PB2=2AD?DH．【考點】平行截割定理；圓周角定理．【分析】（1）利用對角互補，證明O，A，P，B四點共圓；（2）由切割線定理證明出PA=2PE，由相交弦定理可得AD?DH=ED?DF，即可證明：PB2=2AD?DH．【解答】證明：（1）連接OA，OB，∵PA，PB為圓O的切線，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠PAO+∠PBO=180176。∴cosA=﹣cosC．∴cosA=﹣．∴sinA=sinC=．∴四邊形ABCD的面積S=S△ABD+S△BCD=ABADsinA+BCCDsinC=2．故答案為：2． 三、解答題（共5小題，滿分60分）17．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=，n∈N+．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設bn=4﹣4an，求數(shù)列{bn}的前n項和．【考點】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（1）由數(shù)列{an}的前n項和Sn=，n∈N+．利用遞推關系即可得出．（2）bn=4﹣4an=2n+1﹣2（n+1），利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．【解答】解：（1）∵數(shù)列{an}的前n項和Sn=，n∈N+．∴n=1時，a1=S1=1．n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣=．n=1時也成立．∴an=．（2）bn=4﹣4an=2n+1﹣2（n+1），∴數(shù)列{bn}的前n項和=（22+23+…+2n+1）﹣2（2+3+…+n+1）=﹣2=2n+2﹣4﹣n2﹣3n． 18．如圖，在三棱錐S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，點D是SC的中點，且平面ABD⊥平面SAC．（1）求證：AB⊥SC；（2）若SA=2AB=3AC，求二面角S﹣BD﹣A的正弦值．【考點】二面角的平面角及求法；空間中直線與直線之間的位置關系．【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理和性質定理即可證明AB⊥SC；（2）若SA=2AB=3AC，建立坐標系，求出平面的法向量即可求二面角S﹣BD﹣A的正弦值．【解答】（1）證明：∵SA⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴平面ABC⊥平面SAC，∵平面ABD⊥平面SAC，平面ABD∩平面ABC=AB，∴AB⊥平面SAC，∵SC?平面SAC，∴AB⊥SC
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